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作者 七君 認(rèn)識(shí)這個(gè)暈倒的8么：∞ 它和8其實(shí)不是一個(gè)品種，它的本名叫做無窮大，它并不是一個(gè)數(shù)。 無窮大，很奇怪，5歲的小朋友就能理解，無窮大有多大。比如你隨便想出一個(gè)數(shù)字，總可以再找一個(gè)比它大的數(shù)字。 可是，無窮大是不是只有一個(gè)品種呢？ 第一個(gè)發(fā)現(xiàn)無窮大并不是只有一種的人，進(jìn)了精神病院。今天我們就來八一八，無窮大的故事。 首先要明白的是，無窮大和8不一樣，它不是一個(gè)數(shù)。 如果它是一個(gè)數(shù)，那么你只要給它加個(gè)1，那么就可以產(chǎn)生一個(gè)比它更大的值了。顯然，無窮大并不參與你的這種加一游戲，你一要玩這種游戲，它就掉線。 所以，無窮大到底是什么來頭？ 長(zhǎng)久以來，不光普通人鬧不明白，數(shù)學(xué)家們也不敢說自己搞懂了。無窮大好像鬼，人人都聽說過它，但是卻不理解它，更沒有見過它的真面目。 后來，出現(xiàn)了一個(gè)銀，他開始思考，無窮大這個(gè)鬼，會(huì)不會(huì)也有不同品種的呢？ 他做了這樣一個(gè)思想實(shí)驗(yàn)，并且發(fā)現(xiàn)，一些無窮大，居然比其他的無窮大還要大。 我們先從簡(jiǎn)單的講起。有一種無窮大用人類的大腦還是能理解的，因?yàn)楹统ＷR(shí)比較接近嘛。 比如， 1, 2, 3, 4, 5, 6, …. 這些正整數(shù)可以一直延伸到無窮大對(duì)吧。 負(fù)整數(shù)也是一樣， -1, -2, -3, -4, -5, -6, …. 隨便你說一個(gè)整數(shù)，不管它有多大，只要你愿意寫，就可以一直寫到這個(gè)整數(shù)。換句話說，任意整數(shù)都可以被你安排到上面這列數(shù)字里。 因此，列出這些無窮多個(gè)數(shù)字的集合，叫做可數(shù)無窮。 其實(shí)，分?jǐn)?shù)也屬于可數(shù)無窮哦。 比如我們做這樣一個(gè)表出來， 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7, … 2/1, 2/2, 2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, … 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7, … 4/1, 4/2, 4/3, 4/4, 4/5, 4/6, 4/7, … 5/1, 5/2, 5/3, 5/4, 5/5, 5/6, 5/7, … ... 隨便你想到一個(gè)什么樣的分?jǐn)?shù)，它都可以在上面這個(gè)表里被找到，所以分?jǐn)?shù)也屬于可數(shù)無窮。 好的，那么，你能用同樣的方法，做出0-1之間所有的有理數(shù)和無理數(shù)的數(shù)列，或者表格么？ 如果你覺得可以，那我們來試試下面這個(gè)例子。 假設(shè)你列出了所有0-1之間的數(shù)，如下： 0.82705736… 0.31023865… 0.62087906… 0.55293091… 0.75235073… … 我們現(xiàn)在就來證明，我總是可以造出一個(gè)0-1之間的數(shù)，而且它絕對(duì)不在你列的這些無窮多的數(shù)里面。 我是這樣干的，我取0.82705736…的8，0.31023865…的1… 也就是畫一條對(duì)角線，取出這條對(duì)角線和你列出的這些數(shù)相交的部分，組成一個(gè)新的數(shù)，也就是0.81095… 現(xiàn)在我用這個(gè)0.81095…干這樣一件事，我把里面的1改成2，非1的數(shù)改成1，所以這個(gè)數(shù)就變成了： 0.12111… 這個(gè)數(shù)有什么奇怪的呢？奇怪就奇怪在，它肯定不在上面你列的那無窮多的數(shù)里面。 我們來證明一下。比如， 0.12111…的小數(shù)點(diǎn)后第1位（1）和你的第1個(gè)數(shù)0.82805736…的小數(shù)點(diǎn)后第1位的8不一樣… 它的第2位（2）和你的第2個(gè)數(shù)0.31023865…的小數(shù)點(diǎn)后第2位的1不一樣… 它的第3位（1）和你的第3個(gè)數(shù)0.62087906…的小數(shù)點(diǎn)后第3位的0不一樣… … 實(shí)際上，如果你說我造出的數(shù)和你的第N個(gè)數(shù)一樣，你喊你的那個(gè)第N個(gè)數(shù)出來，它敢答應(yīng)嗎？ 根據(jù)我設(shè)定的規(guī)則，我造的數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后的第N位，就是和你的第N個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第N位不一樣，它當(dāng)然不敢動(dòng)啊。 當(dāng)然，除了我設(shè)定的這種造數(shù)規(guī)則，還有其他各種各樣的規(guī)則，可以把0.81095…變成列表里沒有的數(shù)。 所以，0-1之間的數(shù)，不是可數(shù)無窮。這個(gè)無窮大，比自然數(shù)的無窮大可要大多了，因?yàn)樽匀粩?shù)的無窮大還可以被你列表，但是0-1之間的數(shù)卻永遠(yuǎn)沒辦法列出來。 那就給這樣的無窮大取個(gè)名字唄，就叫不可數(shù)無窮吧。 當(dāng)然，發(fā)現(xiàn)無窮大還可以這樣玩的人，并不像我這樣開心。 這個(gè)人，是個(gè)戰(zhàn)斗種族裔，在自帶不開心的種族屬性的德意志受的教育。他的名字，叫做格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）。 格奧爾格·康托爾 他是在1874年的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了無窮大的野生品種這個(gè)秘密的，并且為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)核心——集合論打下了基礎(chǔ)。 不過，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們各種不適應(yīng)無窮大新品種的概念，他們各種嘲笑康托爾，說他是個(gè)大PI YAN ZI。 同時(shí)期的數(shù)學(xué)家有多么不理解他的研究呢？ 比如，法國(guó)最偉大的數(shù)學(xué)家之一龐加萊這樣評(píng)價(jià)康托爾的集合論：“后世的人會(huì)把集合論看作一個(gè)人曾經(jīng)生過的一場(chǎng)病?！?/p> 又比如，1881年哈勒－維騰貝格大學(xué)（Martin-Luther-University Halle-Wittenberg）的數(shù)學(xué)家愛德華·海涅（Eduard Heine）去世后，康托爾推薦了3個(gè)數(shù)學(xué)家頂替他的位子，分別是理查德·戴德金（Richard Dedekind）、安里西·韋伯（Heinrich Weber）、弗朗茨·梅滕斯（Franz Mertens）。但好死不死，這3個(gè)人都拒絕了康托爾的提名，不肯過來。 別說德高望重的的數(shù)學(xué)家的隔空放炮，就連身邊的多年好友也不理解自己。 1885年，他多年的好友、瑞典數(shù)學(xué)家哥斯塔·米塔-列夫勒（G?sta Mittag-Leffler）變成了高級(jí)黑，勸他把一篇論文從頂級(jí)數(shù)學(xué)期刊——《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》（Acta Mathematica）上撤稿，理由是這篇文章“早了100年”。 就連他常年的好友、數(shù)學(xué)家赫爾曼·施瓦茨（Hermann Schwarz）和戴德金也為了避嫌而分別在1880年和1882年和康托爾中斷了往來。 搞到后來，同時(shí)代的大佬哲學(xué)家，比如維特根斯坦（Ludwig Wittgenstein）都蹦出來添亂，說康托爾的集合論挑戰(zhàn)了他們對(duì)上帝的看法，簡(jiǎn)直大不敬。 維特根斯坦 公元前5世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯的門徒希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)根號(hào)2是無理數(shù)，證明畢達(dá)哥拉斯學(xué)派所認(rèn)為的“所有數(shù)都是有理數(shù)”的看法是錯(cuò)的。 死人是不能出賣這個(gè)秘密的，因此畢達(dá)哥拉斯的其他門徒把希帕索斯丟到海里淹死了，史稱第一次數(shù)學(xué)危機(jī)…
而在兩千年后，發(fā)現(xiàn)了2個(gè)有理數(shù)之間夾著無窮多無理數(shù)的康托爾，就這樣，在這些數(shù)學(xué)家們的強(qiáng)烈鄙視和一連串暴擊之下，在1884年被生生地懟抑郁了，在人生的最后階段都不想搞數(shù)學(xué)了，一心一意地?fù)湓谏勘葋喓透ヌm西斯·培根之間的關(guān)系上。 最后，康托爾住進(jìn)了德國(guó)哈勒的精神病院，并且死在了那里。 好在死后又過了數(shù)十年，康托爾終于被平反。 曾經(jīng)罵他瀆神的維特根斯坦也良心發(fā)現(xiàn)，親自撰文哀悼，說當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界指責(zé)集合論的說法是“可笑”、“錯(cuò)誤”的“無稽之談”。 德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）揮一揮手，人都被你們逼死了，你們都憋說了： “沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去?！?Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben k?nnen.)
所以，看不懂無窮大又有什么關(guān)系呢...你只不過犯了和龐加萊、戴德金、維特根斯坦...一樣的錯(cuò)。你總是可以找到犯了這個(gè)錯(cuò)的人，而且TA不在前面這串人名里。 15分鐘看盡地球人做的2千次核爆炸，越到后面速度越恐怖 只知道四大發(fā)明？古代中國(guó)人已能掘地千米，開采天然氣了 |
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