看到哪個數(shù)，你會覺得最孤獨？

有人會說是1，因為它孤身一人。有人會說是0，因為它沒有任何存在感。有人會說是214，有人會說是419（咦）。這些都是字面上的直接聯(lián)想，因人而異，很難說哪個比哪個更加孤獨。

然而對一個學(xué)過數(shù)學(xué)的人來說，確實存在一個最“孤獨”的數(shù)。這個數(shù)就是所謂的黃金分割率φ。許多人說它是最美的數(shù)，美不美這種事情是一個主觀概念——但我們能從數(shù)學(xué)上證明，它是最“無理”的數(shù)，最難以接近的數(shù)，因而在這個意義上，是最孤獨的數(shù)。

一個無理（irrational）數(shù)有很多種表現(xiàn)方式。我們最熟悉的是無限不循環(huán)小數(shù)的形式，每多寫下一位數(shù)，就是用一個更加精確的有理（rational）數(shù)去逼近它。當(dāng)然，這個過程永遠到不了盡頭。

但是無理數(shù)也可以用分數(shù)的形式表現(xiàn)，只不過這個分數(shù)也是無窮無盡的——這就需要“連分數(shù)”。不要怕，這里的全部數(shù)學(xué)只是加減乘除和通分，不超過小學(xué)五年級。

先用一個有理數(shù)作為例子：1024/137，約等于7.47445255。

第一級近似：7，于是它變成了 7 + 65/137。

第二級近似：把第一級留下的分數(shù)倒過來，137/65 近似是2，于是它變成了 2 + 7/65，于是開始的那個數(shù)字就變成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。

第三級近似：對7/65進行類似處理，以此類推。

最后得到的結(jié)果是

或者，省去那些多余的1，可以表達為 [7; 2, 9, 3, 2]。

能夠證明，每一個有限的連分數(shù)都代表一個有理數(shù)，而每一個有理數(shù)能且只能表示成兩種形式的連分數(shù)（要求第一個系數(shù)是整數(shù)，剩下的全是正整數(shù)）。比如上面那個數(shù)也可以表示為 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除這兩種之外再沒有別的寫法了。

同樣的步驟完全適用于無理數(shù)，但這時得到的連分式就會一直延續(xù)下去。比如，π的連分式可以表示為

或者用簡化的表達式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。這個數(shù)列在“整數(shù)數(shù)列線上大全”（OEIS）中的編號是A001203。

使用連分數(shù)來逼近，就會遇到一個“逼近速度”的問題：每前進一步，近似值向精確值靠近了多少呢？

回到π的例子。我們先看第一位近似——7。忽略后面剩下的：

π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142...

熟悉嗎？這就是當(dāng)年祖沖之發(fā)現(xiàn)的“約率”。

如果接下來看到第三位近似:

π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929...

也即祖沖之的“密率”。二者都是對π的極好的近似。

這就是連分數(shù)的一個神奇屬性：當(dāng)你得到一個連分數(shù)后，你就自動獲得了“最快”的逼近精確值的方式。這有點違反直覺——當(dāng)你用7作為分母的時候，最小的單位就是1/7，那么誤差范圍應(yīng)該是1/14以內(nèi)吧？實際上，使用連分數(shù)獲得的誤差范圍不是1/14以內(nèi)，而是1/49以內(nèi)！ 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。

更一般地，假如一個無理數(shù)α，它的某一步連分式展開后變成了 p / q 的形式，那么一定有

| α - p/q | < 1 / q^2

而且， 這一定是當(dāng)前最好的精確值，任何比它更精確的分式都一定需要更大的分母。π的前三級展開，分別是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范圍內(nèi)一定找不到比7更好的，1-112的范圍內(nèi)一定找不到比113更好的。但是，7卻比8、9、10……都要好。因此可以說，連分數(shù)在某種意義上揭示了一個無理數(shù)的深層結(jié)構(gòu)。

那么回到我們開始的問題。最快的逼近速度有多快？從上面的公式可以看出來，這完全取決于連分式里具體的每個數(shù)——數(shù)字越大逼近越快，數(shù)字越小逼近越慢。祖沖之能發(fā)現(xiàn)約率和密率，部分原因是因為他運氣好，π開頭的這倆數(shù)正好都不小，所以能給出很漂亮的逼近。

而最小的正整數(shù)，當(dāng)然就是1了。

如果有這樣一個數(shù)：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...]

或者，

你肯定猜到了，這就是傳說中的黃金分割數(shù)φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就會得到另一個常見形式：0.618... 而這兩個數(shù)正好互為倒數(shù)。從連分式這個形式就能看出來為什么。

我們試著逼近一下，得到的是

2/1 = 2

3/2 = 1.5

5/3 = 1.66666...

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625

21/13 = 1.61538...

進行了6次近似，結(jié)果才到小數(shù)點后2位！剛才我們用π僅僅進行了2次近似，就精確到了小數(shù)點后6位。

（你可能注意到了，這個連分數(shù)的每一級逼近，就是傳說中的斐波那契數(shù)列。為什么？你猜。）

1是最小的正整數(shù)。因此，φ，這個全部由1組成的連分數(shù)，是所有數(shù)中最難以接近的數(shù)。沒有之一。

孤獨的數(shù)

高冷的數(shù)

獨一無二的數(shù)

不可捉摸的數(shù)

許多人說φ是最美的數(shù)，貫穿整個西方藝術(shù)史，所有優(yōu)秀的設(shè)計都要用到它。這其實是夸大其詞了。很多所謂的顯示了黃金分割率的圖，其實只是強行把一個對數(shù)螺線罩上去而已，二者并沒有什么相似之處。黃金分割率是19世紀才開始流行的觀念，達芬奇本人從未提過；現(xiàn)實中大部分比例（3:2，4:3，16:9）固然和黃金率離得不“太”遠，但幾乎見不到精確符合它的；人體并不嚴格符合黃金律；如果你讓藝術(shù)系的學(xué)生挑選他們眼中最美的的長方形，挑出來的長寬比并不是圍繞黃金律的。一項實驗表明，只要是1.4-1.7范圍內(nèi)的長方形，人們都會覺得好看。

黃金率在審美上沒有什么特殊之處，我們看到的只是人們企圖攀附它來尋找所謂的理論依據(jù)而已。

請問這張圖里前面那個對數(shù)螺線和后面那個建筑除了一樣寬之外還有幾毛錢的關(guān)系？圖片來源： Sébastien Bertrand

然而，自然界“懂得”它的真正含義。

想象你是一朵向日葵。你的果實和種子是在中心生長出來的，然后逐漸被“推”到外面去，過程中逐漸變大——因此傳統(tǒng)的密堆方式（比如蜂巢那樣的六邊形）就不能用了。但是每長出一粒新的籽，你可以選擇旋轉(zhuǎn)一定的角度然后再長下一顆。

如果你旋轉(zhuǎn)90度，也就是1/4個圓，結(jié)果就是這樣：

因為外圈的空間比內(nèi)圈大，所以有些地方你永遠用不到。這很浪費空間。選擇任何分數(shù)——1/3、1/4、2/5、3/7……結(jié)果都是這樣，形成周期的圖樣，而兩個周期中間的地方，總觸及不到。

要想避開周期，只能用無理數(shù)。結(jié)果就是這樣：

大有改善，但是還有很多縫隙沒用上。畢竟，無理數(shù)是可以用連分數(shù)近似的。近似得太好的話，就和分數(shù)沒有太多差別。

因此，我們必須找一個距離分數(shù)最遠的、最難近似的、最無理的數(shù)，這樣才不會產(chǎn)生周期性，才能補上中間的那些空隙。

這就是φ。它所對應(yīng)的角度，大約是137.5度。

這個數(shù)字必須極其精確，不然就會毀掉整個圖樣。往上數(shù)第二張圖——那是137.6度，多了0.1而已。但自然界很明顯抓住了這個數(shù)。向日葵當(dāng)然不懂這背后的數(shù)學(xué)原理，但在自然選擇的壓力下它猜中了答案。

本系列圖片來源：《一道八百年松鼠難題》by 桔子幫小幫主，下圖不再一一注明

如果說φ里體現(xiàn)了美，我倒寧愿認為是它展現(xiàn)了自然界的一角，而不是因為似是而非的神秘主義。

不論在審美的意義上φ是否是一個美的數(shù)，在數(shù)學(xué)的意義上φ是一個高冷的數(shù)。它最為高效，然而又最難靠近，最是無理，因此，它也是最孤獨的數(shù)。

而相比之下，一個人之所以孤獨，則常常不是因為無理，而是因為過于理性了.

　　在過去的一個世紀里，許多人挑戰(zhàn)過用不規(guī)則五邊形鋪平面，但是鮮有人獲得成功。上個月，馮-德勞編寫的計算機程序為數(shù)學(xué)家伉儷發(fā)現(xiàn)第15種凸五邊形奠定了基礎(chǔ)。

北京時間8月26日消息，據(jù)國外媒體報道，美國華盛頓大學(xué)三位數(shù)學(xué)家近日運用計算機程序，發(fā)現(xiàn)一種新型不規(guī)則凸五邊形，可以在相互不重疊的情況下實現(xiàn)無縫拼接。研究團隊表示，在數(shù)學(xué)界，這一發(fā)現(xiàn)無異于發(fā)現(xiàn)一種新型粒子。

　　如今，瓦匠和浴室設(shè)計師可以奔走相告歡呼雀躍了。通常而言，規(guī)則的五邊形地磚可被用來鋪地板，在相互不重疊的情況下無縫鋪滿整片地板。來自華盛頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家伉儷凱西-曼恩教授與妻子珍妮弗-麥克勞德-曼恩，運用其學(xué)生大衛(wèi)-馮-德勞編寫的計算機程序，在“砌平面”時發(fā)現(xiàn)一類新的不規(guī)則五邊形。這是科學(xué)家迄今為止發(fā)現(xiàn)的第15種可以實現(xiàn)完美對接的不規(guī)則五邊形，距離上一發(fā)現(xiàn)已有30年。該三人研究團隊表示，在數(shù)學(xué)界，發(fā)現(xiàn)這種不規(guī)則五邊形，無異于發(fā)現(xiàn)一種新型粒子。

　　這一研究將可應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如生物化學(xué)和結(jié)構(gòu)設(shè)計。曼恩表示：“我們在自然界看到形形色色的結(jié)構(gòu)，從晶體到病毒，都是由大量模塊組成的，這些模塊在幾何學(xué)和其它動力學(xué)的作用下，相互緊密結(jié)合形成更大規(guī)模的結(jié)構(gòu)。這一發(fā)現(xiàn)不但提供給我們一種鋪地磚的全新模式，還將在其它領(lǐng)域發(fā)揮實際作用。這種新地磚的發(fā)現(xiàn)，讓我們對平面上各種形狀的切合模式有了進一步了解。”

　　三角形和正方形可以平鋪的平面形狀和大小非常有限；科學(xué)家已用數(shù)學(xué)公式論證，擁有超過六條邊的凸多邊形無法用來鋪滿一個平面。在過去的一個世紀里，許多人挑戰(zhàn)過用不規(guī)則凸五邊形鋪平面，但是鮮有人獲得成功。1918年，一位德國數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)5種不規(guī)則五邊形，可被用來鋪滿一個平面；一位住在圣地亞哥的家庭主婦同樣發(fā)現(xiàn)了5種此類凸五邊形。科學(xué)家的此次發(fā)現(xiàn)，是30年來的首次。

　　曼恩和麥克勞德-曼恩是地磚與繩結(jié)理論領(lǐng)域的專家，他們夫婦自兩年前來到華盛頓大學(xué)后，就致力于研究發(fā)現(xiàn)新型五邊形。當(dāng)繪制出一幅五邊形地磚圖片時，他們意識到自己解開了一個數(shù)學(xué)難題。麥克勞德-曼恩稱：“我們一直在研究，希望發(fā)現(xiàn)新的不規(guī)則五邊形，但一直未能成功。然而，就在大家開始絕望的時候，上個月，馮-德勞編寫的計算機程序讓我們看到了一線曙光。在預(yù)測是否會發(fā)現(xiàn)更多不規(guī)則五邊形的問題上，我一直持謹慎觀點。這次發(fā)現(xiàn)非常意外，它讓我相信未來可能還會發(fā)現(xiàn)更多類似的五邊形。”(彬彬)