一、已知頭數(shù)和與足數(shù)和的雞兔問題

問題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中雞和兔各有幾只？

解析一：假設這35只都是雞（也可以假設都是兔），那么有腳2×35=70（只）。而實際有腳94只，比假設多94-70=24（只）。這需要把一些雞換成兔，而把一只雞換成一只兔就會增加4-2=2（只）腳。因此得出：把雞換成兔的只數(shù)是24÷2=12（只），即兔有12只。那么雞有35-12=23（只）。

解析二：假設雞有10只（這是任意假設，也可以任意假設兔的只數(shù)），那么兔有35-10=25（只），雞兔一共有腳2×10+4×25=120（只），而實際有腳94只，比假設少120-94=26（只）。這需要把一些兔換成雞，而把一只兔換成一只雞就會減少4-2=2（只）腳。因此得出：把兔換成雞的只數(shù)是26÷2=13（只），即兔有25-13=12（只），那么雞有35-12=21（只）。

解析三：假設這94只腳都是雞腳（也可以假設都是兔腳），那么有頭94÷2=47（個）。把兔腳當作雞腳，就會把兔的只數(shù)擴大4÷2=2倍，即增加1倍。因此得出兔有47-35=12（只），而雞有35-12=23（只）

解析四：假設雞腳有70只（這是任意假設，也可以任意假設兔腳數(shù)），那么兔腳有94-70=24（只），而頭一共有70÷2+24÷4=41（個），比實際多41-35=6（個）頭。這說明有些兔腳當作雞腳了，而把兔足看成雞足，兔的只數(shù)（頭數(shù)）就會增加（4÷2-1）倍。因此把兔看作雞的只數(shù)是6÷（4÷2-1）=6（只），那么兔實際有24÷4+6=12（只），雞實際有35-12=23（只）。

  評注：此題也可以利用平均數(shù)“移多補少”的思想解答，也可以用“盈不足術(shù)”或代數(shù)法解答。至于“砍足法”、“金雞獨立法”或者“算翅膀法”都是三種解析法的變形，只不過敘述方法不同罷了。

 練習：有若干只雞和兔子，它們共有88個頭，244只腳，雞和兔各有多少只？

 二、已知頭數(shù)和與足數(shù)差的雞兔問題

 問題：雞兔同籠，它們一共有100只，而雞足比兔足多80只。雞兔各有多少只？

 解析一：假設100只都是雞（也可以假設都是兔），雞足比兔足多2×100=200（只）。而實際雞足比兔足多80只，這個差多了200-80=120（只）。這需要把一些雞換成兔，而把一只雞換成一只兔，雞足減少2只，兔足增加4只，雞足與兔足的差就會減少4+2=6（只）。因此得出：把雞換成兔的只數(shù)是120÷6=20（只），即兔有20只，那么雞有100-20=80（只）。

 解析二：假設減少80只雞足（也可以假設增加80只兔足），即減少80÷2=40（只）雞，那么雞足數(shù)等于兔足數(shù)，而雞兔一共有100-40=60（只）。由“雞足數(shù)等于兔足數(shù)”得出：雞的只數(shù)是兔的4÷2=2倍。根據(jù)和倍問題的解法：兔有60÷（2+1）=20（只），那么雞有100-20=80（只）。

 練習：雞與兔共100只，雞的腳數(shù)比兔的腳數(shù)少28.問雞與兔各幾只？

 三、已知頭數(shù)和與足數(shù)倍的雞兔問題

 問題：雞兔同籠，它們一共有84只，而雞足是兔足的3倍。雞兔各有多少只？

 解析一：如果把4只兔足與4×3只雞足分作一組，那么恰好分作若干組。即1只兔與（4×3÷2）只雞分作一組。雞兔84只一共分作：84÷（1+4×3÷2）=12（組），因此兔有1×12=12（只），而雞則有4×3÷2×12=72（只）。

 解析二：由“雞足是兔足的3倍”可知：雞的只數(shù)是兔的3×（4÷2）=6倍。根據(jù)和倍問題的解法：兔有84÷（6+1）=12（只），那么雞有84-12=72（只）。

 解析三：假設84只都是兔（也可假設都是雞），那么一共有足4×84=336（只）。這樣兔的足數(shù)不變，而雞的足數(shù)擴大4÷2=2倍，即雞足是兔足的3×2=6倍。就是說336只是兔足的（6+1）倍。那么兔足是336÷（6+1）=48（只），那么兔有48÷4=12（只），雞則有84-12=72（只）。

 練習：雞兔同籠，它們一共有100只，而兔足是雞足的3倍。雞兔各有多少只？                                                            （待續(xù)）