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維諾格拉多夫 張明堯 (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)) 維諾格拉多夫，1891年9月14日生于俄國西部普斯科夫省大盧基縣的米洛留勃村；1983年3月20日卒于莫斯科．?dāng)?shù)學(xué)． 維諾格拉多夫的父親是米洛留勃村墓地教堂的一名牧師，母親是一名教師．維諾格拉多夫從小就表現(xiàn)出繪畫的才能．當(dāng)時(shí)牧師的孩子通常是進(jìn)教會(huì)學(xué)校讀書，而他的父母卻一反慣例，于1903年送他到大盧基城的一所主要是講授自然科學(xué)、現(xiàn)代語言及繪畫的實(shí)科中學(xué)去就讀．1910年他中學(xué)畢業(yè)后，進(jìn)入首都彼得堡(1914—1924年間改稱彼得格勒；后又更名為列寧格勒)的彼得堡大學(xué)的物理數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，1914年畢業(yè)．在該系著名學(xué)者Я．B．烏斯賓斯基等人的影響下，維諾格拉多夫?qū)?shù)論產(chǎn)生了濃厚的興趣．1915年，由于他關(guān)于二次剩余及非剩余分布問題所獲得的研究成果，經(jīng)B．A．斯捷克洛夫推薦，授予他一項(xiàng)獎(jiǎng)學(xué)金，此后他成功地通過了碩士學(xué)位．1918—1920年，維諾格拉多夫先后在國立彼爾姆大學(xué)及蘇聯(lián)東歐部分的莫洛托夫大學(xué)任教，先任副教授，后擔(dān)任教授．1920年底，他回到彼得格勒，任彼得格勒工學(xué)院教授及彼得格勒大學(xué)副教授．在彼得格勒工學(xué)院他開設(shè)高等數(shù)學(xué)課，在彼得格勒大學(xué)他開設(shè)數(shù)論課，這門課就成了他后來所著《數(shù)論基礎(chǔ)》一書的基礎(chǔ)．1925年他升任列寧格勒大學(xué)教授，并擔(dān)任該校數(shù)論及概率教研室主任． 1929年1月他當(dāng)選為蘇聯(lián)科學(xué)院院士，這標(biāo)志著他開始進(jìn)入國家級(jí)的科學(xué)活動(dòng)組織者及管理人才的行列中．他與C．И．瓦維洛夫共同制訂了對(duì)科學(xué)院物理-數(shù)學(xué)研究所進(jìn)行重大改組的計(jì)劃．1930—1932年他出任人口統(tǒng)計(jì)研究所所長，1930—1934年任物理-數(shù)學(xué)研究所數(shù)學(xué)部主任．1934年，物理-數(shù)學(xué)研究所分為兩個(gè)所：列別捷夫物理研究所與斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所．維諾格拉多夫被任命為斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所第一任所長，直到去世前，他一直擔(dān)任這一職務(wù)．其間，蘇聯(lián)科學(xué)院從列寧格勒遷往莫斯科，斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所即建在瓦維洛夫大街上．1950年起，他任《蘇聯(lián)科學(xué)院通報(bào)》數(shù)學(xué)組主編，1958年起任全蘇數(shù)學(xué)家委員會(huì)主席．他始終對(duì)數(shù)學(xué)教育有極大的興趣，直到去世前一直任全蘇中學(xué)數(shù)學(xué)改革委員會(huì)主席． 維諾格拉多夫中等身材，體格異常健壯．即便到90高齡，他也從不坐電梯去辦公室，且步履十分矯?。c人談話常用俄語，但能說一口相當(dāng)熟練的英語．他一生中只有很少幾次出國參加活動(dòng)．其中有兩次出訪聯(lián)合王國，一次是1946年參加英國皇家協(xié)會(huì)主辦的牛頓紀(jì)念活動(dòng)，另一次是參加1958年的愛丁堡國際數(shù)學(xué)家大會(huì)．維諾格拉多夫十分好客，待人誠摯體貼．1971年借祝維諾格拉多夫80壽辰之機(jī)，在莫斯科舉行了一次學(xué)術(shù)討論會(huì)．維諾格拉多夫自費(fèi)主辦了一次宴會(huì)，邀請(qǐng)與會(huì)的國內(nèi)外數(shù)學(xué)家參加，他親筆填寫了每份請(qǐng)?zhí)?，?duì)每位客人都給予了熱情的款待． 維諾格拉多夫一生中被20多個(gè)外國科學(xué)院及科學(xué)協(xié)會(huì)等機(jī)構(gòu)授予院士、名譽(yù)院士、會(huì)員、名譽(yù)會(huì)員等稱號(hào)．1939年被授予倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)名譽(yù)會(huì)員稱號(hào)，1942年當(dāng)選為英國皇家學(xué)會(huì)外籍會(huì)員．他一生還多次榮獲蘇聯(lián)政府及蘇聯(lián)科學(xué)院等頒發(fā)的勛章及榮譽(yù)稱號(hào)．其中計(jì)有： 社會(huì)主義勞動(dòng)英雄(2次)，列寧勛章(5次)，錘子與鐮刀勛章(2次)，十月革命勛章，斯大林獎(jiǎng)金(現(xiàn)改稱國家獎(jiǎng)金)，列寧獎(jiǎng)金，羅蒙諾索夫金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)?，其中羅蒙諾索夫金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)率翘K聯(lián)科學(xué)院的最高獎(jiǎng)． 波利亞-維諾格拉多夫不等式 設(shè)m≥1為給定的整數(shù)，a，b為兩個(gè)整數(shù)．若a—b可被m整除，則記m|(a—b)，稱m為模，并稱a與b對(duì)模m同余，記為a≡b(mod m)．對(duì)固定的模m，同余關(guān)系是一個(gè)等價(jià)關(guān)系．把對(duì)模m同余的所有整數(shù)歸為一類，稱為模m的一個(gè)剩余類，則全體整數(shù)恰可分成m個(gè)不同的剩余類．從每一類中取一代表元組成的集合稱為模m的一個(gè)完全剩余系．對(duì)剩余類可以很自然地定義類的加、減、乘法，它們與整數(shù)的加、減、乘法有完全類似的性質(zhì)． 設(shè)m=p≥3為素?cái)?shù)，f(x)=anxn+…a1x＋a0是一個(gè)n≥1次整系數(shù)多項(xiàng)式．若x0滿足同余方程 f(x)≡0(modp)， (1) 易見一切滿足t≡x0(modp)的t皆滿足(1)，它們稱為(1)的一個(gè)解．與代數(shù)基本定理對(duì)應(yīng)，我們有如下定理． 定理(拉格朗日)若an (modp)，則(1)至多有n個(gè)解． 當(dāng)n=2時(shí)，求解(1)可以歸結(jié)為求解特殊形式的二次同余方程 x2≡a(modp)． (2) A．M．勒讓德(Legendre)首先定義了如下的符號(hào)，此即初等數(shù)論中著名的勒讓德符號(hào)： 非剩余(即平方非剩余)．在模p的一個(gè)完全剩余系｛1，2，…，p｝中，易見除p外，二次剩余與非剩余各占一半，故 實(shí)際上，對(duì)任何整數(shù)N均有 這表明在模p的一個(gè)完全剩余系里，二次剩余與非剩余個(gè)數(shù)總是相等．一個(gè)自然的問題是：對(duì)任意整數(shù)N及任給正整數(shù)M，當(dāng)a取遍區(qū)間[N＋1，N+M]中的整數(shù)時(shí)，其中二次剩余及非剩余的分布情況如何？(3)表明其中二次剩余與非剩余的個(gè)數(shù)之差為 由(5)知不妨可設(shè)1≤M＜p／2．維諾格拉多夫證明了 上式表明，當(dāng)區(qū)間長度M適當(dāng)大時(shí)，其中二次剩余與非剩余的個(gè)數(shù)相差甚少．正是由于這項(xiàng)研究成果，1915年他被授予一項(xiàng)獎(jiǎng)學(xué)金，并被批準(zhǔn)留校攻讀學(xué)位． 勒讓德符號(hào)實(shí)際上是以p為模的一種實(shí)原特征，它是更為廣泛的狄利克雷(Dirichlet)特征χq(a)的特例，這里q是特征的模．1918年，維諾格拉多夫與波利亞互相獨(dú)立地證明了：若χq(a)是以q為模的一個(gè)原特征，則對(duì)任何整數(shù)N≥1皆有 若χq(a)為非主特征，則有 這些不等式統(tǒng)稱為波利亞-維諾格拉多夫不等式． 1977年，H．L．蒙哥馬利(Montgomery)與R．C．沃恩(Vaughan)在假設(shè)廣義黎曼猜想(簡(jiǎn)記為GRH)成立的條件下證明了：對(duì)非主特征有 而R．E．A．C．佩利(Paley)于1932年就構(gòu)造出一列無窮多個(gè)不同的二次特征χqj(j=1，2，…)，使得 因此，(7*)與最好可能的結(jié)果(7.1)相比已經(jīng)相當(dāng)接近． 設(shè)n2(p)＞1為模p的最小二次非剩余．1919年，維諾格拉多夫利用(7)及素?cái)?shù)分布的簡(jiǎn)單性質(zhì)證明了 他猜想對(duì)任給ε＞0有n2(p)=O(pε)，他還猜想對(duì)任給ε＞0有 安克尼(Ankeny)證明了：若GRH成立，則有n2(p)=O(ln2p)．對(duì)于后一猜想，1967年P(guān)．D．T．A．埃利奧特(Elliott)證明了它是GRH的一個(gè)推論．這兩個(gè)猜想迄今仍未獲得證明．他關(guān)于二次及高次剩余分布、原根與指數(shù)分布等問題的許多結(jié)果已被D．A．伯吉斯(Burgess)等人加以改進(jìn)．有關(guān)結(jié)果請(qǐng)見W．納基耶維奇(Narkiewicz)所寫專著第Ⅱ章及其他文獻(xiàn)． 類數(shù)均值公式及格點(diǎn)問題 設(shè)a，b，c為取定的整數(shù)，稱二次齊次式 f(x，y)=ax2＋bxy＋cy2 為一個(gè)二元二次型，簡(jiǎn)記為{a，b，c}，稱d=b2-4ac為其判別式．若(a，b，c)=1，則稱{a，b，c}為本原二次型，簡(jiǎn)稱原型，這里(a，b，c)表a，b，c三數(shù)的最大公約數(shù)． 設(shè)給定兩個(gè)型{a1，b1，c1}與{a2，b2，c2}，其變量分別為x，y及u，v．若有一個(gè)整系數(shù)變換 使{a1，b1，c1}變?yōu)閧a2，b2，c2}，則稱它們是相似型．易證相似是二次型的一種等價(jià)關(guān)系．利用它可將判別式為d的所有本原二次型分成兩兩不相交的等價(jià)類．用h(d)表示把判別式d的本原二次型所分成的等價(jià)類的個(gè)數(shù)．容易證明，對(duì)每個(gè)判別式d，h(d)皆有限． 對(duì)判別式為-d＜0的正定型，F(xiàn)．高斯(Gauss)在其所著《算術(shù)研究》(Disquisitiones arithmeticae，1801)一書第302篇中不加證明地給出一個(gè)漸近公式 1865及1874年，R．李普希茨(Lipschitz)與F．默滕斯(Mertens)先后得到(8)式的第一項(xiàng)(參見P．巴赫曼(Bachma-nn)著《解析數(shù)論》(Die analytische Zahlentheorie，1894)二卷十三章§16)，但他們的方法均未能得到第二項(xiàng)主項(xiàng)． 1917年，維諾格拉多夫給出了研究算術(shù)函數(shù)漸近表示中余項(xiàng)估計(jì)這一難題的一個(gè)新方法，它比Г．沃羅諾伊于1903年提出的方法簡(jiǎn)單，且能獲得幾乎相同的結(jié)果．維諾格拉多夫新方法的重點(diǎn)在于如下的所謂“第一基本公式”： 設(shè)k≥1，A＞29，R＞Q皆為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[Q，R]中二階可微且滿足 則有 其中｛y｝表示實(shí)數(shù)y的小數(shù)部分，而 由此并利用上述李普希茨文章中的一個(gè)恒等式 即證得(8)式，并得到 R(n)＝O(n5/6(ln n)2/3)， (13) 其中μ(m)為麥比烏斯(M bius)函數(shù)，F(xiàn)(m)為滿足某些不等式組的整值解組數(shù)．1963年他得到 R(n)=O(n2/3(lnn)6)， (14) 這一紀(jì)錄至今未被打破． 維諾格拉多夫的第一基本公式可以解釋成為關(guān)于由 x=Q，x=R，y=f(x)，y=0 所圍成的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)的一個(gè)命題．1925年V．雅尼克(Jarnik)證明了，(11)已是基本上最好可能的結(jié)果．由是可知，維諾格拉多夫方法可用于處理域內(nèi)整點(diǎn)問題．設(shè)p(x)表示落在球 u2＋v2+w2≤x 中的整點(diǎn)個(gè)數(shù)．1963年維諾格拉多夫證明了 這仍是目前已知最好的結(jié)果． 華林問題 1770年，E．華林(Waring)在《代數(shù)沉思錄》(Meditationesalgebraicae)第204—205頁上發(fā)表了如下的猜想： 每個(gè)自然數(shù)皆可表為四個(gè)整數(shù)的平方和，皆可表為九個(gè)非負(fù)整數(shù)的立方和，皆可表為十九個(gè)整數(shù)的四次方之和，等等． 綜觀其言，他實(shí)質(zhì)上提出了如下的問題：對(duì)每個(gè)給定的整數(shù)k≥2，是否存在一個(gè)只與k有關(guān)的正整數(shù)s=s(k)，使每個(gè)正整數(shù)皆可表為至多s個(gè)非負(fù)整數(shù)的k次方之和？求最小正整數(shù)s(k)=g(k)，使每個(gè)正整數(shù)皆可表為g(k)個(gè)非負(fù)整數(shù)的k次方之和，此即著名的關(guān)于g(k)的華林問題．若不要求這種表示對(duì)每個(gè)正整數(shù)成立，改為要求對(duì)充分大的正整數(shù)皆成立，又以G(k)表示滿足這種要求的最小的s(k)，估計(jì)G(k)的上界即著名的關(guān)于G(k)的華林問題． 1909年，D．希爾伯特(Hilbert)首次用多重積分證明了A．胡爾維茨(Hurwitz)提出而未能證明的一個(gè)恒等式，由此即得：對(duì)形如k=2c的冪k，華林問題中的s(k)是存在的．由此再用初等方法可對(duì)一般性的k證明s(k)的存在性．但希爾伯特方法所得s(k)之?dāng)?shù)值太大，方法也相當(dāng)復(fù)雜，在近代數(shù)論的發(fā)展中沒有找到進(jìn)一步的應(yīng)用． 1920—1928年間，G．H．哈代(Hardy)與J．E．李特伍德(Littlewood)在總標(biāo)題為“‘Partitio numerorum’的若干問題”(Some problems of“Partitio numerorum”)的七篇論文中，系統(tǒng)地開創(chuàng)并發(fā)展了解析數(shù)論中一個(gè)新方法，此即當(dāng)今著稱的哈代與李特伍德的圓法．而在哈代與S．拉馬努金(Ramanujan)1918年發(fā)表的一篇論文中已經(jīng)有了圓法的思想． 1924年，維諾格拉多夫?qū)ο柌仃P(guān)于華林問題的結(jié)果給出一個(gè)新證明，它相當(dāng)初等，只用到傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)及外爾(Weyl)估計(jì)三角和的方法，而沒有用圓法．E．蘭道(Landau)在《數(shù)論導(dǎo)引》(Vorlesungen ber Zahlentheorie，1927)第一卷第六部分第五章指出，維諾格拉多夫的方法可用于求g(k)的相當(dāng)滿意的上界．1936年L．E．迪克森(Dickson)與S．S．皮萊(Pillai)相互獨(dú)立地得到g(k)問題近乎最后的解決，其中證明的關(guān)鍵部分有賴于對(duì)維諾格拉多夫方法的應(yīng)用． 在哈代與李特伍德上述系列文章的Ⅳ中證明了：若s≥(k-2)2k-1+5，k≥3，Rs(n)是n表為s個(gè)k次方之和的表法數(shù)，則對(duì)充分大的n有 其中 (n)大于某個(gè)正常數(shù)．由是他們首次得出顯式上界 G(k)≤(k-2)2k-1+5． (17) 在1925年發(fā)表的Ⅵ中，他們糾正了上文中一個(gè)引理證明中的錯(cuò)誤并得到：對(duì)k≥4有 G(k)≤(k-2)2k-2+k+5 他們的方法是考慮無限和 及其s次冪 由柯西積分公式有 C是以原點(diǎn)為圓心，半徑為ρ(0＜ρ＜1)的圓周，他們?cè)趕≥s0(k)且n充分大時(shí)找到一種漸近計(jì)算積分(19)的方法． 1928年，維諾格拉多夫改為考慮有限和 及其s次冪 這里e(x)=e2πix，N=［n1/k］，而Rs(m，n)是m表為s個(gè)不超過N的非負(fù)整數(shù)k次冪和的表法個(gè)數(shù)．易見 由此他也導(dǎo)出了(16)，并證明了(17)．這大大簡(jiǎn)化了哈代與李特伍德的方法，也為解決數(shù)論中各種困難的問題開辟了一條更為廣闊的道路．此后，他多次回到這一問題．他關(guān)于漸近公式成立時(shí)G(k)上界的最后結(jié)果是 G(k)≤2k2(2lnk＋ln lnk+5)(k≥4)． (23) 如果放棄漸近公式(16)而只證Rs(n)＞0，則可得到G(k)的好得多的上界．1934年，維諾格拉多夫第一個(gè)獲得階為klnk的上界 G(k)＜6klnk+(ln216+4)k(k≥4)． (24) 顯然可證有 G(k)＞k， (25) 故(24)中的階klnk已基本上是最好可能的了．1959年他得到：對(duì)k＞170000有 G(k)＜k(2lnk＋4lnlnk+2lnlnlnk＋13)， (26) 并且得到 1985年A．A．卡拉楚巴用p-adic方法證明了，對(duì)k≥4000有 G(k)＜2k(lnk＋lnlnk+6)， (28) 這是目前G(k)上界的最好結(jié)果．對(duì)較小的k，更好的結(jié)果請(qǐng)見所列文獻(xiàn)及專著． 哥德巴赫猜想 1742年，德國數(shù)學(xué)家C．哥德巴赫(Goldbach)在與L．歐拉(Euler)的幾次通信中提出了整數(shù)表為素?cái)?shù)和的兩個(gè)猜想，用現(xiàn)代語言來說，就是： (A)每個(gè)≥6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和， (B)每個(gè)≥9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和． 這就是當(dāng)今著稱的哥德巴赫猜想，(A)通常稱為關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想，(B)稱為關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想．直到1900年希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的著名演講發(fā)表之前，有關(guān)這個(gè)猜想的研究尚未取得任何實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展． 哈代與李特伍德在他們上述系列論文的Ⅲ與Ⅴ(發(fā)表于1923年)中，用圓法對(duì)哥德巴赫猜想進(jìn)行了研究．鑒于圓法與維諾格拉多夫方法對(duì)哥德巴赫猜想的主要貢獻(xiàn)在于解決了猜想(B)，而對(duì)猜想(A)只能得到“幾乎全體偶數(shù)皆可表為二奇素?cái)?shù)之和”這樣的結(jié)果，本文中只對(duì)涉及猜想(B)的結(jié)果加以討論． 在Ⅲ中，哈代與李特伍德考慮了函數(shù) 及其r次冪 這里 于是 這里C1是以原點(diǎn)為中心、半徑為e-1/n的圓周．與前類似地將積分(32)分成主項(xiàng)與余項(xiàng)，他們?cè)谟囗?xiàng)的估計(jì)中遇到對(duì)狄利克雷L函數(shù)的零點(diǎn)分布缺乏了解這一重大困難．不得已假設(shè)下面的猜想(R)成立： 點(diǎn)皆位于半平面Rez≤θ中． 在此假設(shè)下，他們證明了：充分大的奇數(shù)n表為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和的表法個(gè)數(shù)N3(n)有漸近式 其中 特別地，當(dāng)(R)成立時(shí)，每個(gè)充分大的奇數(shù)n皆可表為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和． 維諾格拉多夫在他于1937年發(fā)表的著名論文中改為考慮過素?cái)?shù)值求和的有限三角和 用In記n表為三個(gè)奇素?cái)?shù)和的表法個(gè)數(shù)，則與(22)式同法有 適當(dāng)將[0，1]劃分成基本區(qū)間(也稱優(yōu)弧)與余區(qū)間(也稱劣弧)兩部分，相應(yīng)的積分分別記為In(1)與In(2)． 對(duì)In(1)用西格爾(Siegel)-瓦爾菲茨(Walfisz)定理不難給出其主項(xiàng)及余項(xiàng)估計(jì)．為估計(jì)In(2)，維諾格拉多夫?qū)π稳?35)的素變數(shù)三角和給出了非平凡的上界估計(jì)，從而不用任何假設(shè)證明了：存在常數(shù)B0(現(xiàn)在稱為維諾格拉多夫常數(shù))，每個(gè)奇數(shù)n≥B0皆可表為三個(gè)奇素?cái)?shù)之和． 應(yīng)用上面的證法，常數(shù)B0無法算出來，這是因?yàn)樯厦孀C明中用到的西格爾-瓦爾菲茨定理中涉及的常數(shù)不能有效地算出．為具體求出B0的上界，可用較弱的佩奇(Page)定理代替西格爾-瓦爾菲茨定理．1956年，K．Г．博羅茲德基求得 B0≤exp(exp16.038)， (37) 這個(gè)值現(xiàn)在完全可以得到較大的改進(jìn)． 同年，維諾格拉多夫?qū)π稳? 的更一般的素變數(shù)三角和得到非平凡的上界估計(jì)，這里f(x)為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式．特別當(dāng)f(x)=xk時(shí)他對(duì)華林-哥德巴赫問題得到如下結(jié)果： lnk+lnlnk+5)]，則n→∞時(shí)有 有關(guān)其他形狀的素變數(shù)三角和估計(jì)及應(yīng)用請(qǐng)見所列專著及文獻(xiàn)． 模1一致分布 先考慮一個(gè)簡(jiǎn)單問題．設(shè)θ為一個(gè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意給定的自然數(shù)N，考慮區(qū)間[0，1)中如下N+1個(gè)實(shí)數(shù) 0，｛θ｝，…，｛Nθ｝． 如果將［0，1)等分成N個(gè)長為1／N的子區(qū)間，則至少有兩個(gè)整數(shù)a，b，0 ≤a＜b≤N，使{aθ}與{bθ}在同一子區(qū)間中，即 |｛bθ｝－｛aθ｝＜1／N． 定義k=b-a，h=[bθ]-[aθ]，則有一對(duì)整數(shù)h，k，0＜k≤N，使 |kθ—h|＜1／N≤1／k， 事實(shí)上可以要求(h，k)=1，又在θ為無理數(shù)時(shí)，滿足上述要求的數(shù)對(duì)h，k有無窮多對(duì)．完全類似地可證下述命題：設(shè)θ為無理數(shù)，a為任一實(shí)數(shù)，則有無窮多對(duì)整數(shù)hn，kn(kn＞0)使 |θkn-hn-a|＜3／kn． 由此立即推出，［0，1)中每一點(diǎn)都是點(diǎn)集｛mθ｝(m=1，2，…)的極限點(diǎn)．那么，點(diǎn)集{mθ}在(0，1)中是否“均勻分布”呢？為了使“均勻分布”意義明確，我們給出如下的定義：設(shè)ω=(xn)，n=1，2，…是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)列，我們稱ω是模1一致分布的，如果對(duì)每對(duì)實(shí)數(shù)a，b，0≤a＜b≤1有 這里A(［a，b)；N；ω)表示x1，…，xn中使小數(shù)部分{xn}落在［a，b)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)． 對(duì)如何判別一致分布(modl)，有如下重要的韋爾判別法：數(shù)列(xn)，n=1，2，…為一致分布(modl)的充分必要條件是，對(duì)所有整數(shù)h≠0有 因此，能否對(duì)形如 的三角和給出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，是判別數(shù)列是否一致分布的關(guān)鍵．在某些重要而又困難的情形，維諾格拉多夫方法是解決這一關(guān)鍵困難的基本工具． 設(shè)a為一給定無理數(shù)，定義 xn=apn，n=1，2，…， 這里pn表示第n個(gè)素?cái)?shù)，則由維諾格拉多夫估計(jì)(35)型和的方法易得 故由韋爾判別法立即證得(apn)是一致分布的．完全類似地可證：數(shù)列(f(pn))，n=1，2，…為一致分布(modl)，這里f(x)是首項(xiàng)系數(shù)為無理數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式．值得一提的是，1937年P(guān)．屠阮(Turán)首次在假設(shè)GRH為真的條件下證明了(apn)的一致分布性． 帶誤差項(xiàng)的素?cái)?shù)定理 令π(x)表示不超過x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)，尋求它當(dāng)x充分大時(shí)的漸近表示是19世紀(jì)近百年中數(shù)學(xué)家們的一項(xiàng)中心任務(wù)．1848—1850年，俄國數(shù)學(xué)家п．л．切比雪夫首開紀(jì)錄，證得 1859年，黎曼在其著名論文中用新的解析方法揭示出ζ函數(shù)與素?cái)?shù)分布之間的深刻聯(lián)系．1896年，J．阿達(dá)瑪(Hadamard)與C．J．德拉瓦萊-普桑(de la Vallée Poussin)相互獨(dú)立地證明了素?cái)?shù)定理： 這等價(jià)于 此后，數(shù)學(xué)家們一直致力于求π(x)-lix的最佳誤差．1901年，H．馮·科克(Koch)在黎曼猜想成立的假設(shè)下證明了有 熟知，只要對(duì)ζ函數(shù)在σ=1附近的值給出適當(dāng)?shù)墓烙?jì)，就可以得出ζ(s)無零點(diǎn)區(qū)域的對(duì)應(yīng)結(jié)果，從而給出π(x)-lix的相應(yīng)估計(jì)．而在估計(jì)ζ函數(shù)鄰近σ=1的階時(shí)，維諾格拉多夫的三角和方法是相當(dāng)有效的．1958年，維諾格拉多夫與H．М．科羅博夫相互獨(dú)立地得到 (a＞0，ε＞0為任意給定的實(shí)數(shù))，相應(yīng)的ζ函數(shù)無零點(diǎn)區(qū)域?yàn)? 這些都是迄今已知最好的結(jié)果． 本橋洋一(本橋洋一， Motohashi Yoichi)曾用篩法對(duì)形如 的無零點(diǎn)區(qū)域給出一個(gè)初等證明，而蒙哥馬利則用另外的方法給出(46)的另一證明，這些請(qǐng)見他們各自的專著． 主要著作評(píng)介及對(duì)中國數(shù)論界的影響 維諾格拉多夫一生發(fā)表過一百多篇論文，出版過四部專著及兩部選集．他的四部專著中，影響最大的是其中的三部：《數(shù)論基礎(chǔ)》，以下簡(jiǎn)稱《基礎(chǔ)》；《數(shù)論中的三角和方法》，以下簡(jiǎn)稱《方法》；《三角和方法的特殊變體》，以下簡(jiǎn)稱《變體》． 《基礎(chǔ)》一書初版于1936年，先后譯成匈牙利文(1952)、捷克文(1953)、英文(1954)、波蘭文(1954)、德文(1955)、日文(1961)、西班牙文(1971)等多種文字．1952年由上海商務(wù)印書館初次出中文版，1956年由北京高等教育出版社出新一版，譯者裘光明．我國著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所第一任所長華羅庚教授為中譯本撰寫了指導(dǎo)性的介紹，題為“介紹《數(shù)論基礎(chǔ)》”，對(duì)書的內(nèi)容、習(xí)題及維諾格拉多夫的研究成果，給了極高的評(píng)價(jià)． 《基礎(chǔ)》一書共分六章，介紹了初等數(shù)論的一些基本內(nèi)容．每章后習(xí)題分兩部分，計(jì)算題強(qiáng)調(diào)了計(jì)算技巧的訓(xùn)練；而通過理論性的習(xí)題向讀者介紹了許多著名的數(shù)論問題，如：有理數(shù)逼近實(shí)數(shù)，切比雪夫不等式，圓內(nèi)整點(diǎn)問題，狄利克雷除數(shù)問題，V．布龍(Brun)篩法，三角和估計(jì)，函數(shù)值的分?jǐn)?shù)部分的估計(jì)，佩爾(Pell)方程，波利亞-維諾格拉多夫不等式，剩余與非剩余的分布等．使初學(xué)者也能對(duì)近代解析數(shù)論的一些問題與方法，特別是維諾格拉多夫方法的基本技巧有所了解．即使在今天，它也不失為一本好的參考書． 《方法》一書是維諾格拉多夫方法的代表作．1947年初版，1954年出了英文版，次年在我國《數(shù)學(xué)進(jìn)展》1卷1期上印行了中文譯本，譯者越民義．由于維諾格拉多夫在其科學(xué)研究最初十年中的重要成就，蘭道在他的前述專著中曾專辟一章對(duì)他的方法加以介紹．此后出版的許多重要數(shù)論專著中都有關(guān)于維諾格拉多夫方法的專門介紹． 在《方法》一書的引言中，維諾格拉多夫介紹了他本人自1934年以來所創(chuàng)立的三角和方法的要旨、應(yīng)用及歷史．他指出，這一方法的最基本結(jié)論是形如 的積分之估計(jì)，此即著名的維諾格拉多夫中值定理，這里 而f(x)=anxn+…+a1x 為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式．目前估計(jì)I上界的最滿意的方法系由卡拉楚巴于1965年給出的，這方面的理論已推廣到多重三角和中，這些發(fā)展均基于卡拉楚巴1962—1966年間提出的一種新的p-adic形式的維諾格拉多夫方法(參見《斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所著作集》英譯本1986年第3期(Proc．of the Steklov Institute of Math.，1986，Issue 3，pp．3—30))． 維諾格拉多夫方法的關(guān)鍵技巧在于對(duì)形如 的雙重三角和給出非平凡估計(jì)，這里ξ(x)，η(y)是任意的復(fù)值函數(shù)，a為實(shí)數(shù)且 由柯西不等式有 右方的二重和可按幾何級(jí)數(shù)來計(jì)算，由此可得W的適當(dāng)估計(jì)．當(dāng)然，如何把一個(gè)數(shù)論問題與一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩厝呛吐?lián)系起來，這是需要相當(dāng)技巧的．在該書中作者對(duì)其方法的基本工具、技巧及在華林問題、多項(xiàng)式值的分?jǐn)?shù)部分之分布、華林-哥德巴赫問題中的應(yīng)用作了較詳盡的介紹． 《變體》一書出版于1976年，它與《方法》的不同之處在于，《變體》討論的是其方法的較為簡(jiǎn)單的變體(指不需要均值定理為基礎(chǔ))所涉及的一些應(yīng)用，如球內(nèi)整點(diǎn)問題，G(k)上界估計(jì)，哥德巴赫奇數(shù)猜想及若干特殊的素變數(shù)三角和估計(jì)等，最后一章給出他的方法的某種初等形式(不用無窮小作工具)及若干應(yīng)用． 維諾格拉多夫方法及其著作對(duì)中國及世界數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了重大影響．華羅庚教授三十年代起的許多研究工作都受到維諾格拉多夫方法的深刻影響．1941年，華羅庚教授將自己對(duì)維諾格拉多夫方法的研究成果寫成《堆壘素?cái)?shù)論》一書，寄交蘇聯(lián)斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所作為?？l(fā)表，得到維諾格拉多夫院士的贊賞和支持．時(shí)因二次大戰(zhàn)，該書俄文版推遲到1946年才正式出版．維諾格拉多夫院士還邀請(qǐng)華羅庚教授訪問了蘇聯(lián)．華羅庚教授在數(shù)學(xué)研究所培養(yǎng)的第一批研究人材中，就有相當(dāng)數(shù)量的人深入學(xué)習(xí)過維諾格拉多夫方法，并在后來的研究工作中反復(fù)運(yùn)用這一方法取得過出色的成就． 1988年夏天在北京舉行的“紀(jì)念華羅庚數(shù)論與分析國際會(huì)議”，就有卡拉楚巴等維諾格拉多夫?qū)W派傳人參加．這對(duì)加強(qiáng)中蘇兩國間的學(xué)術(shù)交流，恢復(fù)并發(fā)展由維諾格拉多夫與華羅庚所建立的兩國數(shù)學(xué)界(尤其是數(shù)論學(xué)界)的傳統(tǒng)友誼，將起到良好的作用． |
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