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若爾當(dāng) 馮長彬 賴章榮 (贛南師范學(xué)院) 若爾當(dāng)， C．(Jordan，Camille)1838年1月5日生于法國里昂；1921年1月22日卒于巴黎．?dāng)?shù)學(xué)． 若爾當(dāng)出身于名門望族．他的父親畢業(yè)于巴黎綜合工科學(xué)校，是一位工程師；他的母親是畫家P．P．de 沙畹(Chavannes)的妹妹；他的一位叔祖與他同名，是一位相當(dāng)有名的政治家，曾參加過從1789年法國革命到波旁(Bourbon)王朝復(fù)辟之初的許多活動；他的堂兄A．若爾當(dāng)因發(fā)現(xiàn)“較小物種”而聞名，該物種至今仍以其名(Jordanons)稱之．作為一名卓越的學(xué)生，若爾當(dāng)具有從A．L．柯西(Cauchy)到H．龐加萊(Poincarè)等法國數(shù)學(xué)家的共同經(jīng)歷：他17歲以優(yōu)異成績考入巴黎綜合工科學(xué)校；1861年，他的博士論文發(fā)表于《綜合工科學(xué)校雜志》(Journal de l’ècolePolytechnique，12，pp．113—194)；直到1885年，他在名義上一直是一名工程師．該職業(yè)為他提供了充足的時間用于數(shù)學(xué)研究，他發(fā)表的120篇論文中的大部分都是在他作為一名工程師而退休之前寫出的．從1873年到1912年退休，他同時在綜合工科學(xué)校和法蘭西學(xué)院任教．1881年被選為法蘭西科學(xué)院院士；1895年又被選聘為彼得堡科學(xué)院院士；1885年至1921年一直擔(dān)任法國《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal de Mathematiques Pures et Appli-ques)的主編及發(fā)行人；1921年1月逝世于法國巴黎． 一般認(rèn)為，若爾當(dāng)在法國數(shù)學(xué)家中的地位介于C．埃爾米特(Hermite)與龐加萊之間．他與他們一樣，是一位多才多藝的數(shù)學(xué)家．他發(fā)表的論文幾乎涉及到他那個時代數(shù)學(xué)的所有分支． 他早期發(fā)表的一篇論文，用組合觀點研究多面體的對稱性，屬后來命名的“組合拓?fù)鋵W(xué)”范疇，這在當(dāng)時還是非常獨特的． 他作為代數(shù)學(xué)家，年僅30歲時就得以成名．在其后的幾十年中，他被公認(rèn)為群論的領(lǐng)頭人． 1845年以前，數(shù)學(xué)家們對E．伽羅瓦(Galois)的深奧理論還一無所知．J．劉維爾(Liouville)和A．塞雷特(Serret)使之通俗化的努力也未引起重視．若爾當(dāng)是使伽羅瓦理論顯著增色的第一人，也是第一位在伽羅瓦開辟的方向上系統(tǒng)研究有限群及其應(yīng)用者．他于1869年證明了一個基本結(jié)果：群G的任一合成列 (其中每項都是其前一項的一個正規(guī)子群，且在它們中間不可能再插入其他正規(guī)子群)中，相鄰群的階的商(若不計及出現(xiàn)次序)由該群唯一確定(Jour．de Math．，14(1869)， 2， pp．129—146)．實際上此定理早已出現(xiàn)在若爾當(dāng)?shù)摹瓣P(guān)于伽羅瓦的評述”(Commen－taire sur Galois，刊于Math．Annalen，1869，1， p．152)一文中，雖然在那里未給出證明．商群的符號也是若爾當(dāng)1872年引進(jìn)的．1889年， 現(xiàn)的次序并視同構(gòu)為同一，則商群G／H，H／H′，…唯一確定．換句話說，對群G的任何合成列(1)，有相同的商群集合． 1870年，若爾當(dāng)把他前十年中關(guān)于置換群的知識及其與伽羅瓦關(guān)于方程理論的聯(lián)系組織到他的667頁巨著——《置換和代數(shù)方程專論》(Traité des substitutions et des équations algébriques，Gauthier－Villars，1870，下文簡稱為《專論》)中去．該名著給出了伽羅瓦理論頭一個全面而清楚的介紹． 在《專論》的第一篇“關(guān)于同余”中，若爾當(dāng)首先總結(jié)了P．de費馬 (Fermat)和 C． F．高斯(Gauss)關(guān)于整數(shù)間同余和冪剩余的主要結(jié)果，然后追隨伽羅瓦的工作，詳述了伽羅瓦域GF(q)的結(jié)構(gòu)． 《專論》篇幅的三分之一多被第二篇“關(guān)于置換”所占．若爾當(dāng)和幾乎所有他的前人一樣，把置換群定義為置換的這樣一種集合：集合中任兩成員的積仍屬于該集合．我們今天在群的定義中作為公設(shè)的其他性質(zhì)，被作為這種群的明顯性質(zhì)或作為附加條件而不是在定義中指定．《專論》對置換群明白地建立了同構(gòu)和同態(tài)的概念． 在本篇中，若爾當(dāng)還利用把一個群分解成其子群的陪集的方法證明：“有限群的任一子群的階是該群的階的因子．”(現(xiàn)稱為拉格朗日定理，實際上拉格朗日只證明過“置換群的任一元的階是該群的階的因子．”但若爾當(dāng)慷慨地認(rèn)為此定理屬于拉格朗日和柯西．)又追隨柯西，證明了“一個群的階可被p整除，則該群包含一個p階的元素．”接著，若爾當(dāng)定義了“可遷”及“本原”的概念，證明了一些與之有關(guān)的定理． 若爾當(dāng)《專論》第二篇第三章討論的是他稱之為線性置換的概念，寫成矩陣的形式就是 x′=Ax． 在大多數(shù)情況下，系數(shù)域是一個素域GF(p)，但在某些情況下也會把素域擴充到伽羅瓦域GF(pr)．為了把矩陣A簡化為眾所周知的“若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形”，他必須把“特征方程”Det(A-λI)=0的根加到基域上去．若爾當(dāng)利用他的標(biāo)準(zhǔn)形來確定與給定的一個置換A可交換的線性置換集．他研究的主要問題是伽羅瓦域GF(p)上我們現(xiàn)在稱之為“典型群”的合成．他實際上是一般線性群和有限素域上典型群結(jié)構(gòu)的最早研究者． 《專論》第三篇中，若爾當(dāng)十分巧妙地把他的結(jié)果應(yīng)用于廣泛的問題之中．他確定了一些方程的伽羅瓦群的構(gòu)造，這些方程是以一些幾何構(gòu)形的參數(shù)(如三次曲面上的27條線，四次曲面上的28條二重切線及庫默爾曲面上16個二重點，等等)為根的． 若爾當(dāng)?shù)牡湫腿褐R也是解決可解有限群問題的關(guān)鍵，對此問題，若爾當(dāng)從一開始就付出了巨大的努力．現(xiàn)在看來，要對所有可解群給出一個能刻畫它們各自特征的完整分類似乎是不可能的．若爾當(dāng)大概也認(rèn)識到了這一點，于是，在《專論》第四篇中，他致力于建立能機械地給出所有具有給定階數(shù)d的可解群的方法．他設(shè)想的解決方案實際上是一個龐大的遞推系統(tǒng)：假設(shè)階數(shù)為d的素因子p的乘方pn 的可解群已完全清楚，然后再給出d階可解群．這也許只有理論上的價值，但在研究該方案的過程中，他得到了許多重要的新概念，如群的極小正規(guī)子群及特征為2的域上的正交群(他稱其為“次交換群”)等等． 《專論》包含了若爾當(dāng)對H．阿貝爾(Abel)提出的問題的解答，即確定一個給定次數(shù)的、能用公式求解的方程，以及識別一個給定的方程是否屬于這一類．可解方程的群都是交換群，若爾當(dāng)稱它們?yōu)榘⒇悹柸?，而阿貝爾群這個術(shù)語此后也就用于交換群．若爾當(dāng)還導(dǎo)出了一個方便應(yīng)用的、可解群的充要條件：群L可解，當(dāng)且僅當(dāng)存在L的正規(guī)子群序列 使商群F／I，G／F，H／G，…皆為阿貝爾群． 《專論》問世后，若爾當(dāng)?shù)拿曔h(yuǎn)播法蘭西內(nèi)外，國外許多學(xué)生都渴望能聽到他的報告．J．迪厄多內(nèi)(Dieudonné)對《專論》也作了高度評價(Jordan’s Oeuvres，1961，卷1)． F．克萊因(Klein)及S．李(Lie)于1870年來到巴黎與若爾當(dāng)一起研究．這時的若爾當(dāng)正研究一個全新的課題：三維空間中所有運動群的確定．他主要是受物理學(xué)家、礦物學(xué)家A．布雷威(Bravais)的啟迪開始此項研究的，布雷威為確定晶體的可能結(jié)構(gòu)而研究了運動群．若爾當(dāng)于1867年發(fā)表的一篇題為“關(guān)于運動群”(Sur les groupes de mouvemente)的短文中宣稱，已經(jīng)完全確定三維歐氏空間中所有可能的剛體運動群；他還發(fā)表了“關(guān)于運動群的研究報告”(Annali di Mat．， 2， 1868—1869)．若爾當(dāng)考慮的不只是有限的剛體，而是整個空間的螺旋運動，平移和旋轉(zhuǎn)為其特例．運動群被定義為這樣一個集合，它包含其中任二元素的乘積，且每個元素都有逆．若爾當(dāng)限定自己只考慮拓?fù)湟饬x下的閉集．他既考慮了離散平移群、連續(xù)平移群及它們的各種混合類型，又考慮了離散旋轉(zhuǎn)群、連續(xù)旋轉(zhuǎn)群的各種類型．還通過平移、旋轉(zhuǎn)的合并而得到所有的閉運動群．若爾當(dāng)因此開創(chuàng)了在群的標(biāo)題下研究幾何變換的工作．這很可能就是李及克萊因分別構(gòu)想出他們的“連續(xù)變換群”及“離散變換群”理論的源頭(這兩種類型都能在若爾當(dāng)?shù)姆诸愔姓业?，也對克萊因埃朗根綱領(lǐng)(Erlan－ger Programm，用無限變換群對幾何進(jìn)行分類)的提出產(chǎn)生過直接影響．1870年4月至6月間，來自挪威的李與來自德國的克萊因住在巴黎兩個鄰近的房間，克萊因回憶說：“我們住在兩對門，并且主要通過個人接觸、特別是和青年數(shù)學(xué)家接觸尋找科學(xué)靈感．若爾當(dāng)給我留下了深刻的印象．他的論置換的書剛出版，它使我們覺得深奧莫測” (Felix Klein，Gesammelte math．Abhandlun－gea，I，p．51)． 布雷威的工作還啟發(fā)若爾當(dāng)著手研究他稱之為群的解析表示，即今所謂群的表示理論．把置換群用形如 的線性變換來表示，是若當(dāng)爾開創(chuàng)的．19世紀(jì)末至20世紀(jì)初被F．G．弗羅貝尼烏斯(Frobenius)等推廣到一切有限抽象群的表示上去． 若爾當(dāng)在代數(shù)領(lǐng)域得到的最深刻結(jié)果是他的“有限性定理”，《專論》出版后12年他才證明．第一個有限性定理是關(guān)于對稱群σn (n個元的所有置換組成的群)的子群G的．對這樣的群，若爾當(dāng)稱滿足下述條件的最小數(shù)c＞1為“G的級”：存在G中一個置換，它僅變動c個元．他關(guān)于這些群的有限性定理是：若G是本原群且不包含交錯群un ，則存在一個絕對常數(shù)A，使n≤Ac2logc(換句話說，對給定的級數(shù)c，只存在有限多個本原群與對稱群及交錯群不同)． 第二個、也是最為人熟知的有限性定理，產(chǎn)生于一個來源于線性微分方程理論的問題．L．富克斯(Fuchs)已經(jīng)確定了所有解均為變量的代數(shù)函數(shù)的二階線性方程．若爾當(dāng)把n階方程中的類似問題簡化為一個群論中的問題：確定復(fù)數(shù)域上一般線性群GL(n，C)的所有有限子群．顯然，對n≥1，有無限多個這樣的子群；但若爾當(dāng)發(fā)現(xiàn)，對一般的n，GL(n，C)的有限子群的無限族是一 階矩陣群G都包含一個正規(guī)子群H，H在GL(n，C)中共軛于一個 若爾當(dāng)?shù)淖詈笠粋€有限性定理是早些時候埃爾米特在整系數(shù)二次型理論中得到的結(jié)果的有力推廣．若爾當(dāng)更一般地考慮所有n個變量的m次復(fù)系數(shù)齊次方程式所成的向量空間，幺模群SL(n，C)作用于該空間；若爾當(dāng)考察這種作用的軌道(即在幺模代換下與一給定形式F等價的所有形式組成的集合)，考察該軌道內(nèi)具有(復(fù))整系數(shù)(即系數(shù)是高斯整數(shù))的形式．他把所有在(復(fù))整數(shù)系數(shù)幺模代換下等價的這種形式歸入同一個等價類中，其基本結(jié)果是，當(dāng)m＞2且F的判別式不為零時，這些類的個數(shù)是有限的． 在分析學(xué)中，若爾當(dāng)對嚴(yán)密證明的理解遠(yuǎn)比他的大多數(shù)同時代入更確切．他把自己在綜合工科學(xué)校的講稿精心擴展而編出的《分析教程》(Cours d’analyse)，19世紀(jì)80年代初首次出版，被公認(rèn)是當(dāng)時最好的分析學(xué)教材．把《分析教程》第一版(1882—1887)同第二版(1893—1896)、第三版(3卷，1909—1915)作比較，可明顯看到嚴(yán)密性的改進(jìn)．在該書的第一版中，若爾當(dāng)給出了曲線的一個定義(第3卷，p．593)，它是由連續(xù)函數(shù)x=f(t)，y=g(t)(t0 ≤t≤t1 )表示的點的集合．若爾當(dāng)要求他的曲線沒有多重點，因此對t，t′∈(t0 ，t1 )，有f(t)≠f(t′)或 g(t)≠g(t′)，或每個(x，y)只存在一個t．這種曲線，現(xiàn)稱為“若爾當(dāng)曲線”．在該書中，若爾當(dāng)還給出了閉曲線的概念，它要求f(t0 )=f(t1 )及g(t0 )=g(t1 )；敘述了簡單閉曲線把平面分成兩部分(內(nèi)部和外部)的定理，認(rèn)識到該定理可進(jìn)行數(shù)學(xué)證明并首次構(gòu)思了這樣的證明(雖然和許多數(shù)學(xué)家一樣，若爾當(dāng)本人給出的證明也有問題)，這是若爾當(dāng)對拓?fù)鋵W(xué)的著名貢獻(xiàn)之一．該定理第一個嚴(yán)密證明屬于O．維布倫(Veblen)．后來還被J．布勞威爾(Brouwer)及S．亞歷山德羅夫(Alexandroff)直接或間接推廣． 19世紀(jì)最后十年，若爾當(dāng)積極參與現(xiàn)代分析的創(chuàng)立．為弄清平面區(qū)域E上的二重積分理論，若爾當(dāng)邁出了19世紀(jì)容量(他稱之為étendue)理論中最先進(jìn)的一步．他對［a，b]中的點集E引進(jìn)內(nèi)容量、外容量及容量的概念，并將之推廣到n維空間的點集，還給出了可加性證明．在他的《分析教程》第二版(第一卷，1893)中，寫進(jìn)了他關(guān)于容量的研究及其對積分的應(yīng)用，還詳細(xì)說明了可由逐次積分求出重積分之值的條件．若爾當(dāng)?shù)娜萘坷碚撾m還不令人滿意，卻比他的前人們［包括G．皮亞諾(Peano)］優(yōu)越．有界變差函數(shù)概念的提出也歸功于他，他還證明了這樣一個函數(shù)必可表為兩個遞增函數(shù)之差．此結(jié)果使他得以擴充曲線長度的定義(最一般的定義是后人用測度的概念系統(tǒng)陳述的)，并推廣熟知的傅里葉(Fourier)級數(shù)的收斂準(zhǔn)則．他指出：可積函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)在那樣一些點上收斂于 這些點各有一個鄰域，使f(x)在該鄰域內(nèi)是有界變差的(《分析教程》，第二版，1893，pp．67—72)． 對若爾當(dāng)?shù)摹斗治鼋坛獭?，B．L．范·德·瓦爾登(Van derWaerden)評價說：“據(jù)我所知，這是最早一部把整個經(jīng)典分析作為一個統(tǒng)一的、完整的邏輯體系來描述的教科書，……對于我，閱讀《分析教程》的每一章都是件愉快的事．” |
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