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羅素 王順義 (華東師范大學(xué)) 羅素，B．(Russell，Bertrand)1872年5月18日生于英格蘭蒙茅斯郡的特雷勒克；1970年2月2日卒于威爾士的彭林代德賴思附近的帕萊斯彭林．?dāng)?shù)理邏輯、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、哲學(xué)． 羅素出身于一個(gè)貴族的家庭．祖父約翰·羅素(John Russell)伯爵是一個(gè)著名的自由黨政治家，他于1832年提出第一個(gè)議會(huì)選舉法修正案，并兩次出任英國(guó)政府首相．羅素2歲時(shí)母親去世，3歲時(shí)父親也去世．于是羅素和他的哥哥便與祖父祖母生活在一起，由他們照管．羅素6歲時(shí)，祖父去世．祖母活到了1898年，她對(duì)羅素在童年和青少年時(shí)期的發(fā)展有過決定性的影響．祖母出身于一個(gè)貴族的虔誠(chéng)教徒的家庭，具有非常強(qiáng)烈的道德信念和宗教信仰，在政治上較為激進(jìn)．她曾用一條緘言告誡羅素：“你不應(yīng)該追隨眾人去作壞事”，羅素一生都努力遵循這條準(zhǔn)則．羅素少年時(shí)未被送到學(xué)校去學(xué)習(xí)，而只是在家里接受保姆和家庭教師的教育．他的童年和少年時(shí)代是孤獨(dú)的．由于他的一個(gè)叔叔的影響，他從小就對(duì)科學(xué)產(chǎn)生了興趣．在哥哥的幫助下，他11歲時(shí)就掌握了歐幾里得幾何學(xué)，這是他智慧發(fā)展的重要轉(zhuǎn)折． 1890年10月，羅素考入劍橋大學(xué)，在三一學(xué)院學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和哲學(xué)．在此期間，他結(jié)識(shí)了當(dāng)時(shí)劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)講師A．N．懷特海(Whitehead)、哲學(xué)家G．E．穆爾(Moore)和E．麥克塔格特(McTaggart)以及其他一些歷史學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家、詩(shī)人和散文家．從1895年至1901年他任三一學(xué)院研究員．在此期間，羅素撰寫了《論幾何學(xué)的基礎(chǔ)》(An essay on the foundations of geometry，1897)一書．這本書的主題是用I．康德(Kant)關(guān)于數(shù)學(xué)是先驗(yàn)綜合判斷的思想來檢查幾何學(xué)的發(fā)展和現(xiàn)狀，他用稍加修改的康德的觀點(diǎn)來評(píng)價(jià)非歐幾何學(xué)的產(chǎn)生．但后來羅素對(duì)這本書的評(píng)價(jià)甚低．羅素最初在哲學(xué)上受G．W．F．黑格爾(Hegel)哲學(xué)的影響較大，1898年在G．E．摩爾的勸說下拋棄了黑格爾的哲學(xué)觀點(diǎn)，參加了反叛絕對(duì)唯心主義哲學(xué)的運(yùn)動(dòng)，從此轉(zhuǎn)變?yōu)榻?jīng)驗(yàn)主義者、實(shí)證主義者和物理主義者．羅素說過，在這個(gè)時(shí)期，“就哲學(xué)的基本問題而言，在所有的主要方面，我的立場(chǎng)都來自G．E．穆爾先生．……在數(shù)學(xué)上，我主要受惠于G．康托爾(Cantor)和 G·皮亞諾(Peano)教授．”(《數(shù)學(xué)的原理》(The principles of mathema-tics，1903)p．xviii．)從1900年至1914年，羅素主要從事數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究，他在這個(gè)領(lǐng)域中最重要的工作都是在這個(gè)時(shí)期完成的．從1910年至1916年羅素任三一學(xué)院哲學(xué)講師．從20年代至40年代，羅素主要從事哲學(xué)方面的研究和講學(xué)．羅素用“邏輯原子主義”來稱呼他的哲學(xué)．他的主要哲學(xué)著作有《神秘主義和邏輯》(Mysticism and logic，1918)，《心的分析》(Theanalysis of mind，1921)，《物的分析》(The analysis of matter，1927)，《意義和真理研究》(An inquiry into meaning and tru-th，1940)，《人類知識(shí)：它的范圍和限度》(Human knowledgeits scope and limits，1948)，等等．從1916年至30年代后期，羅素沒有任何學(xué)術(shù)職務(wù)，他以寫作和公開演講為生．1920年至1921年，他曾訪問過蘇聯(lián)和中國(guó)，他在中國(guó)講學(xué)近一年，給我國(guó)哲學(xué)界以很大的影響．1938年，羅素遷往美國(guó)，先后在芝加哥大學(xué)、加州大學(xué)任教．1941年至1943年他在費(fèi)城講學(xué)．1944年他返回劍橋，重任三一學(xué)院研究員直到去世．50年代后，羅素從哲學(xué)轉(zhuǎn)向國(guó)際政治，他反對(duì)核戰(zhàn)爭(zhēng)、主張核裁軍．1955年，他動(dòng)員了許多著名科學(xué)家包括A．愛因斯坦(Einstein)在內(nèi)簽署了一個(gè)為爭(zhēng)取世界和平而合作的宣言．1964年他建立了羅素和平基金會(huì)，抨擊美國(guó)政府的侵略政策．1967年后他與存在主義者J-P．薩特(Sar-tre)建立了一個(gè)國(guó)際戰(zhàn)犯審判法庭，并傳訊美國(guó)總統(tǒng)L．約翰遜(Johnson)．由于羅素積極從事政治活動(dòng)，他晚年享有世界范圍的名望．羅素一生中曾三次競(jìng)選下院議員，但都沒有成功．他曾兩次被捕入獄，其原因是因?yàn)樗陱埫裰骱蛥⒓雍瞬密娺\(yùn)動(dòng)． 羅素于1908年當(dāng)選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員．1949年他成為英國(guó)科學(xué)院的榮譽(yù)院士，同年還被授予功勛獎(jiǎng)?wù)拢鴥啥葥?dān)任亞里士多德學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)，并擔(dān)任過理性主義者新聞協(xié)會(huì)會(huì)長(zhǎng)多年．1950年他獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)．諾貝爾獎(jiǎng)金委員會(huì)在授予他獎(jiǎng)金時(shí)稱他為“當(dāng)代理性和人道的最杰出的代言人之一，西方自由言論和自由思想的無畏斗士”． 羅素一生曾四次結(jié)婚，有三個(gè)孩子．1931年，由于他哥哥去世，他成為羅素伯爵三世． 19世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家對(duì)微積分的理論基礎(chǔ)進(jìn)行了嚴(yán)格處理．K．魏爾斯特拉斯(Weierstrass)用“ε-δ”方法重新表述了A．柯西(Cauchy)的極限論，把微積分理論建立在實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)上；接著，R．戴德金(Dedekind)和康托爾分別從有理數(shù)出發(fā)定義了實(shí)數(shù)；之后，魏爾斯特拉斯和皮亞諾從自然數(shù)出發(fā)定義了有理數(shù)，并且皮亞諾還從不經(jīng)定義的“集合”、“自然數(shù)”、“后繼者”等概念出發(fā)，用公理化的方法塑述了自然數(shù)理論；最后康托爾建立了無窮集合的理論．康托爾的這項(xiàng)工作起源于對(duì)三角級(jí)數(shù)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的研究，他先提出了點(diǎn)集理論，進(jìn)而又提出了一般無窮集合論．與此同時(shí)，數(shù)理邏輯通過G．布爾(Boole)、E．施羅德(Sch-r der)、皮亞諾和G．弗雷格(Frege)等人的工作得到了長(zhǎng)足的進(jìn)步．但是除了少數(shù)人如弗雷格和皮亞諾外，許多數(shù)學(xué)家忽視邏輯的作用，看不到數(shù)理邏輯對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的重要性．1900年7月，羅素到巴黎參加國(guó)際哲學(xué)會(huì)議時(shí)遇到了皮亞諾，這件事對(duì)羅素的學(xué)術(shù)生涯來說是一個(gè)重大的轉(zhuǎn)折點(diǎn)．通過聆聽皮亞諾的講話，羅素才意識(shí)到數(shù)理邏輯對(duì)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的重要性．于是羅素向他請(qǐng)教并表示希望拜讀他的著作，在讀完皮亞諾的有關(guān)著作后，羅素很快地掌握了皮亞諾的符號(hào)邏輯和思想，在此基礎(chǔ)上他開始了數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究工作，其主要成果是《數(shù)學(xué)的原理》一書．該書的大部分寫于1900年下半年，全書于1903年出版．從此之后到1914年，羅素與懷特海合作進(jìn)行這方面的研究，他撰寫了30余篇有關(guān)論文，1910年至1913年他與懷特海合著的三卷本巨著《數(shù)學(xué)原理》(Principla mathematica)陸續(xù)出版．1919年，他又出版了該著作的通俗讀本《數(shù)理哲學(xué)導(dǎo)論》(Introduction tomathematical philosophy)．在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯方面，羅素的主要成就有兩個(gè)方面，一是他通過建立邏輯類型論來消除邏輯悖論；二是他從一個(gè)較為簡(jiǎn)單的邏輯系統(tǒng)出發(fā)加之少量非邏輯公理推導(dǎo)出經(jīng)典數(shù)學(xué)． 羅素發(fā)現(xiàn)著名的羅素集合論悖論是在1901年．開始他似乎覺得“所有類這個(gè)類是一個(gè)類”，后來由于受到康托爾證明沒有最大的基數(shù)方法的啟發(fā)，“使我考慮不是自己的項(xiàng)的那些類．好像這些類一定成一類．我問自己，這一個(gè)類是不是它自己的一項(xiàng)．如果它是自己的一項(xiàng)，它一定具有這個(gè)類的分明的特性，這個(gè)特性就不是這個(gè)類的一項(xiàng)．如果這個(gè)類不是它自己的一項(xiàng)，它就一定不具有這個(gè)類的分明的特性，所以就一定是它自己的一項(xiàng)．這樣說來，二者之中無論哪一個(gè)，都走到它相反的方面，于是就有了矛盾”．[《我的哲學(xué)的發(fā)展》，(My philosophical development，1959)，第66—67頁(yè)]一年以后，羅素將上述結(jié)果寫信告訴了弗雷格．弗雷格回答說，羅素悖論的發(fā)現(xiàn)使他驚愕之極，由于這個(gè)悖論，他的《算術(shù)原理》(Grundgesetze der Arithmetik，vol．Ⅰ，1893，vol．Ⅱ，1903)中的第五公理便是錯(cuò)的，必須給予剔除，于是他認(rèn)為算術(shù)的基礎(chǔ)發(fā)生了動(dòng)搖． 為了消除悖論，羅素首先在《數(shù)學(xué)的原理》的附錄B中提出了類型論．這個(gè)理論以兩條公設(shè)為基礎(chǔ)：(1)每一個(gè)命題函項(xiàng)φx除了有其真值域外，都有一個(gè)意義域．只要φx是一個(gè)命題，無論是真還是假，x必須在這個(gè)意義域內(nèi)取值．(2)命題函項(xiàng)的意義域構(gòu)成類型，即如果x屬于φx的意義域，則存在一個(gè)對(duì)象的類，即x的類型，其中所有的對(duì)象也應(yīng)屬于φx的意義域，當(dāng)然φ可以是各種各樣的．在此基礎(chǔ)上羅素討論了類的類型．就類而言，在最底層的對(duì)象是個(gè)體，它沒有域，它是最低的類型的對(duì)象；接下去依次可以構(gòu)成對(duì)象是個(gè)體類的類型，對(duì)象是個(gè)體類的類的類型，如此等等．因?yàn)轭愔荒苡赏活愋偷膶?duì)象組成，類相對(duì)于其成員是高一級(jí)的類型的對(duì)象，這樣“自己屬于自己”或“自己不屬于自己”的命題本身是無意義的，于是便避免了羅素悖論的產(chǎn)生．羅素的這種類型論本質(zhì)上屬于簡(jiǎn)單類型論，在用它來處理數(shù)、命題或語(yǔ)義學(xué)悖論時(shí)卻有困難． 為了進(jìn)一步尋找解決悖論的方法，1906年羅素在論文“關(guān)于超窮數(shù)和超窮序型理論中的一些困難”(On some difficulties inthe theory of transfinite numbers and order types)中又提出了另外三種理論，即曲折論、限量論和無類論．曲折論是羅素在研究康托爾最大基數(shù)悖論后提出的，他認(rèn)為對(duì)命題函項(xiàng)的復(fù)雜性應(yīng)加以限制，只有非常簡(jiǎn)單的命題函項(xiàng)才能決定類，而其他復(fù)雜的、費(fèi)解的命題函項(xiàng)則不能．這樣就可以避免構(gòu)成一個(gè)可以導(dǎo)致悖論的太大的類．羅素的這個(gè)思想后來在W．V．奎因(Quine)1937年的有關(guān)數(shù)理邏輯的工作中得到發(fā)展．限量論是羅素在研究布拉里-福爾蒂(Burali-Forti)悖論后提出的，它的主要論點(diǎn)是否認(rèn)全類和不加限制的某些概念的存在性，從而避免過大的類．在無類論中，羅素在摹狀詞理論的基礎(chǔ)上主張取消類作為實(shí)體存在的資格，而只把類看作是一種邏輯的虛構(gòu)、一種說話的方便而已和一種“不完全的符號(hào)”．后來他又把類等同于命題函項(xiàng)． 1906年H．龐加萊(Poincaré)研究了里夏爾(Richard)悖論之后提出，悖論的根源在于非直謂定義．如果x是類A的一個(gè)成員，但定義x時(shí)又需要依賴于A，則這種定義稱為非直謂的．顯然這種定義具有循環(huán)定義即“反身自指”的特征．羅素吸取了龐加萊的這個(gè)思想，提出了避免悖論的“惡性循環(huán)原則”，認(rèn)為：凡包含一個(gè)集體的總體的對(duì)象，它不應(yīng)再是集體的一個(gè)成員；反之，假如一個(gè)集體有一個(gè)總體，該集體又含有只能由它的總體來定義的成員，則該集體沒有總體．遵循這條原則便可以避免“反身自指”的不合邏輯的總體的產(chǎn)生，而這種不合法總體正是導(dǎo)致悖論的基礎(chǔ)．在無類論和惡性循環(huán)原則的基礎(chǔ)上，羅素于1908年在論文“以類型論為基礎(chǔ)的數(shù)理邏輯”(Mathematical logic as based on thetheory of types)中進(jìn)一步提出了分支類型論的理論．這個(gè)理論后來在《數(shù)學(xué)原理》的第I卷中也有詳細(xì)的論述． 在分支類型論中，羅素從命題函項(xiàng)出發(fā)，對(duì)其進(jìn)行分層處理，將其分屬不同的“階”．處于底層的是個(gè)體，它們既非命題又非命題函項(xiàng)；比它高一層次的是一階命題函項(xiàng)，它們僅以前面層次中的個(gè)體為變?cè)?自變?cè)蚣s束變?cè)?而構(gòu)成；更高一層次的是二階命題函項(xiàng)，它以一階函項(xiàng)為變?cè)?；以此類推，我們可以得到一個(gè)不同階次的命題函項(xiàng)的系列．一般來說，如果一個(gè)命題函項(xiàng) x(其中x可以是個(gè)體，也可以是具有各種階的命題函項(xiàng))中變?cè)獂的最高階是n，則這個(gè)命題函項(xiàng) x本身便是第n＋1階．每一個(gè)命題函項(xiàng)都有一個(gè)確定的階，因而諸命題函項(xiàng)的階與階之間是不容混淆的．如果有一類命題函項(xiàng) x是n階的，那么涉及到這類命題函項(xiàng)的總體的命題函項(xiàng)f( x)就不再是n階的，而是第n＋1階的了，因此我們就應(yīng)將它們區(qū)別開來，不能把后者再看作是這個(gè)總體中的一個(gè)成員，否則就會(huì)產(chǎn)生悖論．堅(jiān)持這種區(qū)別，也就是堅(jiān)持了“惡性循環(huán)原則”．根據(jù)階的理論，他定義了命題函項(xiàng)的直謂和非直謂的性質(zhì)．對(duì)只含一個(gè)變?cè)拿}函項(xiàng)，如果函項(xiàng) x的階比它的變?cè)獂的階僅高1階時(shí)，則該命題函項(xiàng)是直謂的記為 ！x，否則便是非直謂的；對(duì)含有多個(gè)變?cè)拿}函項(xiàng)，如果函項(xiàng) (x，y)的階比其變?cè)獂或y中的最高階僅高1時(shí)，則稱命題函項(xiàng)是直謂的記為 ！(x，y)，否則便是非直謂的．顯然包含悖論的命題函項(xiàng)都是非直謂的．堅(jiān)持惡性循環(huán)原則，也就是要拒斥非直謂的命題函項(xiàng)．類似地，羅素對(duì)命題也進(jìn)行了分層處理，將其分成不同的階，而且進(jìn)一步將命題的真值也分屬不同的階．這樣，運(yùn)用邏輯類型論，我們便可以消除各種邏輯悖論和揭示“撒謊者悖論”等語(yǔ)義學(xué)悖論錯(cuò)誤所在． 在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究方面，羅素繼弗雷格之后奉行邏輯主義的研究綱領(lǐng)，其核心思想是認(rèn)為可以將數(shù)學(xué)還原為邏輯學(xué)，從而奠定數(shù)學(xué)的牢固基礎(chǔ)．他曾將純數(shù)學(xué)定義為是由所有“p蘊(yùn)涵q”這種形式的命題所構(gòu)成的一個(gè)類，其中p，q的相同點(diǎn)在于它們都是包含一個(gè)或多個(gè)變?cè)拿}，并且無論p還是q都不包含任何非邏輯的常項(xiàng)．羅素想通過自己的工作表明：數(shù)學(xué)概念可以通過顯定義從邏輯概念推導(dǎo)出來，而數(shù)學(xué)定理也可以通過純粹的邏輯演繹法從邏輯公理推導(dǎo)出來．因此在他看來，在數(shù)學(xué)與邏輯之間完全劃不出一條界限來，它們二者實(shí)際上是一門學(xué)科，它們的不同就象兒童與成人的不同，邏輯是數(shù)學(xué)的少年時(shí)代，數(shù)學(xué)是邏輯的成人時(shí)代． 羅素試圖推演出經(jīng)典數(shù)學(xué)的邏輯系統(tǒng)是由如下概念和公理組成的： (1)基本概念：語(yǔ)句p的否定“非p”(～p)；兩個(gè)語(yǔ)句的析取“p或者q”(p∨q)；合取“p并且q”(p·q)；蘊(yùn)涵，“如 ()，如(x)φx(讀作：對(duì)于每一個(gè)x，x具有性質(zhì)φ)；存在量詞 定義為～(x)～φx，因此上述基本概念并不都是初始的．(《數(shù)學(xué)原理》，第I卷，第1章．) (2)命題演算的公理：(在表述上與原稿略有不同) 1．1 如果p，p q，則q 1．2 (p∨p) p 1．3 q (p∨q) 1．4 (p∨q) (q∨p) 1．5 (p∨(q∨r)) (q∨(p∨r)) 1．6 (q r) ((p∨q) (p∨r))(《數(shù)學(xué)原理》第I卷，第94—97頁(yè)) (3)謂詞演算的公理 10．1 (x)Fx Fy 10．11 如果Fy，則( x)Fx 10．12 (x)(p∨Fx) (p∨(x)Fx)(《數(shù)學(xué)原理》，第I卷，第139—140頁(yè)) 早在弗雷格之前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，所有傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)都可以看作是有關(guān)自然數(shù)的命題所組成，即其中的概念可以用自然數(shù)來定義，其中的命題可以從自然數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)得出．而自然數(shù)的理論又由皮亞諾歸約為數(shù)量極少的概念(如0，數(shù)和后繼)和五個(gè)基本命題(即公理)組成，它們是：(1)0是一個(gè)數(shù)；(2)任何數(shù)的后繼是一個(gè)數(shù)；(3)沒有兩個(gè)數(shù)有相同的后繼；(4)0不是任何數(shù)的后繼；(5)任何性質(zhì)，如果0有此性質(zhì)，又如果任一數(shù)有此性質(zhì)，它的后繼必定也有此性質(zhì)，那么所有的數(shù)都有此性質(zhì)．羅素在此基礎(chǔ)上要做的工作是要將皮亞諾的三個(gè)基本概念和五條基本命題歸約為上述的邏輯概念和公理．在從邏輯概念推出自然數(shù)的概念方面，雖然弗雷格已經(jīng)找到解決這一問題的辦法，但是羅素和懷特海也獨(dú)立地獲得相同的結(jié)果．羅素解決問題的關(guān)鍵在于正確認(rèn)識(shí)自然數(shù)的邏輯地位，它們不屬于事物而屬于概念的邏輯屬性．他從類和關(guān)系的概念出發(fā)，定義了類的相似，接著又定義了：一個(gè)類的數(shù)是所有相似的類的類，而所謂數(shù)則是某一個(gè)類的數(shù)．例如，0是以空類為唯一成員的類，而2則是所有對(duì)偶的類，記為(《數(shù)學(xué)原理》，第I卷，第359頁(yè)) 2= {( x，y)·x≠y·α=l'x∪l'y}， 其中一些新的符號(hào)都可以從基本邏輯概念推出．至于“后繼”則定義為：類α所有項(xiàng)數(shù)的后繼就是α與任何不屬于α的項(xiàng)x一起所構(gòu)成的類的項(xiàng)數(shù)．在此基礎(chǔ)上“自然數(shù)”就可以定義為是對(duì)于“直接前趨”這一關(guān)系(“后繼”的逆關(guān)系)而言的0的“后代”．至于皮亞諾的五條基本命題，第(1)，(2)，(4)，(5)都可以從上述0，數(shù)，后繼和自然數(shù)概念中推出．但是在證明第(3)條時(shí)卻遇到了一點(diǎn)困難，如果宇宙中個(gè)體的總數(shù)不是有窮的，這個(gè)困難就不致于發(fā)生．因此為了不使第(3)公理失效，便需要斷定無窮集合的存在．于是羅素不得不追加一條“無窮公理”，即“若n是任一歸納基數(shù)，則至少有一個(gè)類有n個(gè)個(gè)體”．由于n是任意的，可知無窮集合必然存在，于是困難才得以解決．另外，羅素在定義因子數(shù)可能是無窮的自然數(shù)乘法時(shí)發(fā)現(xiàn)，以往對(duì)兩個(gè)因數(shù)相乘的定義是以假定其中每一個(gè)因數(shù)的數(shù)目是有限為先決條件的，如果要將這種情況擴(kuò)展到無限時(shí)必然要以如下的命題奠基，即“給定一個(gè)類的類，若這類的分子互相排斥，那么必定至少有一個(gè)類，這個(gè)類是由那些給定類中的每一個(gè)的一個(gè)項(xiàng)所組成”．但對(duì)這個(gè)命題人們既不能證明又不能否證．為了克服困難，羅素把這個(gè)命題作為公理引進(jìn)到他的系統(tǒng)中去，這就是所謂的“乘法公理”(或稱“選擇公理)”．羅素引入乘法公理還有其他原因，譬如，他發(fā)現(xiàn)在證明“每一個(gè)非歸納的基數(shù)必是一個(gè)自反數(shù)”的命題時(shí)，也需要以乘法公理為出發(fā)點(diǎn)；再者，他看到乘法公理有許多與之等價(jià)的重要命題，如策梅羅(Zermelo)良序定理等等，如果乘法公理真，則這些重要命題自然亦真．由于引進(jìn)乘法公理，皮亞諾算術(shù)理論便可從他的系統(tǒng)中推演出來． 為了進(jìn)一步推演出經(jīng)典數(shù)學(xué)較高等的部分，羅素在自然數(shù)的基礎(chǔ)上定義了正數(shù)、負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)的概念，這種定義不是用通常增加自然數(shù)的定義域的方法來完成的，而是通過構(gòu)造一種全新的定義域來實(shí)現(xiàn)的．他把“＋m”定義為歸納數(shù)n＋m對(duì)于n的關(guān)系，“-m”是n對(duì)于n＋m的關(guān)系；把分?jǐn)?shù)“m／n”定義為，當(dāng)xn=ym時(shí)，二歸納數(shù)x，y之間的一個(gè)關(guān)系；把一個(gè)“實(shí)數(shù)”定義為是以大小為序的分?jǐn)?shù)序列中之一節(jié)，其中把一個(gè)“有理實(shí)數(shù)”定義為以大小為序的分?jǐn)?shù)序列中有邊界的一節(jié)，把一個(gè)“無理實(shí)數(shù)”定義為以大小為序的分?jǐn)?shù)序列中無邊 是構(gòu)造性的，而不是假定性的．這種構(gòu)造是通過顯定義產(chǎn)生一些具有實(shí)數(shù)通常的性質(zhì)而完成的．當(dāng)然這與直覺主義者那種通過“實(shí)數(shù)發(fā)生器”將實(shí)數(shù)一個(gè)個(gè)“創(chuàng)造出來”的構(gòu)造方式是不同的．羅素還用類似的方法引進(jìn)了其余的數(shù)學(xué)概念，如分析學(xué)中的收斂、極限、連續(xù)性、微分、微商和積分等概念，以及集合論中的超限基數(shù)、序數(shù)等概念．這種邏輯構(gòu)造方法構(gòu)成了邏輯主義的本質(zhì)部分． 但是羅素在用分支類型論來處理實(shí)數(shù)理論時(shí)又遇到一些難以克服的困難．根據(jù)定義，一個(gè)“實(shí)數(shù)”是一個(gè)有理數(shù)的集合，因此一個(gè)“實(shí)數(shù)集合”就是一個(gè)有理數(shù)集合的集合．所以，根據(jù)分支類型論，在數(shù)學(xué)中就不能無限制地像以往那樣使用“對(duì)于一切實(shí)數(shù)”的短語(yǔ)，因?yàn)樗婕暗健耙磺屑系募稀钡奶岱ǎ@種提法是非直謂的．因此，根據(jù)分支類型論，人們不能無限制地論及所有實(shí)數(shù)，而只能論及具有確定階的實(shí)數(shù)．如對(duì)屬于一階命題的那些實(shí)數(shù)，在論及它們時(shí)不能出現(xiàn)“對(duì)于所有實(shí)數(shù)”這種形式的短語(yǔ)；對(duì)于屬于二階命題函項(xiàng)的那些實(shí)數(shù)，在論及它們時(shí)僅能使用“一階的所有實(shí)數(shù)”的短語(yǔ)，等等．如果遵循這種規(guī)定，則以往實(shí)數(shù)理論中的許多重要定義和定理都將失效．為了克服這種困難，羅素引進(jìn)了“可化歸公理”：“有一個(gè)a函項(xiàng)的類型(譬如說τ)，使得給定任何a函項(xiàng)，有屬于所說類型的某個(gè)函項(xiàng)與它形式等價(jià)”．它斷言，任何階的每一個(gè)函項(xiàng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)在形式上等價(jià)于它的直謂函項(xiàng)．接受這條公理，上述困難便可克服，因?yàn)橐罁?jù)它我們可以說，雖然我們論及實(shí)數(shù)的命題函項(xiàng)確實(shí)有不同的階，但對(duì)每一個(gè)論及一個(gè)實(shí)數(shù)的高階命題函項(xiàng)都有一個(gè)相應(yīng)的論及同樣實(shí)數(shù)的直謂函項(xiàng)，這一函項(xiàng)為同樣的有理數(shù)所滿足而不為其他有理數(shù)所滿足，這樣我們論及的仍都是直謂函項(xiàng)從而使許多定義和定理仍然有效．羅素認(rèn)為，可化歸公理與無窮公理和選擇公理一樣，它對(duì)于推演某些數(shù)學(xué)結(jié)論來說是必需的，但我們無法假定它確實(shí)是真，可是我們又不能說有無方法完全廢除這條公理．羅素的學(xué)生F．P．拉姆齊(Ramsey)于1926年沿著這個(gè)方向作了一些嘗試． 這樣，羅素實(shí)際上是在其邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上添加了少量的非邏輯公理(即無窮公理、選擇公理和可化歸公理)后，將經(jīng)典數(shù)學(xué)推演出來．這項(xiàng)工作雖然不完全符合他原來所持的“將數(shù)學(xué)還原為邏輯”的宗旨，但是他具體地、系統(tǒng)地展開了從邏輯構(gòu)造出數(shù)學(xué)的工作，這確實(shí)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的一個(gè)重大成就．正因?yàn)槿绱?，羅素所代表的邏輯主義與稍后的形式主義和直覺主義，堪稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的三大數(shù)學(xué)哲學(xué)流派． 在數(shù)學(xué)方面，羅素在《數(shù)學(xué)原理》第Ⅱ卷中花了大量的篇幅提出了“關(guān)系算術(shù)理論”．他先定義了兩個(gè)關(guān)系P，Q的“相似”的概念，即有P領(lǐng)域?qū)領(lǐng)域的那么一個(gè)相互關(guān)系產(chǎn)生者，凡是兩項(xiàng)有P關(guān)系，它們的相關(guān)者就有Q關(guān)系，反之亦然．接著，他用相似關(guān)系定義了“關(guān)系數(shù)”的概念，即一個(gè)P關(guān)系的關(guān)系數(shù)就是那些在次序上和P相類似的關(guān)系的類．他認(rèn)為，關(guān)系數(shù)完全是一種新的數(shù)，普通數(shù)是它的一種極其特殊化的例子；一切能用于序數(shù)的那些形式定律都能用于這種一般得多的關(guān)系數(shù)；借助關(guān)系算術(shù)，還可以對(duì)“結(jié)構(gòu)”的概念加以精確的定義．但是關(guān)系算術(shù)理論并沒有為世人所注意，對(duì)此羅素感到十分惋惜． 在數(shù)理邏輯方面，羅素還發(fā)展了弗雷格和皮亞諾的工作，在《數(shù)學(xué)原理》中建立了一個(gè)完全的命題演算和謂詞演算系統(tǒng)；發(fā)展并給出了一個(gè)完全的關(guān)系邏輯系統(tǒng)；以及提出了摹狀詞理論．關(guān)系，無論是對(duì)邏輯還是對(duì)數(shù)學(xué)，都是一個(gè)重要而基本的概念．關(guān)于關(guān)系邏輯的理論，在C．皮爾斯(Peirce)和施羅德的工作中就有了一些，但很不完全，而羅素在這方面的工作卻是顯著的．在關(guān)系邏輯中，他論及到關(guān)系的許多重要概念，如前域、后域、關(guān)系域、逆關(guān)系等等．他認(rèn)為這些概念都是摹狀函項(xiàng)，因此他認(rèn)為可以用摹狀函項(xiàng)來定義每一種關(guān)系．如R是任意一個(gè)一對(duì)多的關(guān)系，摹狀函項(xiàng)即是“與x有R關(guān)系的項(xiàng)”，或者簡(jiǎn)單地說，“x的R關(guān)系者”．他還詳細(xì)地討論了“一對(duì)多”、“一對(duì)一”、“次序”三種基本關(guān)系．在關(guān)系邏輯中，他還對(duì)關(guān)系演算進(jìn)行了研究，涉及到關(guān)系與關(guān)系之間的“包含”、“交”、“并”、“否定”和“差”的演算．摹狀詞理論，是羅素于1905年在“論指稱”(On denoting)一文中提出的．在這個(gè)理論中他認(rèn)為應(yīng)該把專有名詞與確定摹狀詞區(qū)分開來．一個(gè)專有名詞如果是有意義的，就必須指稱一個(gè)對(duì)象．而確定摹狀詞(即形式為“如此這般的那個(gè)”的表達(dá)式)則可以完全沒有任何指稱，在這個(gè)意義上它們是一種“不完全的符號(hào)”，它們沒有獨(dú)立的意義．離開了在一個(gè)句子中的地位，它們就不代表某種對(duì)象，它們的意義只有在句子的前后關(guān)系中才能確定．他主張取消摹狀詞短語(yǔ)，把它們表達(dá)為不完全符號(hào)，即把摹狀詞短語(yǔ)擴(kuò)展為存在陳述，并把這些存在陳述解釋為斷定某一事物具有包含于那個(gè)摹狀詞中的屬性．例如，命題“這座金山并不存在”可以改為：“對(duì)x的一切值來說，‘x是金的而且是一座山’這個(gè)命題函項(xiàng)總是假的．” 在邏輯方面，羅素還強(qiáng)調(diào)應(yīng)將命題與命題函項(xiàng)區(qū)別開來，將蘊(yùn)涵與推理區(qū)別開來．以前人們認(rèn)為邏輯是關(guān)于推理的理論，他則認(rèn)為邏輯是關(guān)于推理合法性的理論，即關(guān)于蘊(yùn)涵的理論．他說，“在我們從一個(gè)命題有效地推出另一個(gè)命題之處，無論我們察覺與否，都是根據(jù)兩命題間成立的一個(gè)關(guān)系推導(dǎo)的：事實(shí)上，理智在推理中是純粹接受的，就象常識(shí)上認(rèn)為理智對(duì)可感對(duì)象的知覺是純粹接受的一樣”．(《數(shù)學(xué)的原理》，第33頁(yè)) 羅素對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的態(tài)度經(jīng)歷了一個(gè)否定之否定的變化過程．最初，羅素奉行一種畢達(dá)哥拉斯主義，認(rèn)為現(xiàn)實(shí)世界里的事物是遵循數(shù)學(xué)原理的，他是在這個(gè)意義上看重應(yīng)用數(shù)學(xué)的．他說，他少年時(shí)雖然不會(huì)打臺(tái)球，卻喜歡關(guān)于臺(tái)球怎樣運(yùn)行的數(shù)學(xué)學(xué)說．他在自己第一本著作即關(guān)于幾何基礎(chǔ)的著作中，就開始試圖運(yùn)用數(shù)學(xué)來建立運(yùn)動(dòng)概念和動(dòng)力學(xué)定律的牢固基礎(chǔ)．但是在1900年至1914年這個(gè)時(shí)期，由于他偏重于數(shù)理邏輯和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論研究，便對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣減弱了．甚至還產(chǎn)生這樣一種想法，認(rèn)為數(shù)學(xué)基本上不是一個(gè)了解和操縱感覺世界的工具，而是一個(gè)抽象的體系，這個(gè)體系是存于柏拉圖哲學(xué)意義的天上，只有它的一種不純凈和墮落的形式才來到感覺世界．在這個(gè)時(shí)期，他采取一種極深的避世思想．第一次世界大戰(zhàn)之后，他親眼看見成千上萬的年青人搭上了運(yùn)送軍隊(duì)的火車并在戰(zhàn)爭(zhēng)中慘遭屠殺，他感到自己與實(shí)際的世界有了痛苦的結(jié)合．這時(shí)他才醒悟到以前他關(guān)于抽象的概念世界那些浮夸的思想是沒有內(nèi)容和無足輕重的了．從此以后，羅素不再認(rèn)為數(shù)學(xué)在題材上是和人事無關(guān)的學(xué)科，也不再覺得理性高于感覺，不再覺得只有柏拉圖的理念世界才接近“實(shí)在”(real)的世界．在此之后的一些著作如《物的分析》(The analysis ofmatter，1927)中，他把數(shù)學(xué)運(yùn)用到物理學(xué)中去，試圖建立物理學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)． 在本世紀(jì)中，羅素是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中邏輯主義學(xué)派的杰出領(lǐng)導(dǎo)者，是著名的數(shù)理邏輯學(xué)家，同時(shí)又是著名的哲學(xué)家和社會(huì)活動(dòng)家，所有這些都是為世人公認(rèn)的． |
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