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普呂克 徐州師范學(xué)院 侯德潤 普呂克，J．(Plücker，Julius)1801年6月16日生于德國埃爾伯菲(Elberfeld)；1868年5月22日卒于波恩(Bonn)．?dāng)?shù)學(xué)、物理學(xué)． 普呂克出身于亞琛(Aachen)的一個商人家庭．青年時代畢業(yè)于杜塞爾多夫(Düsseldorf)地方的大學(xué)預(yù)科，以后曾到波恩、海德堡、柏林和巴黎等地的大學(xué)學(xué)習(xí)．1824年從馬堡(Mar-burg)大學(xué)獲得博士學(xué)位．1825年在波恩大學(xué)擔(dān)任講師．1828年被提升為特別教授．1833年在柏林任特別教授，同時擔(dān)任弗里德里?！ね?Friedrich Wilhelm)高級文科中學(xué)的教師．1834年在哈雷(Halle)大學(xué)任數(shù)學(xué)教授，以后又繼 K．明休(von Miün-chow)之任，在波恩任數(shù)學(xué)(1836—1847) 雖然普呂克接受初等教育是在他的祖國，但他卻從法國和英國的科學(xué)中汲取了很多營養(yǎng)．他是一位幾何學(xué)家，但卻把他一生中的很多年代奉獻(xiàn)給了物理科學(xué)．當(dāng)他剛開始研究數(shù)學(xué)時，德國只有一位享有國際盛譽(yù)的數(shù)學(xué)家，他就是C．F．高斯(Gauss)．1826年起通過 A．L．克雷爾(Crelle)在柏林創(chuàng)辦的《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal für die reine und angewandte Mathe-matik)，使得普呂克、J．斯坦納(Steiner)等人通過他們在解析幾何和射影幾何方面的工作很快馳名于世，他們的研究領(lǐng)域不是G．蒙日(Monge)和高斯的微分幾何，而是屬于J．V．龐斯列(Poncelet)和J．D．熱爾崗(Gergonne)一派的．但是普呂克的解析學(xué)派和柏林的以斯坦納為首的綜合學(xué)派之間又產(chǎn)生了分歧，再加上這兩個人之間的個人傾軋，結(jié)果導(dǎo)致普呂克在柏林只住了一年就離去． 1828年，普呂克出版了他的第一本書——《解析幾何的發(fā)展》(Analytisch-geometrische Enlwicklungen)的第一卷，1831年又出了第二卷．在每一卷中他討論了以直線、圓和圓錐曲線為研究內(nèi)容的平面解析幾何．他用一種漂亮的方式論證了許多定理和結(jié)論．在這兩卷中所用到的點坐標(biāo)是非齊次仿射坐標(biāo)，在第二卷中使用了平面上的齊次直線坐標(biāo)，以前常被叫做普呂克坐標(biāo)．圓錐曲線被當(dāng)作直線的包絡(luò)來看待．這一著作反映出普呂克解析幾何的特點，這就是，對于出現(xiàn)在圓錐曲線和它們的束的方程中的代數(shù)符號所進(jìn)行的運算是很漂亮的．他能夠不用消去法而得到幾何結(jié)果．除去L．O．黑塞(Hesse)以外，只有他才能如此出色地使用代數(shù)方法．普呂克在第一卷中對不同階數(shù)的互相密切的圓錐曲線的處理方法也令人注目． 1829年，普呂克引入了所謂三線坐標(biāo)，他從一個固定的三角形出發(fā)，任一點P的坐標(biāo)取為從P到該三角形各邊的帶正負(fù)號的垂直距離，各距 的重心坐標(biāo)，這是另外一種類型的齊次的點坐標(biāo)．然而，在普呂克的《解析幾何的發(fā)展》中，他只使用了非齊次的點坐標(biāo)．在第二卷的末尾，他詳細(xì)解釋了現(xiàn)在被叫做對偶性原理的互反性原理．在龐斯列和熱爾崗的爭論中，普呂克傾向于支持龐斯列：他引入對偶性是借助相關(guān)配極，而不是使用更現(xiàn)代化的一般原理(如同熱爾崗所做的那樣)．因此，普呂克的工作可看作是在K．G．C．斯陶特(Staudt)建立的純射影幾何之前的過渡階段． 1832年以后，普呂克感興趣的是對高于二次的高次平面曲線的一般處理．雖然他在下一本書《解析幾何的體系，尤其是關(guān)于三次曲線理論的詳盡描述》(System der analytischen Geometrie，insbesondere eine aus 理圓錐曲線的一般(或射影)點的線坐標(biāo)，但是這本書的大部分包含了平面三次曲線．普呂克對這些曲線的考慮是從下列由龐斯列提出的定理開始的：一條三次曲線的三條漸近線與曲線相交的三個有限點位于一條直線上．用解析的方法說明這條定理，它等價于把曲線方程寫成pqr+λs3=0(p，q，r，s，為線性形式)的可能性．一條三次曲線由四條具有方程p=0，q=0，r=0，s=0的線以及曲線上的一個點來確定．普呂克給出了這樣確定的三次曲線的作圖法．一種基于這些作圖法的實的仿射分類導(dǎo)致219種不同的類型． 普呂克還寫出了《代數(shù)曲線論》(Theorie der algebraischenKurven，1839)一書．該書的大部分是用于研究代數(shù)曲線在它們的無窮遠(yuǎn)點鄰域內(nèi)的性質(zhì)．他不僅考慮漸近線，同時還考慮漸近的圓錐曲線和其他與給定的三次曲線在一定次數(shù)上切觸的曲線．對于漸近線，他更正了L．歐拉(Euler)在《無窮小分析引論》(Introductio in analysin infinitorum，1748)一書中的某些錯誤． 盡管射影幾何和雙有理幾何逐漸占有主導(dǎo)地位使人們對研究曲線在無窮遠(yuǎn)處的狀況的興趣有所削弱，但是《代數(shù)曲線論》的第二部分卻具有永恒的價值．它包含對在平面內(nèi)的奇點的新的處理方法，這是一個曾經(jīng)在G．克萊姆(Cramer)的1750年著作中討論過的關(guān)于曲線論的主題．普呂克的著作還解決了幾個龐斯列和熱爾崗的著作中涉及到曲線的階和類之間關(guān)系的疑點． 在他1839年的著作中，普呂克證明了下列著名公式，它們通常被稱之為“普呂克公式”： k=n(n-1)-2d-3s，n=k(k-1)-2δ-3σ， σ=3n(n-2)-6d-8s，s=3k(k-2)-6δ-8σ． 這里n為曲線的階數(shù)，k為曲線的類數(shù)；作為這條曲線的奇點，它有d個二重點和s個尖點；作為對偶的線曲線的奇點，它有δ個二重切線和σ個拐點．所以一條沒有奇點的三次曲線包含九個拐點，而普呂克發(fā)現(xiàn)了能夠是實的拐點或者是一個，或者是三個．如果三個拐點都是實的，則它們必定在一條直線上．如果把虛的拐點也算在內(nèi)，則根據(jù)前人已經(jīng)證得的結(jié)果，通過任意兩個拐點的一條直線上，必定存在第三個拐點．普呂克以一種不完全的推理，證 了普呂克的證明，并且指出這12條線可以分成4個三角形．在《代數(shù)曲線幾何》(Geometrie der algebraischen Ku-rven)的最后一章中，普呂克討論了平面二次曲線以及它們可能的奇點的詳盡的分類．一條擁有28條二重切線的非奇異二次曲線是他在這些曲線理論中所討論的中心問題． 雖然普呂克處理四次曲線的方法以及他關(guān)于它們的構(gòu)形的定理是錯誤的(以后由黑塞糾正了他的錯誤)，但是普呂克有一種清晰的洞察力，他依靠這種洞察力對過去使他的前輩們感到困惑的所謂克萊姆悖論及其推廣給予了一個清楚的解釋．這一悖論的重要之點是兩條 n(≥3)次 公共點的n次曲線．F．塞韋里(Severi)在他的關(guān)于枚舉幾何的著作中，強(qiáng)調(diào)了所謂普呂克-克萊布什(Clebsch)原理，他把這一原理表述成如下形式：如果一組依賴于某些常數(shù)的代數(shù)方程一般地沒有公共解——除非這些常數(shù)滿足一定的條件——那么后一種情形的這個方程組不但有一個解，而且有無窮多個解． 1829年，普呂克獨立于 E．鮑伯利爾(Bobillier)，把以前只是對圓錐曲線來說才有的配極的概念擴(kuò)充到所有的平面代數(shù)曲線．他還研究過代數(shù)曲線的焦點問題，兩個曲面的密切以及波面問題，這樣他就涉及到了代數(shù)的和解析的空間幾何．這一方面的問題也在《空間幾何的新的分析處理方法體系》(System der Geo-metrie des Raumes in neuer analytischer Behandlungsweise，1846)一書中被討論過．在這本書里，他用一種漂亮的方法處理了解析幾何中的已經(jīng)知道了的事實．然而，他本人在這本書中的貢獻(xiàn)不如他的更早的著作那樣重要． 1846年以后，普呂克放棄了他的數(shù)學(xué)研究而去進(jìn)行物理實驗．一直到1864年才又回到了他在幾何方面的工作．在這個第二階段中，他把他的數(shù)學(xué)成就發(fā)表在《以直線作為空間元素建立的新空間幾何學(xué)》(Neue Geometrie des Raumes，gegründet anfdie Betrachtung der Geraden als Raumelemen)一書中．該書出版于普呂克去世的那一年，但只有第一部分．第二部分由當(dāng)過普呂克物理助教的F．克萊因(Klein)完成．普呂克曾經(jīng)在和克萊因的多次交談中提到過他的計劃．克萊因就是根據(jù)普呂克的這些談話才把這本書寫完的．在這本書中，普呂克試圖把空間幾何置于把自對偶直線作為元素的基礎(chǔ)上，而不是置于把點作為元素或者按對偶的方式把平面作為元素的基礎(chǔ)上．這樣一來，他就創(chuàng)造了線幾何這個領(lǐng)域，一直到20世紀(jì)，這種幾何都是許多研究的主題． 普呂克在線幾何方面的工作和幾個在他之前的工作有關(guān)，這些工作是：已經(jīng)由A．凱萊(Cayley)討論過的空間中六線坐標(biāo)的概念以及與有理正規(guī)曲線相交的線的線叢的概念；L．普安索(Poinsot)和麥比烏斯關(guān)于力的系統(tǒng)的研究和線幾何緊密相關(guān)；由蒙日進(jìn)行的關(guān)于曲面的法線系統(tǒng)的研究，以及后來又由W．R．哈密頓(Hamilton)推廣的∞2條射線的微分幾何． 在這些發(fā)展的基礎(chǔ)上，普呂克對線幾何的系統(tǒng)研究創(chuàng)建了幾何學(xué)的一個新領(lǐng)域．他按照對偶的方式引入了六個齊次的線坐標(biāo)Pij，現(xiàn)在被稱為“普呂克坐標(biāo)”，在它們之間存在一個二次關(guān)系Q4(Pij)=0．克萊因和C．塞格雷(Segre)繼續(xù)進(jìn)行這方面的研究。把R3中的線幾何解釋為P5的二次曲面Q4上的點幾何．但是這個發(fā)展，以及被解釋為格拉斯曼簇Gn，k上的點幾何(Sn中Sk幾何的進(jìn)一步一般化)卻沒有被普呂克預(yù)見到，他把他的工作限制在普通空間的范圍內(nèi)，并且在那里構(gòu)想出一種以線為元素的四維幾何． 普呂克的代數(shù)線幾何和哈密頓所創(chuàng)造的微分線幾何是截然不同的．普呂克引入了三維、二維或一維的直線的子集的線叢、線匯以及直紋曲面的概念．這些概念直到現(xiàn)在還被使用．他還對線性線叢和線匯進(jìn)行分類，并且開始了對二次線叢的研究，這里的二次線叢是用普呂克坐標(biāo)中的二次關(guān)系來定義的．(線叢曲面是四階和四類曲面，并且是由屬于和一條給定直線相交的二次線叢的直線的全體構(gòu)成的．)在以后的許多年代中，這些線叢都是被研究的主題，這些研究是以1868年克萊因的博士論文開始的，在《新幾何學(xué)》一書中，普呂克仍然采用度量的觀點，這種觀點導(dǎo)致廣泛的計算和對特殊情形的研究．在這個時期中，通過他所制造出來的許多模型，可以明顯地看出他對幾何形狀和細(xì)節(jié)方面的興趣． 普呂克是波恩大學(xué)的數(shù)學(xué)和物理學(xué)教授．據(jù)說他經(jīng)常希望讓其他的物理學(xué)家們知道，他在這兩個領(lǐng)域內(nèi)都是有能力的．特別值得注意的是，他從事研究的是實驗的而不是理論的物理．克萊布什在他的著名的關(guān)于普呂克的悼辭中，將普呂克的數(shù)學(xué)的和他的物理見解中的幾個關(guān)系統(tǒng)一起來．在幾何方面，他希望描述三次曲線和其他圖形的不同形狀，而在物理學(xué)方面，他力圖更加定性地描述不同的物理現(xiàn)象．但是在這兩種情形中，他都從來沒有用現(xiàn)代科學(xué)的那種公理化的、演繹的模式進(jìn)行研究． 普呂克在物理學(xué)方面的引路人是M．法拉第(Faraday)，他和后者通信．雖然他的1839年的關(guān)于波面的論文以及1847年的關(guān)于光在二次曲面中的反射的論文既涉及到理論物理，又涉及到數(shù)學(xué)，可是通常都把它們計算在他的41篇數(shù)學(xué)論文當(dāng)中．普呂克還撰寫過59篇關(guān)于純粹物理方面的論文，首次發(fā)表在《物理化學(xué)年鑒》(Annalen der Physik und Chemie)和《皇家學(xué)會會報》(Philosophical Transactions of the Royal Society)中．他研究過氣體和晶體的磁性性質(zhì)，以后又研究過稀薄氣體中的放電現(xiàn)象，還在波恩和H．蓋斯勒(Geissler)合制了一個標(biāo)準(zhǔn)溫度計．普呂克依靠他的學(xué)生J．W．希托夫(Hittorf)的化學(xué)經(jīng)驗來研究氣態(tài)物質(zhì)的光譜，通過對這些物質(zhì)的不同光譜的考察，他認(rèn)清了它們對化學(xué)分析的重要性． 1847年，普呂克開始研究晶體在磁場中的性能．1858年，他借助蓋斯勒管(一種帶有熔融電極的抽空玻璃管)看到了陰極射線，并對之進(jìn)行初步探索．后來，希托夫等人對陰極射線作了進(jìn)一步的研究．他們的研究成果，對于原子物理學(xué)和電學(xué)具有極其重大的意義，并為電子管和氣體放電管的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)．普呂克是第一個看見氫的三條光譜線的人．他的這一發(fā)現(xiàn)先于R．W．本森(Bunsen)和G．R．基爾霍夫(Kirchhoff)在海德堡(Hei-delberg)的著名實驗．雖然普呂克的成就在德國沒有得到承認(rèn)，可是英國的科學(xué)家們卻比他的同胞們更能正確評價他的工作，并且在1868年授予他柯勃萊(Copley)獎?wù)拢? |
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