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歐拉 南開大學 張洪光 歐拉，L．(Euler，Leonhard)1707年4月15日生于瑞士巴塞爾；1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡．數(shù)學、力學、天文學、物理學． 歐拉的祖先原來居住在瑞士東北部博登湖(康斯坦斯湖)畔的小城——林道．16世紀末，他的曾祖父漢斯·喬治·歐拉(HansGeorg Euler)帶領全家順萊茵河而下，遷居巴塞爾．這個家族幾代人多為手藝勞動者．歐拉的父親保羅·歐拉(Paul Euler)則畢業(yè)于巴塞爾大學神學系，是基督教新教的牧師．1706年，保羅與另一位牧師的女兒瑪格麗特·勃魯克(Margarete Brucker)結婚．翌年春，歐拉降生．1708年，保羅舉家遷居巴塞爾附近的村莊——里亨(Riehen)．歐拉就在這田園靜謐的鄉(xiāng)村度過他的童年． 歐拉的父親很喜愛數(shù)學．還在大學讀書時，他就常去聽雅格布·伯努利(Jakob Bernouli)的數(shù)學講座．他親自對歐拉進行包括數(shù)學在內的啟蒙教育，并盼望兒子成為教門的后起之秀．賢惠的母親為了使歐拉及時受到良好的學校教育，把他送到巴塞爾外祖母家生活了幾年，入那里的一所文科中學念書．可是，這所學校不教數(shù)學．勤勉好學的歐拉獨自隨業(yè)余數(shù)學家J．伯克哈特(Bu-rckhart)學習．歐拉聰敏早慧，酷愛數(shù)學．他曾下苦功研讀C．魯?shù)婪?Rudolf)的《代數(shù)學》(Algebra，1553)達數(shù)年之久． 1720年秋，年僅13歲的歐拉進了巴塞爾大學文科．當時，約翰·伯努利(Johann Bernoulli)任該校數(shù)學教授．他每天講授基礎數(shù)學課程，同時還給那些有興趣的少數(shù)高材生開設更高深的數(shù)學、物理學講座．歐拉是約翰·伯努利的最忠實的聽眾．他勤奮地學習所有的科目，但仍不滿足．歐拉后來在自傳中寫道：“……不久，我找到了一個把自己介紹給著名的約翰·伯努利教授的機會．……他確實忙極了，因此斷然拒絕給我個別授課．但是，他給了我許多更加寶貴的忠告，使我開始獨立地學習更困難的數(shù)學著作，盡我所能努力地去研究它們．如果我遇到什么障礙或困難，他允許我每星期六下午自由地去找他，他總是和藹地為我解答一切疑難……無疑，這是在數(shù)學學科上獲得成功的最好的方法．”約翰的兩個兒子尼吉拉·伯努利第二(Nikolaus Bernoulli II)、丹尼爾·伯努利(Daniel Bernoulli)，也成了歐拉的摯友． 1722年夏，歐拉在巴塞爾大學獲學士學位．翌年，他又獲哲學碩士學位．但授予這一學位是在1724年6月8日的會議上正式通告的．此前，他為了滿足父親的愿望，于1723年秋又入神學系．他在神學、希臘語、希伯萊語方面的學習并不成功．他仍把大部分時間花在數(shù)學上．盡管歐拉后來徹底放棄了當牧師的念頭，但他卻終生虔誠地信奉基督教． 歐拉18歲開始其數(shù)學研究生涯．1726年，他在《博學者》(Acta eruditorum)上發(fā)表了關于在有阻尼的介質中的等時曲線結構問題的文章．翌年，他研究彈道問題和船桅的最佳布置問題．后者是這年巴黎科學院的有獎征文課題．歐拉的論文雖未獲得獎金，卻得到了榮譽提名．此后，從1738年至1772年，歐拉共獲得巴黎科學院12次獎金． 在瑞士，當時青年數(shù)學家的工作條件非常艱難，而俄國新組建的圣彼得堡科學院正在網羅人才．1725年秋，尼古拉第二和丹尼爾應聘前往俄國，并向當局力薦歐拉．翌年秋，歐拉在巴塞爾收到圣彼得堡科學院的聘書，請他去那里任生理學院士助理．然而，故土難離．歐拉開始用數(shù)學和力學方法研究生理學，同時仍期望在巴塞爾大學找到職位．恰好，這時該校有一位物理學教授病故，出現(xiàn)空席．歐拉向學校教授評議會遞交了“論聲音的物理學原理”(Dissertatio physica de sono，1727)的論文，爭取教授資格．在激烈的競爭中，未滿20歲的歐拉落選了．1727年4月5日歐拉告別故鄉(xiāng)，5月24日抵達圣彼得堡．從那時起，歐拉的一生和他的科學工作都緊密地同圣彼得堡科學院和俄國聯(lián)系在一起．他再也沒有回過瑞士．但是，出于對祖國的深厚感情，歐拉始終保留了他的瑞士國籍． 歐拉到達圣彼得堡后，立即開始研究工作．不久，他獲得了在真正擅長的領域從事研究工作的機會．1727年，他被任命為科學院數(shù)學部助理院士．他撰寫的關于圣彼得堡科學院學術會議情況的調查報告，也開始在《圣彼得堡科學院匯刊(1727)》(Comme－ntarii Academiae scientiarum imperialis Petropolitanae)第二卷(St．Petersburg，1729)上發(fā)表．盡管那些年俄國政局動蕩，圣彼得堡科學院還處在艱難歲月之中，但周圍的學術氣氛對發(fā)展歐拉的才華特別有利．那里聚集著一群杰出的科學家，如數(shù)學家C．哥德巴赫(Goldbach)、丹尼爾·伯努利，力學家J．赫爾曼(Hermann)，三角學家F．梅爾(Maier)，天文學家和地理學家J．N．德萊索(Delisle)等．他們同歐拉的個人情誼與共同的科學興趣，使得彼此在科研工作中配合默契、相得益彰．1731年，歐拉成為物理學教授．1733年，丹尼爾·伯努利返回巴塞爾后，歐拉接替了他的數(shù)學教授職務，擔負起領導科學院數(shù)學部的重任．這對親密的朋友，以后通信40多年，促進了科學的競爭和發(fā)展．是年冬，歐拉和科學院預科學校的美術教師、瑞士畫家G．葛塞爾(Gsell)的女兒柯黛林娜·葛塞爾(Katharina Gsell)結婚．翌年，其長子約翰·阿爾勃蘭克(Johann Albrecht)降生．1740年，卡爾(Karl)出世．恬靜、美滿的家庭生活伴隨著歐拉科學生涯的第一個黃金時期． 還在圣彼得堡科學院建成之初，俄國政府就責成它除了進行純科學研究之外，還要培養(yǎng)、訓練俄國科學家．為此，科學院建立了一所大學和預科學校，大學辦了近50年，預科學校一直辦到1805年．俄國政府還委托科學院制定俄國的地圖，解決各種具體技術問題．歐拉積極參與并領導了科學院的這些工作．從1733年起，他和德萊索成功地進行了地圖研究．從30年代中期開始，歐拉以極大的精力研究航海和船舶建造問題．這些問題對于俄國成為海上強國，是具有重大意義的．歐拉是各種技術委員會的成員，又擔任科學院考試委員會委員．他既要為科學院的期刊撰稿、審稿，還要為附屬大學、預科學校準備講義、開設講座，工作十分忙碌．然而，他的主要成就是在數(shù)學研究上． 在圣彼得堡的頭14年間，歐拉以無可匹敵的工作效率在分析學、數(shù)論和力學等領域作出許多輝煌的發(fā)現(xiàn)．截止1741年，他完成了近90種著作，公開發(fā)表了55種，其中包括1936年完成的兩卷本《力學或運動科學的分析解說》(Mechanica sive motus scie－ntia analytice exposita)．他的研究碩果累累，聲望與日俱增，贏得了各國科學家的尊敬．歐拉從前的導師約翰·伯努利早在1728年的信中就稱他為“最善于學習和最有天賦的科學家”，1737年又稱他是“最馳名和最博學的數(shù)學家”．歐拉后來謙遜地說：“……我和所有其他有幸在俄羅斯帝國科學院工作過一段時間的人都不能不承認，我們應把所獲得的一切和所掌握的一切歸功于我們在那兒擁有的有利條件．” 由于過度的勞累，1738年，歐拉在一場疾病之后右眼失明了．但他仍舊堅韌不拔地工作．他熱愛科學，熱愛生活．他非常喜歡孩子(他一生有過13個孩子，除了5個以外都夭亡了)．寫論文時往往膝上抱著嬰兒，大一點的孩子則繞膝戲耍．他酷愛音樂．在撰寫艱深的數(shù)學論文時，他的“那種輕松自如是令人難以置信的”． 1740年秋冬，俄國政局再度驟變，形勢極不安定．歐拉此時與圣彼得堡科學院粗魯、專橫的顧問J．D．舒馬赫爾(Schuma－cher)也產生了磨擦．為了使自己的科學事業(yè)不受損害，歐拉希望尋求新的出路．恰好這年夏天繼承了普魯士王位的腓特烈(Frederick)大帝決定重振柏林科學院，他熱情邀請歐拉去柏林工作．歐拉接受了邀請．1741年6月19日，歐拉啟程離開圣彼得堡，7月25日抵達柏林． 柏林科學院是在G．W．萊布尼茨(Leibniz)的大力推動下于1700年創(chuàng)立的，后來它衰落了．歐拉在柏林25年．那時，他精力旺盛，不知疲倦地工作．他鼎力襄助院長P．莫佩蒂(Maupe－rtuis)，在恢復和發(fā)展柏林科學院的工作中發(fā)揮了重大作用． 在柏林，歐拉任科學院數(shù)學部主任．他是科學院的院務委員、圖書館顧問和學術著作出版委員會委員．他還擔負了其他許多行政事務，如管理天文臺和植物園，提出人事安排，監(jiān)督財務，以及歷書和地圖的出版工作．當院長莫佩蒂外出期間，歐拉代理院長．1759年莫佩蒂去世后，雖然沒有正式任命歐拉為院長，但他實際上一直領導著科學院的工作．歐拉和莫佩蒂的友誼，使歐拉能對柏林科學院的一切活動，尤其是在選拔院士方面，施加巨大影響． 歐拉還擔任過普魯士政府關于安全保險、退休金和撫恤金等問題的顧問，并為腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果(1745年)，設計改造費諾運河(1749年)，曾主管普魯士皇家別墅水力系統(tǒng)管系和泵系的設計工作．他和德國許多大學的教授保持廣泛聯(lián)系，對大學教科書的編寫和數(shù)學教學起了促進作用． 在此期間，歐拉一直保留著圣彼得堡科學院院士資格，領取年俸．受該院委托，歐拉為其編纂院刊的數(shù)學部分，介紹西歐的科學思想，購買書籍和科學儀器，同時推薦研究人員和課題．他在培養(yǎng)俄國的科學人才方面起了重大的作用．他還經常把自己的學術論文寄往圣彼得堡．他的論文約有一半是用拉丁文在圣彼得堡發(fā)表的，另一半用法文在柏林出版．另外，他還先后當選為倫敦皇家學會會員(1749年)、巴塞爾物理數(shù)學會會員(1753年)及巴黎科學院院士(1755年)． 柏林時期是歐拉科學研究的鼎盛時期，其研究范圍迅速擴大．他與J．K．達朗貝爾(D’Alembert)和丹尼爾·伯努利展開的學術競爭奠定了數(shù)學物理的基礎；他與A．克萊羅(Clairaut)和達朗貝爾一起推進了月球和行星運動理論的研究．與此同時，歐拉詳盡地闡述了剛體運動理論，創(chuàng)立了流體動力學的數(shù)學模型，深入地研究了光學和電磁學，以及消色差折射望遠鏡等許多技術問題．他寫了大約380篇(部)論著，出版了其中的275種．內有分析學、力學、天文學、火炮和彈道學、船舶建造和航海等方面的幾部巨著，其中1748年出版的兩卷集著作《無窮分析引論》(Introdu－ctio in analysin infinitorum)在數(shù)學史上占有十分重要的地位． 歐拉參加了18世紀40年代關于萊布尼茨和C．沃爾夫(Wolff)的單子論的激烈辯論．歐拉在自然哲學方面接近R．笛卡兒(Descartes)的機械唯物主義，他和莫佩蒂都是單子論的“勁敵”．1751年，S．柯尼格(K nig)以聳入聽聞的新論據(jù)，發(fā)表了幾篇批評莫佩蒂的“最小作用原理”的文章．歐拉翌年撰文反駁，并同莫佩蒂用更淺顯的語言來解釋最小作用原理．除了這些哲學和科學的爭論以外，對于數(shù)學的發(fā)展來說，歐拉參加了另外三場更重要的爭論：與達朗貝爾關于負數(shù)對數(shù)的爭論；與達朗貝爾、丹尼爾·伯努利關于求解弦振動方程的爭論；與J．多倫(Dollond)關于光學問題的爭論． 1759年莫佩蒂去世后，歐拉在普魯士國王的直接監(jiān)督之下負責柏林科學院的工作．歐拉同腓特烈大帝之間的關系并不融洽．1763年，當獲悉腓特烈想把院長的職務授予達朗貝爾后，歐拉開始考慮離開柏林．圣彼得堡科學院立即遵照卡捷琳娜(Catherine)女皇旨意寄給歐拉聘書，誠摯希望他重返圣彼得堡．但是達朗貝爾拒絕長期移居柏林，使腓特烈一度推遲就院長入選作最后的決定．“七年戰(zhàn)爭”之后，腓特烈粗暴地干涉歐拉對柏林科學院的事務管理．1765年至1766年，在財政問題上，歐拉與腓特烈之間引發(fā)了一場嚴重的沖突．他懇請普魯士國王同意他離開柏林．1766年7月28日，歐拉重返圣彼得堡，他的三個兒子和兩個女兒也回到俄國，伴于身旁． 歐拉的家安置在涅瓦河畔離圣彼得堡科學院不遠的舒適之處．他的長子阿爾勃蘭克這年成為科學院院士、物理學部教授，三年后又被任命為科學院的終身秘書．1766年，歐拉父子還同時當選為科學院執(zhí)行委員．歐拉的工作是順心的，然而，厄運也接二連三地向他襲來．回到圣彼得堡不久，一場疾病使歐拉的左眼幾乎完全失明．這時，他已經不能再看書了．只能勉強看清大字體的提綱，用粉筆在石板上寫很大的字母．1771年，歐拉雙目完全失明．這一年，圣彼得堡的一場特大火災又使歐拉的住所和財產付之一炬，僅搶救出歐拉及其手稿． 1773年 11月，歐拉夫人柯黛琳娜去世．三年后，她同父異母的妹妹莎洛姆·葛塞爾(SalomeGsell)成為歐拉的第二個妻子． 歐拉晚年遭受雙目失明、火災和喪偶的沉重打擊，他仍不屈不撓地奮斗，絲毫沒有減少科學活動．在他的周圍，有一群主動的合作者，包括：他的兒子阿爾勃蘭克和克利斯朵夫(Christoph)； W．L．克拉夫特(Krafft)院士和A．J．萊克塞爾(Lexell)院士；兩位年輕的助手N．富斯(Fuss)和M．E．哥洛文(Golovin)．歐拉和他們一起討論著作出版的總計劃，有時簡要地口述研究成果．他們則使歐拉的設想變得更加明確，有時還為歐拉的論著編纂例證．據(jù)富斯自己統(tǒng)計，七年內他為歐拉整理論文250篇，哥洛文整理了70篇．歐拉非常尊重別人的勞動．1772年出版的《月球運動理論和計算方法》(Theoria motuum lunae， nova methodoPertractata)是在阿爾勃蘭克、克拉夫特和萊克塞爾的幫助下完成的，歐拉把他們的名字都印在這本書的扉頁上． 重返圣彼得堡后，歐拉的著作出版得更多．他的論著幾乎有一半是1765年以后出版的．其中，包括他的三卷本《積分學原理》(Institutiones calculi integralis， 1768—1770)和《關于物理學和哲學問題給德韶公主的信》(Lettresà une princesse d’AllemagneSur divers sujets de physique et de philosophie， 1768—1772)．前者的最重要部分是在柏林完成的．后者產生于歐拉給普魯士國王的侄女的授課內容．這本文筆優(yōu)雅、通俗易懂的科學著作出版后，很快就在歐洲翻譯成多種文字，暢銷各國，經久不衰．歐拉是歷史上著作最多的數(shù)學家． 歐拉的多產也得益于他一生非凡的記憶力和心算能力．他70歲時還能準確地回憶起他年輕時讀的荷馬史詩《伊利亞特》(Iliad)每頁的頭行和末行．他能夠背誦出當時數(shù)學領域的主要公式和前100個素數(shù)的前六次冪．M．孔多塞(Condorcet)講述過一個例子，足以說明歐拉的心算本領：歐拉的兩個學生把一個頗為復雜的收斂級數(shù)的17項相加起來，算到第50位數(shù)字時因相差一個單位而產生了爭執(zhí)．為了確定誰正確，歐拉對整個計算過程進行心算，最后把錯誤找出來了． 1783年9月18日，歐拉跟往常一樣，度過了這一天的前半天．他給孫女輔導了一節(jié)數(shù)學課，用粉筆在兩塊黑板上作了有關氣球運動的計算，然后同萊克塞爾和富斯討論兩年前F．W．赫歇爾(Herschel)發(fā)現(xiàn)的天王星的軌道計算．大約下午5時，歐拉突然腦出血，他只說了一句“我要死了”，就失去知覺．晚上11時，歐拉停上了呼吸． 歐拉逝世不久，富斯和孔多塞分別在圣彼得堡科學院和巴黎科學院的追悼會上致悼詞．孔多塞在悼詞的結尾耐人尋味地說：“歐拉停止了生命，也停止了計算．” 歐拉的菩作在他生前已經有多種輸入了中國，其中包括著名的、1748年初版本的《無窮分析引論》．這些著作有一部分曾藏于北京北堂圖書館．它們是18世紀40年代由圣彼得堡科學院贈給北京耶穌會或北京南堂耶穌學院的．這也是中俄數(shù)學早期交流的一個明證．19世紀70年代，清代數(shù)學家華蘅芳和英國人傅蘭雅(John Fryer)合譯的《代數(shù)術》(1873)和《微積溯源》(1874)，都介紹了歐拉學說．在此前后，李善蘭和偉烈亞力(Alexander Wylie)合譯的《代數(shù)學》(1859)、趙元益譯的《光學》(1876)、黃鐘駿的《疇人傳四編》(1898)等著作也記載了歐拉學說或歐拉的事跡(詳見文獻［32］)．中國人民是很早就熟悉歐拉的．歐拉不僅屬于瑞士，也屬于整個文明世界．著名數(shù)學史家A．П．尤什凱維奇(Юшкевич)說，人們可以借B．豐唐內爾(Fontenelle)評價萊布尼茨的話來評價歐拉，“他是樂于看到自己提供的種子在別人的植物園里開花的人．” 在歐拉的全部科學貢獻中，其數(shù)學成就占據(jù)最突出的地位．他在力學、天文學、物理學等方面也閃現(xiàn)著耀眼的光芒． 數(shù) 學 歐拉是18世紀數(shù)學界的中心人物．他是繼I．牛頓(Newton)之后最重要的數(shù)學家之一．在歐拉的工作中，數(shù)學緊密地和其他科學的應用、各種技術問題的應用以及公眾的生活聯(lián)系在一起．他常常直接為解決力學、天文學、物理學、航海學、地理學、大地測量學、流體力學、彈道學、保險業(yè)和人口統(tǒng)計學等問題提供數(shù)學方法．歐拉的這種面向實際的研究風格，使得人們常說：應用是歐拉研究數(shù)學的原因．其實，歐拉對數(shù)學及其應用都十分愛好．作為一位數(shù)學家，歐拉把數(shù)學用到整個物理領域中去．他總是首先試圖用數(shù)學形式表示物理問題，為解決物理問題而提出一種數(shù)學思想并系統(tǒng)地發(fā)展和推廣這一思想．因此，歐拉在這個領域中的杰出成就作為一個整體，可以用數(shù)學語言加以系統(tǒng)的闡述．他酷愛抽象的數(shù)學問題，非常著迷于數(shù)論就是例子．歐拉的數(shù)學著作在其各種科學著作中所占的比重也明顯地說明了這一點．現(xiàn)代版的《歐拉全集》(Leonhardi Euleri Opera omnia，1911—) 72卷(74部分；近況詳見文獻［1］)中有29卷屬于純粹數(shù)學． 歐拉在連續(xù)和離散數(shù)學這兩方面都同樣有力，這是他的多方面天才的最顯著的特點之一．但是，在他的數(shù)學研究中，首推第一的是分析學．這同他所處的時代，特別是當時自然科學對分析學的迫切需要有關．歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布尼茨學派的分析學的內容進行整理，為19世紀數(shù)學的發(fā)展打下了基礎．他還把微分積分法在形式上進一步發(fā)展到復數(shù)的范圍，并對偏微分方程、橢圓函數(shù)論、變分法的創(chuàng)立和發(fā)展留下先驅的業(yè)績．在《歐拉全集》中，有17卷屬于分析學領域．他被同時代的人譽為“分析的化身”． 歐拉的計算能力，特別是他的形式計算和形式變換的高超技巧，無與倫比．他始終不渝地探求既能簡明應用于計算，又能保證計算結果足夠準確的算法．只是在19世紀開始的“注意嚴密性”方面，略顯不足．他沒有適當?shù)刈⒁獍瑹o限過程的公式的收斂性和數(shù)學存在性．歐拉還是許多新的重要概念和方法的創(chuàng)造者． 這些概念和方法的重要價值，有時只是在他去世一個世紀甚至更長的時間以后才被人們徹底理解．譬如，美籍華人數(shù)學家陳省身說過：“歐拉示性數(shù)是整體不變量的一個源泉．” 歐拉是在數(shù)學研究中善于用歸納法的大師．他用歸納法，也就是說，他憑觀察、大膽猜測和巧妙證明得出了許多重要的發(fā)現(xiàn)．但他告誡人們：“我們不要輕易地把觀察所發(fā)現(xiàn)的和僅以歸納為旁證的關于數(shù)的那樣一些性質信以為真．”歐拉從不用不完全的歸納來最后證明他提出的假定是正確的．他的研究結果本質上是建立在嚴密的論證形式之上的． 歐拉采用了許多簡明、精煉的數(shù)學符號．譬如，用e表示自然對數(shù)的底，f(x)表示函數(shù)，∫n表示數(shù)n的約數(shù)之和，△y，△2y…表示 號，等等．這些符號從18世紀一直沿用至今． 在數(shù)學領域內，18世紀可以正確地稱為歐拉世紀．約翰·伯努利在給歐拉的一封信中說過：“我介紹高等分析的時候，它還是個孩子，而你正在把它帶大成人．”P．S．拉普拉斯(Laplace)常常告訴年輕的數(shù)學家們：“讀讀歐拉，讀讀歐拉，他是我們大家的老師．”歐拉對數(shù)學發(fā)展的影響不限于那個時期．19世紀最著名的數(shù)學家C．F．高斯(Gauss)、A．L．柯西(Cauchy)、M．И． 羅巴切夫斯基(Лобaчевский)、П．Л．切比雪夫(Чебышев)、C．F．B．黎曼(Riemann)常從歐拉的工作出發(fā)開展自己的工作．高斯說過：“歐拉的工作的研究將仍舊是對于數(shù)學不同范圍的最好學校，并且沒有任何別的可以替代它．”人們還可以從由切比雪夫奠基的圣彼得堡數(shù)學學派追溯歐拉開辟的眾多道路． 1．數(shù)論 古代希臘和中國的數(shù)學家研究過數(shù)的性質．17世紀，P．de費馬(Fermat)開辟了近代數(shù)論的道路．他提出了若干值得注意的算術定理，但幾乎未留下任何證明．歐拉的一系列成果奠定了作為數(shù)學中一個獨立分支的數(shù)論的基礎． 歐拉的著作有很大一部分同數(shù)的可除性理論有關．他很早就采用了同余概念．1736年，歐拉首先證明了數(shù)論中重要的費馬小定理．1760 要的發(fā)現(xiàn)是二次互反律．它表述在1783年的一篇論文中，但未給予證明．這個定理的敘述實際上早已包含在歐拉以前寫的論文中了，只是未引起同時代人的注意．二次互反律是18世紀數(shù)論中的最富首創(chuàng)精神、可能引出最多成果的發(fā)現(xiàn)．后來，A．M．勒讓德(Legendre)重新發(fā)現(xiàn)并不完全地證明了它．高斯參考了歐拉、勒讓德的著作，于1801年發(fā)表了二次互反律的完整的證明．他把這個初等數(shù)論中至關重要的定理譽為“算術中的寶石”．二次互反律后來引起了許多數(shù)學家，如E．E．庫默爾(Kummer)、D．希爾伯特(Hilber)、E．阿廷(Artin)等人對代數(shù)數(shù)域中高次互反律的研究，出現(xiàn)了不少意義深刻的工作．1950年，I．R．沙法熱維奇(Shafarevich)建立了廣義互反律． 歐拉還致力于丟番圖(Diophantus)分析的研究．費馬重新發(fā)現(xiàn)了求解方程x2-Ay2=1的問題(其中，A是整數(shù)但非平方數(shù))，J．沃利斯(Wallis)全部解出了這個問題．歐拉在1732—1733年的一篇論文中，誤稱其為佩爾(Pell)方程，這個名稱也就這樣固定下來了．1759年， 后不久，J．L．拉格朗日(Lagra- nge)開始對這個問題進行全面研 究．對費馬關于“不定方程xn＋yn=zn(n＞2)沒有正整數(shù)解”的著名猜測(此處x，y，z均為整數(shù)，xyz≠0)，1753年歐拉證明 n=3時，它是正確的．歐拉的證明建立在無窮遞降法的基礎上，并利用了形如 (Vollst ndige Anleitung Zur Algebra， 1770，德文版)一書中詳盡地敘述了這個證明．此書兩卷，最先以俄文發(fā)表于圣彼得堡，其中，第二卷有很大篇幅是關于丟番圖分析的研究。 歐拉用算術方法和代數(shù)方法研究上述問題，他還首先在數(shù)論中運用分析方法，開解析數(shù)論之先河．他利用調和級數(shù) 的發(fā)散性，簡單而巧妙地證明了素數(shù)個數(shù)無窮的歐幾里得定理．1737年，歐拉推出了下列著名的恒等式： 函數(shù)ζ(s)．1749年，歐拉應用發(fā)散級數(shù)求和法和歸納法，發(fā)現(xiàn)了與ζ(s)，ζ(1-s)和Γ(s)有關的函數(shù)方程，即：對于實的s，有 黎曼后來重新發(fā)現(xiàn)并建立了這個函數(shù)方程，他是第一個定義ζ函數(shù)，也是第一個定義自變量為復值的ζ函數(shù)的科學家．19世紀和20世紀，ζ函數(shù)已成為解析數(shù)論最重要的工具之一，尤其在P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、切比雪夫、黎曼、J．阿達馬(Hadama- rd)等人關于素數(shù)分布的研究中更是如此． 歐拉還研究了數(shù)學常數(shù)以及同超越數(shù)論有關的重要問題．J．H．蘭伯特(Lambert)1768年證明e和π是無理數(shù)時，曾用連分數(shù)表示e，但連分式是歐拉首先采用并奠定理論基礎的．1873年，C．埃爾米特(Hermite)證明e是超越數(shù)．1882年，F(xiàn)．林德曼(Lindemann)應用歐拉公式eiπ=-1 (歐拉1728年發(fā)現(xiàn)的)，證明了π是超越數(shù)，因此，用直尺和圓規(guī)作出一個正方形和已知圓面積相等是不可能的，從而解決了古希臘遺留下來的“化圓為方”問題．歐拉常數(shù) 的超越性的猜測，則至今尚未解決． 2．代數(shù) 17世紀，代數(shù)是人們興趣的一個重要中心．到了18世紀，它變成從屬于分析，人們很難把代數(shù)和分析互相區(qū)別開來．歐拉很早就把對數(shù)定義為指數(shù)，并于1728年在其一篇未發(fā)表的手稿中引入e作為自然對數(shù)的底．1732年，歐拉對G．卡爾達諾(Cardano)的三次方程解法作出了第一個完整的討論．他還試圖找到用根式表示的高于四次的方程之解的一般形式，誠然這是徒勞的．1742年，歐拉在給尼古拉第—·伯努利和哥德巴赫的信中，第一次提出了所有實系數(shù)的n次多項式都可以分解為實一次或實二次因式的定理，即具有n個形如a＋bi的根．這是和代數(shù)基本定理等價的重要命題，先后由達朗貝爾和歐拉證明．他們的證明思路不同，但都不夠完全．19世紀有了更精確的證明．前述的歐拉《代數(shù)學入門》一書，是16世紀中期開始發(fā)展的代數(shù)學的一個系統(tǒng)總結．此書出版后，很快被譯成英文、荷蘭文、意大利文、法文等多種文字，對于19世紀和20世紀代數(shù)學教科書的編寫產生極大影響． 3．無窮級數(shù) 在17世紀建立微積分的同時，無窮級數(shù)也進入了數(shù)學的實踐．18世紀是級數(shù)理論的形式發(fā)展時期．在歐拉的著作中，無窮級數(shù)起初主要用作解題的輔助手段，后來成為他研究的一個科目，實際知識達到了很高水平．前面提到的對著名的ζ函數(shù)的研究就是一個例子．其出發(fā)點是整數(shù)平方的倒數(shù)求和問題 伯努利兄弟、J．斯特靈(Stirling)和其他一些數(shù)學家都曾徒勞地探討過它．1735年，歐拉解決了一個普遍得多的問題，證明了對于任意偶數(shù)2K＞0， ζ(2K)=a2kπ2k， 這里a2k是有理數(shù)，它后來分別通過歐拉-馬克勞林求和公式的系數(shù)與伯努利數(shù)來表示．歐拉還給出了當2K＋1是前面幾 性質至今尚不清楚． 歐拉大約在1732年發(fā)現(xiàn)了上述求和公式，他于1735年給出了證明．C．馬克勞林(Maclaurin)不謀而合地在幾年后又獨立地發(fā)現(xiàn)了它，并且所用的方法稍好些，也更接近于今天所用的方法．這個公式是有限差演算的最重要的公式之一．有限差演算方法是由B．泰勒(Tayler)和斯特靈奠基的．歐拉的《微分學原理》(Introductio calculi differentialis， 1755)是有限差演算的第一部論著，他第一個引進差分算子．借助于這個求和公式，1735年，歐拉把前述的歐拉常數(shù)γ的值計算到小數(shù)點后第16位 γ=0.57721566…． 歐拉在大量地應用冪級數(shù)時，還引進了新的極其重要的傅里葉三角級數(shù)類．1744年他在給哥德巴赫的一封信中，談到了用三角級數(shù)表示代數(shù)函數(shù)的例子： 它發(fā)表在1755年的《微分學原理》中．此后，他又得到了其他的展開式．1777年，為了把一個給定函數(shù)展成在(0，π)區(qū)間上的余弦級數(shù)，歐拉又推出了傅里葉系數(shù)公式．歐拉的論文遲至1798年才發(fā)表．他采用的正是現(xiàn)行通用的逐項積分方法．J．B．J．傅里葉(Fourier)對歐拉的工作并不了解，他于1807年得到相同的公式．歐拉也不知克萊羅1759年的相應工作． 歐拉還把函數(shù)展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和，這些成果在后來的解析函數(shù)一般理論中占有重要的地位．無窮級數(shù)、無窮乘積和連分式之間許多相互變換的方法也是歐拉發(fā)現(xiàn)的． 形式觀點在18世紀無窮級數(shù)的工作中占統(tǒng)治地位．級數(shù)被看成是無窮的多項式，并且就當作多項式來處理，對其收斂和發(fā)散的問題是不太認真對待的．歐拉多少意識到收斂性的重要，他也看到了關于發(fā)散級數(shù)的某些困難，特別是用它們進行計算時產生的困難．為了尋求收斂的一般理論，歐拉確信且著手進行建立發(fā)散級數(shù)轉變?yōu)槭諗考墧?shù)的法則這一艱苦的工作．為此，他對級數(shù)的和這一概念提出了新的更廣泛的定義．他還提出兩種求和法．這些豐富的思想，對19世紀末、20世紀初發(fā)散級數(shù)理論中的兩個主題，即漸近級數(shù)理論和可和性的概念產生了深遠影響． 4．函數(shù)概念 18世紀中葉，分析學領域有許多新的發(fā)現(xiàn)，其中不少是歐拉自己的工作．它們系統(tǒng)地概括在歐拉的《無窮分析引論》(圖1)、《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中．這三部書是分析學發(fā)展的里程碑式的著作．它們至今饒有興味，尤其《無窮分析引論》的第一卷更是如此．專家們可以從這些著作中追尋分析學許多富有成果的方法的發(fā)展足跡． 圖1 《無窮分析引論》的扉頁，洛桑，1948年 《無窮分析引論》共兩卷，它是第一本溝通微積分與初等分析的書．在這部書中，歐拉第一次清晰地論述了數(shù)學分析是研究函數(shù)的科學，并對函數(shù)概念作了更加透徹的研究．他一開頭，就把函數(shù)定義為由一個變量與一些常量通過任何方式形成的解析表達式．在這一點上，他繼承了約翰·伯努利的思想．歐拉寫道，函數(shù)間的原則區(qū)別在于組成這些函數(shù)的變量與常量的組合法不同．他在書中給出了現(xiàn)今還廣泛應用的函數(shù)的分類．歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)，單值函數(shù)與多值函數(shù)．他按照自己和所有同時代的人的經驗，堅信所有的函數(shù)都能展成級數(shù)．歐拉認為函數(shù)的自變量不僅可以取實值，也可以是虛值，這一見解極其重要． 在歐拉、達朗貝爾和丹尼爾·伯努利等許多數(shù)學家卷入的關于弦振動問題的研究中，發(fā)生了關于函數(shù)概念的爭論．它促使歐拉去推廣自己的函數(shù)概念．1755年，歐拉在《微分學原理》一書中給函數(shù)下了一個新定義：“如果某些量這樣地依賴于另一些量：當后者改變時它經受變化，那么稱前者為后者的函數(shù)．”不過，在《無窮分析引論》中，歐拉就已把函數(shù)當作對應值加以論述． 5．初等函數(shù) 《無窮分析引論》第一卷共18章，主要研究初等函數(shù)論．其中，第八章研究圓函數(shù)，第一次闡述了三角函數(shù)的解析理論，并且給出了棣莫弗(de Moivre)公式 e±xi=cosx±isinx 的一個推導．雖然R．柯特斯(Cotes)在1714年發(fā)表了這個公式且與歐拉給出的略有不同，但只有歐拉才使該公式得到了廣泛的應用．歐拉在《無窮分析引論》中研究了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，他給出著名的表達式 慮了正自變量的對數(shù)函數(shù)．1751年，歐拉發(fā)表了完備的復數(shù)理論．他斷言：對正實數(shù)而言，對數(shù)只有一個實值，其余都是虛值；但對于負實數(shù)或虛數(shù)而言，對數(shù)的一切值都是虛的．歐拉對這個問題的成功解答，實際上結束了此前1747—1748年在萊布尼茨和約翰·伯努利之間，達朗貝爾和歐拉本人之間通過信件進行的關于負數(shù)的對數(shù)的爭論．但他的工作當時并未被人們接受． 6．單復變函數(shù) 通過對初等函數(shù)的研究，達朗貝爾和歐拉在1747—1751年間先后得到了(用現(xiàn)代術語表達的)復數(shù)域關于代數(shù)運算和超越運算封閉的結論．他們兩人還在解析函數(shù)的一般理論方面取得了最初的進展．1752年，達朗貝爾在研究流體力學時發(fā)現(xiàn)了把解析函數(shù)u(x，y)＋iv(x，y)的實部和虛部連結在一起的方程．177年，歐拉在提交圣彼得堡科學院的一篇論文中推出了同樣的方程 其要點是借助于虛代換z=x＋iy，利用實函數(shù)去計算復函數(shù)的積分，展 歐拉還借助于保角映射把復變解析函數(shù)用于理論制圖學等方面的研究．他在1768年的一篇論文中，利用復變函數(shù)，設計了一種從一個平面到另一個平面的保角映射的表示方法．1775年，他又證明球面不可能全等地映入平面．這里，他再一次用了復變函數(shù)而且討論了相當一般的保角表示． 歐拉的這些思想，19世紀在柯西、黎曼闡發(fā)解析函數(shù)的一般理論時，都獲得了深入的發(fā)展．譬如，上述達朗貝爾和歐拉的方程就是以柯西和黎曼的名字命名的． 7．微積分學 歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方法作了最詳盡、最有系統(tǒng)的解說，他以其眾多的發(fā)現(xiàn)豐富了無窮小分析的這兩個分支． 在《微分學原理》中，歐拉詳盡地研究了變量替換下的微分公式．他在1734年的一篇論文中證明，若z=f(x，y)，則 導出了函數(shù)f(x，y)恰當微分的必要條件．1736年，他又揭示了關于齊次函數(shù)的定理，即若z是x和y的n次齊次函數(shù)，則 他還就函數(shù)f(x)和f(x，y)的極值問題，得到許多重要的結果． 歐拉在《積分學原理》第一卷中，用相當現(xiàn)代的方式敘述了不定積分的方法．他創(chuàng)造了“歐拉代換”等許多新方法．他計算了許多困難的定積分，進一步奠定了特殊函數(shù)論的基礎．例如，1729年歐拉就研究了序列1！，2！，…，n！，…的插值法．他引入了B函數(shù)和Γ函數(shù)，繼而還發(fā)現(xiàn)了B函數(shù)和Γ函數(shù)的許多性質，如： 在橢圓積分理論上，歐拉的主要貢獻是發(fā)現(xiàn)了加法定理．1770年他對二重定積分有了清楚的概念，還給出了用累次積分計算這種積分的程序． 《微分學原理》和《積分學原理》是歐拉那個時代的標準課本．他的形式化方法使微積分從幾何中解放出來，從而使它建立在算術和代數(shù)的基礎上．這至少為后來基于實數(shù)系統(tǒng)的微積分的根本論證開辟了道路． 8．微分方程 《積分學原理》還展示了歐拉在常微分方程和偏微分方程理論方面的眾多發(fā)現(xiàn)．他和其他數(shù)學家在解決力學、物理問題的過程中創(chuàng)立了微分方程這門學科． 在常微分方程方面，歐拉在1743年發(fā)表的論文中，用代換y=ekx給出了任意階常系數(shù)線性齊次方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的名詞．1753年，他又發(fā)表了常系數(shù)非齊次線性方程的解法，其方法是將方程的階數(shù)逐次降低．歐拉早在1740年左右就知道并且在潮汐和行星軌道攝動的著作中應用過常數(shù)變易法．他在1734—1735年領會了積分因子的概念，提供一個方法，并在1768—1770年的工作中廣泛地發(fā)展了積分因子法，把它應用于許多一階微分方程類型，還推廣到高階方程．歐拉對黎卡提(Riccati)方程的性質多有研究．1768年，他給出了一個從特殊積分鑒別奇解的判別法．這一年，歐拉在其有關月球運行理論的著作中，創(chuàng)立了廣泛用于求帶有初值條件x=x0，y=y0的方程 的近似解的方法，次年又把它推廣到二階方程．這個現(xiàn)稱“歐拉折線法”的方法，為19世紀柯西關于解的存在性的嚴格證明和數(shù)值計算提供了重要途徑． 歐拉在18世紀30年代就開始了對偏微分方程的研究．他在這方面的最重要的工作，是關于二階線性方程的．數(shù)學物理中的許多問題都可以歸結為二階線性方程．弦振動問題是一個著名的例子．1747年，達朗貝爾首次建立了弦振動方程 得到形如兩個任意函數(shù)之和的解： 歐拉隨即對達朗貝爾的方法作了進一步研究．他在允許什么函數(shù)可以作為初始曲線，因而也可以作為偏微分方程的解的問題上，有全然不同的想法．于是，這兩位數(shù)學家，還有丹尼爾·伯努利、拉格朗日、拉普拉斯和其他一些數(shù)學家，都卷進了一場曠日持久的激烈論戰(zhàn)，延續(xù)了半個多世紀，直到傅里葉的《熱的分析理論》(The- órie analytique de la chaleur， 1822)發(fā)表為止．其間，歐拉把特征線法發(fā)展得更加完善了．歐拉還在流體動力學和鼓膜振動、管內空氣運動等問題中接觸到數(shù)學物理方程．例如，位勢方程 最早就出現(xiàn)在他1752年關于流體運動的論文中．1766年，歐拉從圓膜振動問題得到后來所稱的貝塞爾(Bassel)方程，并借助于貝塞爾函數(shù)Jn(x)來求解． 9．變分法 歐拉從1728年解決約翰·伯努利提議的測地線問題開始從事變分法的研究．1734年，他推廣了最速降線問題．然后，著手尋找關于這種問題的更一般的方法．1744年，歐拉的《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的方法》(Methodus inveniendi lineas-curvas maximi minimive proprictate gaude-ntes)(圖2)一書出版．這是變分學史上的里程碑，它標志著變分法作為一個新的數(shù)學分支的誕生．該書廣泛使用了幾何論證．書中系統(tǒng)地總結了歐拉在18世紀30年代和40年代初的一些成果，其中，包括歐拉1736年成功證明的關于使積分 取極大或極小值的函數(shù)y(x)必須滿足的常微分方程 以及大量應用的例子．這個以歐拉名字命名的方程，迄今仍是變分法的基本微分方程． 18世紀50年代中期，拉格朗日循著歐拉的思路和結果，從純分析方法的角度，創(chuàng)造了應用于變分演算的新算法和新符號，得到了更完善的結果．歐拉隨后放棄了自己以前的說明，并對拉格朗日的方法作了詳細、清晰的解釋．歐拉認為拉格朗日的方法是一種新的計算方法，并在自己的論文中正式將它命名為“變分法”(the calculus of variation)． 1770年，歐拉在《積分學原理》第三卷中把變分法應用于具有常數(shù)限的二重積分的極值問題．其后不久，歐拉又提出了變分演算的另一種解釋方法．他早期變分法研究中使用的直接方法，一個半世紀以后，也在尋找變分問題及相應的微分方程的精確解或近似解中獲得獨立的價值． 10．幾何學 18世紀，坐標幾何得到廣泛的探討．歐拉在《無窮分析引論》第二卷中引入了曲線的參數(shù)表示．他從二次曲線的一般方程著手，超越同時代的人，對二次曲線理論的代數(shù)發(fā)展做出了重要貢獻．他用類比法研究三次曲線，還討論了高次平面曲線．但是，歐拉的主要貢獻是第一次在相應的變換里應用歐拉角，徹底地研究了二次曲面的一般方程． 在微分幾何方面，歐拉于1736年首先引進了平面曲線的內在坐標概念，即以曲線弧長這一幾何量作為曲線上點的坐標，從而開始了曲線的內在幾何的研究．他將曲率描述為曲線的切線方向和一固定方向的交角相對于弧長的變化率．歐拉關于曲面測地線的研究是眾所周知的．然而，更重要的是他在曲面論方面的開拓性研究．1760年，歐拉在《關于曲面上曲線的研究》(Recherches sur la courbure des surfaces)中建立了曲面的理論．這本著作是歐拉對微分幾何最重要的貢獻，是微分幾何發(fā)展史上的里程碑．G．蒙日(Monge)和其他幾何學家后來的研究就是從曲面論開始的．18世紀60年代和70年代，歐拉繼續(xù)研究并得到了用主曲率表示任意法截面上截線曲率的著名公式以及曲面可展性的、分析的必要充分條件．1775年，他還成功地重新闡述了空間曲線的一般理論． 歐拉對拓撲學的研究也具有第一流的水平．1735年，歐拉用簡化(或理想化)的表示法解決了著名的哥尼斯堡七橋游戲問題(如圖3，有7座橋，問是否可一次走遍，不許重復也不許遺漏．)他得到具有拓撲意義的河-橋圖的判斷法則，即現(xiàn)今網絡論中的歐拉定理．1750年，歐拉在給哥德巴赫的一封信中列舉了多面體的一些性質．其中，有一條是：如果用V，E和F分別表示閉的凸多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)，則有V-E＋F=2．次年他給出了這條性質的一個證明．盡管100年后人們發(fā)現(xiàn)笛卡兒早就知道這一性質，但是，第一個認識V-E＋F這個“交錯和”重要意義的人似乎是歐拉．他之所以對這一關系感興趣，是要用它來作多面體的分類．歐拉示性數(shù)V-E＋F以及由H．龐加萊(Poicaré)提出的在多維復形中的推廣是現(xiàn)代拓撲學的主要不變量之一，陳省身言簡意賅地說過：“歐拉示性數(shù)是大量幾何課題的源泉和出發(fā)點．”他用圖形(圖4)表示了這種關系． 力 學 歐拉在1736年的《力學》導言中，概述了對這門科學各個分支的巨大研究計劃．與其前輩采用綜合法、幾何法來研究力學不同，歐拉第一個意識到把分析方法引入力學的重要性．歐拉系統(tǒng)而成功地將分析學用于力學的全面研究．他的《力學或運動科學的分析解說》(圖5)的書名就清楚地表達了他的這一思想．歐拉在力學的各個領域都有突出貢獻，他是剛體力學和流體力學的奠基者，彈性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論的創(chuàng)始人． 1．一般力學 《力學或運動科學的分析解說》研究質點的運動學和動力學，是用分析的方法來發(fā)展牛頓質點動力學的第一本教科書．此書共分兩卷：第一卷研究質點在真空中和有阻力的介質中的自由運動；第二卷研究質點的強迫運動．歐拉的這本著作與以往的著作迥然不同，他試圖通過定義和論證的結合，來證明力學是一門能一步一步推演出的許多命題的“合理的科學”．他所提供的基本概念和定律接近我們今天所知道的力學體系．他用解析形式給出了運動方程式，并確認它們構成了整個力學的基礎．因此，具有重要的歷史意義． 1765年，歐拉的著作《剛體運動理論》(Theoria motus corpo- rum solidorum)出版．此書與上述《力學》相互關聯(lián)．歐拉得到了剛體運動學和剛體動力學的最基本的結果，其中包括：剛體定點運動可用三個角度，即歐拉角的變化來描述；剛體定點轉動時角速度變化和外力矩的關系；定點剛體在不受外力矩時的運動規(guī)律，以及自由剛體的運動微分方程等等．歐拉先用橢圓積分解決了剛體在重力下繞固定點轉動的問題的一種可積情形，即歐拉情形．此后一個多世紀，拉格朗日于1788年、C．B．柯瓦列夫斯卡婭(Ковaлескaя)于1888年才相繼完成全部可積情況的工作，徹底解決了經典力學中的這一著名難題． 2．流體力學 歐拉根據(jù)早期積累的經驗而寫成的兩卷集《航海學》(Seientianavalis)，1749年在圣彼得堡出版．其中，第一卷論述浮體平衡的一般理論，第二卷將流體力學用于船舶．該書對浮體的穩(wěn)定和浮體在平衡位置附近的輕微擺動問題作了獨創(chuàng)性的闡述．1752年至1755年，歐拉相繼寫了“流體運動原理”(Prinapia motus flu-idorrum，1761)和另外三篇詳細闡述流體力學解析理論的權威論文，即“流體平衡的一般原理”(Principes généraux de l’état d’-équilibre des fluides)、“流體運動的一般原理”(Principes géné-raux du mouvement des fluides)和“流體運動理論續(xù)篇(Conti-nuation des recherches sur la théorie du mouvemont des flui- des)．這三篇論文于1757年同時發(fā)表．歐拉創(chuàng)造性地用偏微分方程解決數(shù)學物理問題．他在這些論著中給出了流體運動的歐拉描述法，提出了理想流體模型，建立了流體運動的基本方程，即連續(xù)介質流體運動的歐拉方程，奠定了流體動力學的基礎．此外，他還仔細地研究了管內液體和氣體的運動，管內空氣的振動和聲音的傳播等許多具體問題，以及水力技術問題． 除了在一般力學、流體力學方面的上述工作外，歐拉在《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的方法》一書的附錄一中，應丹尼爾·伯努利的請求，將變分演算應用于研究彈性理論的某些問題．這些問題，歐拉從1727年就開始研究．這個附錄是第一部應用數(shù)學來研究彈性理論的著作．歐拉率先從理論上研究了細壓桿的彈性穩(wěn)定問題．他提出了柱的穩(wěn)定概念，以及一端固定、另一端自由的柱的臨界壓力公式．在同書的附錄二中，歐拉還與莫佩蒂幾乎同時獨立地得出了力學中的最小作用原理．歐拉為力學和物理學的變分原理的許多研究奠定了數(shù)學基礎．這種變分原理至今仍在科研中應用． 天文學 對自然界的深刻研究是數(shù)學最富饒的源泉．18世紀的數(shù)學家對天體運行規(guī)律的探索極為重視．歐拉對天文學作過大量的研究，他最出色的著作都和天體力學有關．這些論著特別吸引當時的科學家，并多次榮獲英、法等國的獎金． 17世紀，牛頓提出著名的萬有引力定律，從力學原理上解釋了月球運動的規(guī)律．此后，“三體問題”，特別是太陽、地球和月亮，成了18世紀科學家十分關注的重要課題．三體問題的攝動理論最先應用于月球的運動．歐拉、克萊羅等人曾試圖求得一般三體問題的精確解，終因困難至甚轉而采用近似方法．1745年，克萊羅和達朗貝爾用萬有引力定律算得月球繞地球運轉的近地點的周期為18年，而實際觀察則表明它應該是9年．這曾使得人們從總體上對牛頓力學體系的正確性產生懷疑，甚至歐拉和其他一些科學家也認為牛頓萬有引力定律需要作某些修正．1749年，克萊羅確認：理論值和觀察值之間的誤差，是由于求解相應微分方程局限于第一次逼近所致．當他作第二次逼近演算后，結果是令人滿意的．為此，歐拉向圣彼得堡科學院舉薦克萊羅的論文，使之獲得該院1752年獎金．不過，歐拉仍不滿意并繼續(xù)研究．1753年，他的《月球運動理論》(Theoria motus lunae exhibens omnes ejus ina- equalitales)一書出版．在這部著作中，歐拉闡述了求三體問題近似解的新穎方法，亦稱“歐拉第一月球理論”．他得到的數(shù)值結果也與牛頓萬有引力理論一致． 歐拉的第一月球理論對當時的天文學和航海事業(yè)產生了很重要的影響．1755年，格丁根大學的天文學家T．邁爾(Mayer)根據(jù)歐拉的理論制成了一張月球運行表．它對艦船導航極有價值．經過10年的航海實踐，1765年英國國會終于將半個世紀前懸賞的獎金授予邁爾的遺孀．同時，也獎給歐拉三百英磅獎金，以表彰他為此所作的開創(chuàng)性的理論工作． 1772年，歐拉的另一本天文學著作《月球運動理論和計算方法》在圣彼得堡出版．他在此書中詳細闡述了“歐拉第二月球理論”．由于種種原因，直到19世紀末，當G．W．希爾(Hill)發(fā)展了歐拉月球理論中關于以直角坐標為基本變量和旋轉坐標系的概念，建立了一種新的月球運動理論后，人們才可能對歐拉的這種新方法的價值作出正確的評價． 歐拉一生還寫了許多關于慧星和行星軌道計算的論著．1748年，他在一篇論文中最先用參數(shù)變值法研究木星和土星運動的攝動，獲得了巴黎科學院的獎金．1769—1771年，歐拉已雙目失明，他以堅強的毅力和永不懈怠的進取精神，繼續(xù)研究木星和土星、地球和其他行星的相互引力引起的攝動．“春蠶到死絲方盡”，歐拉對天文學的研究一直延伸到其生命最后的一瞬． 物理學 18世紀物理學的進展并不像17世紀前80年那樣不尋常，它很少產生偉大的實驗物理學家．歐拉作為一位物理學家，與丹尼爾·伯努利也不一樣，其主要貢獻是從數(shù)學的角度詳盡地闡述前面已討論過的那些類問題．歐拉所涉及的各種物理問題，當時多半與數(shù)學分析無緣．他渴望創(chuàng)造一種與物理學界取得一致的數(shù)學理論．他廣泛地將數(shù)學應用到整個物理領域，并在力學、聲學、光學和電磁學等方面做出了許多重要貢獻． 1644年，笛卡兒曾經假定星際空間充滿著物質，并且它們在很大的漩渦中運動．這在歐洲大陸人們的思想中，直到近18世紀中葉時還保持著它的地位．1724年，歐拉被授予哲學碩士學位，他發(fā)表的演講就是對牛頓和笛卡兒的哲學思想進行比較．歐拉不是笛卡兒自然哲學體系的代表人物，但是，他更接近于這個自然哲學體系．歐拉否認空虛空間中的運動和遠距離作用的可能性，他認為宇宙中充滿了以太，并且用以太的力學性質來解釋觀察到的現(xiàn)象的多樣性是可能的．他還將單磁流的概念引入電磁學． 歐拉在廣為流傳的《關于物理學和哲學問題給德韶公主的信》中，提出了一切物理現(xiàn)象都是以太與物質相互作用的結果的思想，企圖建立物理世界的統(tǒng)一圖象．這一思想對18世紀、19世紀物理學的發(fā)展是重要的．歐拉關于電的本質的觀點是M．法拉第(Faraday)和J．C．麥克斯韋(Maxwell)電磁場理論的雛型．他的以太理論影響了黎曼． 歐拉在物理學方面建立的人造模型和提出的一些假設，壽命都不長．但是，他的光學著作在18世紀的物理學中起了重要作用．他否定權威的光粒子論，他是這個世紀提倡波動說的唯一的杰出科學家．他認為光的起因是以太特有的振蕩的結果．歐拉1746年發(fā)表的《光和色彩的新理論》(Nova theoria lucis et colo- rum)解釋了一些光學現(xiàn)象．他同倫敦的光學儀器商多倫在色散理論上發(fā)生過爭論，雙方都有正誤之處．1758年，多倫創(chuàng)造消色差望遠鏡送交英國皇家學會，轟動了整個歐洲．這是光學技術上的一個轉折點．而歐拉的三大卷本《屈光學》(Dioptrica，1771)則奠定了光學體系的計算基礎．此書第一卷論述光學原理，第二、三卷分別論述望遠鏡和顯微鏡的構造，只是書中的數(shù)學模型超出了實驗光學家的理解力．值得一提的是，歐拉1739年的音樂新理論也有超出音樂家理解力的地方，人們說，它對數(shù)學家“太音樂”了，而對音樂家“太數(shù)學”了．有人認為，歐拉的某些思想在現(xiàn)代音樂家的著作中得到了發(fā)展． 歐拉給后人留下了極其豐富的科學遺產和為科學獻身的精神．歷史學家把歐拉同阿基米德(Archimedes)、牛頓、高斯并列為數(shù)學史上的“四杰”．數(shù)學家J．R．紐曼(Newman)1956年稱歐拉是“數(shù)學家之英雄”．現(xiàn)在，英雄歐拉安詳?shù)靥稍诙砹_斯的土地上．1983年，在歐拉逝世200周年之際，各國學者在列寧格勒(即圣彼得堡)、西柏林、東柏林和莫斯科先后隆重集會紀念其豐功偉績．而在歐拉的故鄉(xiāng)——巴塞爾，則出版了各國著名科學家和科學史家研究、紀念他的巨型文集《列昂哈德·歐拉——生活事業(yè)文獻集》(Leonhard Euler，1707—1783， Beitr ge zu Leben undWerk，1983)．法國科學家L．巴斯德(Pasteur)說得好：“科學沒有國籍．但是科學家有祖國，他對于祖國的光榮應當盡心竭力，死而后已．熱烈的愛國心會使他有勇氣和毅力承擔艱難而偉大的工作；而這工作，正是對人類有益的．”(在丹麥哥本哈根萬國醫(yī)學會上的講話，1884)以此贊美歐拉，他是當之無愧的． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
