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丟番圖 遼寧師范大學(xué) 梁宗巨 丟番圖(Diophantus of Alexandria) 公元250年前后活躍于亞歷山大．教學(xué)． 丟番圖生存的年代，是根據(jù)下面的記載來確定的．在他的著作《多角數(shù)》(De polygonis numeris)中，引用了許普西克勒斯(Hypsicles of Alexandria，約公元前175年)關(guān)于多角數(shù)的定義，而賽翁(Theon of Alexandria)的書又引用丟番圖的著作．這樣界定的上、下限是公元前175年到公元390年．另外，M．C．普賽勒斯(Psellus，1018—約1078)寫過一封信，提到阿納托利厄斯(Anatolius，約公元280年)將他所著的關(guān)于埃及計(jì)算方法的小冊(cè)子獻(xiàn)給丟番圖，因此兩人應(yīng)同時(shí)代或丟番圖稍早．據(jù)此斷定丟番圖的活躍時(shí)期是公元250年前后． 丟番圖將他的杰作《算術(shù)》(Arithmetica)獻(xiàn)給迪奧尼修斯(Dionysius)．歷史上用這一個(gè)名字的有好幾個(gè)，估計(jì)這一個(gè)是亞歷山大的迪奧尼修斯，他是當(dāng)?shù)氐闹鹘蹋谌沃鹘?公元247年)之前，曾在那里建立基督教學(xué)校(從公元231年起)．丟番圖的《算術(shù)》可能就是為這些學(xué)校編寫的教科書．這種推想是合情合理的，年代也和前面所說的一致． 關(guān)于丟番圖的生平，還有一則別開生面的記載．在一本《希臘詩文選》(The Greek anthology)中，收錄了丟番圖奇特的墓志銘： 墳中安葬著丟番圖， 多么令人驚訝， 它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路． 上帝給予的童年占六分之一， 又過十二分之一，兩頰長胡， 再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭． 五年之后天賜貴子， 可憐遲到的寧馨兒， 享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓． 悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)， 又過四年，他也走完了人生的旅途． 這相當(dāng)于方程 x=84．由此知他享年84歲． 丟番圖的著作 確實(shí)知道他有兩種著作，一是《算術(shù)》，大部分保存了下來；另一種是《多角數(shù)》，只有少部分留下來．還有兩種書，一是《推論集》 (Porismata)它只是在《算術(shù)》中幾次提到，可能是若干數(shù)論問題的匯編，獨(dú)立成冊(cè)，也可能是附屬在《算術(shù)》中的失傳部分．此外，伊安布利霍斯(lamblichus，約公元250—約330年)所著《尼科馬霍斯〈算術(shù)〉評(píng)注》一書的注釋者還提到丟番圖另外一本書《分?jǐn)?shù)算法》(Moriastica)，它記載了分?jǐn)?shù)計(jì)算的法則，可惜已失傳． 丟番圖的《算術(shù)》是一部劃時(shí)代的著作，它在歷史上影響之大可以和歐幾里得《幾何原本》(Elements)一比高下．這書的序中說，全書共分13卷．可是現(xiàn)在見到的希臘文本只有6卷．長期以來，大家都認(rèn)為其余的7卷早在10世紀(jì)以前已經(jīng)失傳．5世紀(jì)時(shí)希帕提婭(Hypatia)注釋這部書，只注了6卷，也許這正是其余部分被人忽視終致失傳的原因． 近年來，發(fā)現(xiàn)4卷阿拉伯文本，改變了傳統(tǒng)的看法．1973年，G．圖默(Toomer)獲悉在馬什哈德圣地(Mashhad Shrine)圖書館有一本阿拉伯文手抄本，經(jīng)過研究，確認(rèn)為《算術(shù)》的失傳部分(但還不全)．這是由古斯塔伊本盧加(Qustā ibn Lūqā，活躍于860年前后)譯成阿拉伯文的．后來J．塞夏諾(Sesiano)將它譯成英文并加以詳細(xì)注釋(見[6])．經(jīng)過反復(fù)推敲，塞夏諾指出這4卷在《算術(shù)》中原來的位置應(yīng)該是緊接著希臘文本卷1，2，3的卷4，5，6，7，而希臘文的其余部分應(yīng)是卷8，9，10．下面將按這新的順序編排來介紹它的內(nèi)容． 原來的6卷希臘文本，最初是J．雷格蒙塔努斯(Regiomontanus，1436—1476)發(fā)現(xiàn)的．1464年2月15日，他寫信給L．比安基(Bianchi)，提到他在威尼斯找到了丟番圖的《算術(shù)》，從此西方學(xué)術(shù)界才知道有6卷希臘文手抄本流傳下來．最早的拉丁文譯本是G．克胥蘭德(Xylander，1532—1576)的“Diophanti Alexandrini Rerum arithmeticarum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亞歷山大的丟番圖算術(shù)6卷，多角數(shù)1卷》)．以后又有C．－G．巴歇(Bachet de Méziriac，1581—1638)校訂注釋的希臘-拉丁文對(duì)照本“Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex，et de numeris multangulis liber unus”(《亞歷山大的丟番圖算術(shù)6卷，多角數(shù)1卷》)．關(guān)于這個(gè)譯本，有一段饒有趣味的歷史．1637年左右，P．de費(fèi)馬(Fermat，1601—1665)讀到這譯本第2卷第8題：“將一個(gè)平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)”時(shí)，在書頁的空白處寫出了著名的“費(fèi)馬大定理”． 1670年費(fèi)馬的兒子S．de費(fèi)馬(Fermat)將他父親的全部批注插入正文，重新出版巴歇的希-拉對(duì)照本近代，不包括新發(fā)現(xiàn)4卷的“丟番圖全集”，標(biāo)準(zhǔn)的版本是P．唐內(nèi)里(Tannery，1843—1904，法國數(shù)學(xué)史家)編輯、校訂的希-拉對(duì)照本“Diophanti Alexandrini opera omnia cum Graecis commentariis”(《亞歷山大的丟番圖全集，包括希臘文注釋》)．最流行的英譯本是T．L．希思(Heath，1861—1940)的“Diophantus of Alexan－dria，A Study in the history of Greek algebra(《亞歷山大的丟番圖，希臘代數(shù)學(xué)史研究》)．此外，還有德、法、英、俄及現(xiàn)代希臘語等多種譯本． 代數(shù)學(xué)的特征 希臘時(shí)代“算術(shù)”(arithmetica)一詞，主要指“數(shù)的理論”而言，大致相當(dāng)于現(xiàn)在的“數(shù)論”．而數(shù)字的加、減、乘、除等運(yùn)算則叫做“計(jì)算的技巧”(logistica)，和前者有明顯的區(qū)別．這種分法從畢達(dá)哥拉斯時(shí)代開始，一直延續(xù)到近代，例如C．F．高斯(Gau－ss)的數(shù)論名著就叫做《算術(shù)研究》(Disquisitiones Arithmeticae，1801)．丟番圖《算術(shù)》也是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程．現(xiàn)在對(duì)于具有整系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數(shù)論的一個(gè)分支．不過丟番圖并不要求解答是整數(shù)而只要求是正有理數(shù)． 從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍．代數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，根據(jù)問題的條件列出方程，然后解方程求出未知數(shù)．算術(shù)也有未知數(shù)，這未知數(shù)一般就是問題的答案，一切運(yùn)算只允許對(duì)已知數(shù)來施行．在代數(shù)中既然要對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算，就需要用某種符號(hào)來表示它．就引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)符號(hào)以及建立方程的思想(雖然未有現(xiàn)代方程的形式)這幾方面來看，丟番圖《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù)．當(dāng)時(shí)代數(shù)學(xué)沒有專門的名稱，algebra是9世紀(jì)花拉子米(al－Khowarizmi)以后才出現(xiàn)的名稱，而且直到17世紀(jì)還沒被歐洲人普遍接受．丟番圖將這方面的成果冠以算術(shù)之名是很自然的．他被后人稱為“代數(shù)學(xué)之父”也是有一定道理的． 希臘數(shù)學(xué)自畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以后，興趣中心在幾何，他們認(rèn)為只有經(jīng)過幾何論證的命他才是可靠的．為了邏輯的嚴(yán)密性，代數(shù)也披上了幾何的外衣，一切代數(shù)問題，甚至簡單的一次方程的求解，也都納入僵硬的幾何模式之中．直到丟番圖，才把代數(shù)解放出來，擺脫了幾何的羈絆．例如，(a＋b)2=a2+2ab＋b2的關(guān)系在歐幾里得《幾何原本》中是一條重要的幾何定理(卷Ⅱ命題4)，而在丟番圖《算術(shù)》中只是簡單代數(shù)運(yùn)算法則的必然結(jié)果． 下面通過一個(gè)例子來說明丟番圖解決問題的手法．卷Ⅱ第20題：求兩數(shù)，使得任一數(shù)的平方加上另一數(shù)等于一個(gè)平方數(shù)．([10]，p．101．)這相當(dāng)于不定方程 x2+y=m2 y2+x=n2 要求所有的未知數(shù)x，y，m，n都是正有理數(shù)． 丟番圖只設(shè)一個(gè)未知數(shù)，也只使用一個(gè)未知數(shù)的符號(hào)，這是他的特點(diǎn)之一，今暫記作x．其余的未知數(shù)根據(jù)問題的具體條件用含x的一個(gè)簡單式子表示出來．本例的條件是x2加上另一個(gè)未知數(shù)等于一個(gè)平方數(shù)，故可設(shè)這個(gè)未知數(shù)是2x+1，因?yàn)閤2+ 2x+1正好是一個(gè)完全平方．其次，還應(yīng)該滿足 (2x+1)2+x=平方數(shù)． 丟番圖設(shè)右端是(2x-2)2，顯然是想使展開后左右兩端相同的4x2項(xiàng) -2是怎樣來的？不妨先令右端是(2x+a)2=4x2+4ax+a2， 原文很簡單，沒有說明這樣設(shè)未知數(shù)的理由，更沒有給出一般的法則．他雖然知道問題有多個(gè)答案，但常常得到一個(gè)答案就已滿足．他認(rèn)為代數(shù)方法(可理解為一種倒推法，先假設(shè)未知數(shù)存在，列出方程然后求解)比幾何的演繹陳述更適宜于解決問題．解題的過程中顯示出高度的巧思和獨(dú)創(chuàng)性，在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹一幟．有的數(shù)學(xué)史家說，如果丟番圖的著作不是用希臘文寫的，人們就不會(huì)想到這是希臘人的成果，因?yàn)榭床怀鲇泄诺湎ＥD數(shù)學(xué)的風(fēng)格，從思想方法到整個(gè)科目結(jié)構(gòu)都是全新的．如果沒有丟番圖的工作，也許人們以為希臘人完全不懂代數(shù)．有人甚至猜想他是希臘化了的巴比倫人． 代數(shù)符號(hào) G．H．F．內(nèi)塞爾曼(Nesselmann，1811—1881)根據(jù)符號(hào)使用的情況，將代數(shù)學(xué)分為三類(見[12]，pp．301—306)：(1)文詞代數(shù)(rhetorische algebra)，完全用文字來敘述而不用符號(hào)；(2)簡字代數(shù)(synkopierte algebra)；(3)符號(hào)代數(shù)(symbolischealgebra)，除了個(gè)別地方，一切全用符號(hào)來表示．按照這個(gè)分類，丟番圖《算術(shù)》應(yīng)該屬于第二類．符號(hào)的使用，在數(shù)學(xué)史上是一件大事．一套優(yōu)良的符號(hào)，絕不僅僅是起到加快速度、節(jié)省時(shí)間的作用，它能夠準(zhǔn)確、深刻地表達(dá)某種概念、方法和邏輯關(guān)系．一個(gè)較復(fù)雜的式子，如果不用符號(hào)而日常語言來表述，會(huì)十分冗長而含混不清．符號(hào)的發(fā)明在數(shù)學(xué)史上是一次飛躍，也是代數(shù)的特征之一，其作用是不容低估的．丟番圖創(chuàng)設(shè)了一些符號(hào)，多半采自相應(yīng)文字的字頭，而問題的敘述主要仍然是用文字，和現(xiàn)代的符號(hào)代數(shù)相去甚遠(yuǎn)，只可算是較原始的簡字代數(shù)． 號(hào)來表示它．由于丟番圖本人的原始手稿早已失傳，后人傳抄的手稿上這個(gè)符號(hào)又不很統(tǒng)一，故很難確知他用的是什么符號(hào)．不過幾種手稿都 記數(shù)法系統(tǒng)是用字母表數(shù)，如α，β，γ，δ，…分別表示1，2，3，4…；ι，κ，λ，μ，…分別表示10，20，30，40，…；ρ，σ，τ，υ，…分別表示100，200，300，400，…等等，24個(gè)字母 值得注意的是，在一份大約寫于2世紀(jì)的紙草書上，也出現(xiàn)和丟番圖未知數(shù)相類似的符號(hào)，上面所列的三個(gè)算題，解題方法也具有丟番圖的風(fēng)格．可以想象，丟番圖的工作不是孤立的，他受到強(qiáng)烈的外來影響． 丟番圖所處理的問題大部分是多元的，但他只設(shè)一個(gè)未知數(shù)的符號(hào)，相當(dāng)于現(xiàn)在的x．而和x2，x3，…，x4相當(dāng)?shù)母鞔蝺?，都有專門的名稱和符號(hào)： 名稱 符號(hào) 符號(hào)是名稱的縮寫，注意Δ，Υ，Κ是字母δ，υ，κ的大寫．這些乘冪的倒數(shù)也有專名和符號(hào)，6次以上的冪不再創(chuàng)設(shè)符號(hào)．未知數(shù)的系數(shù) 相乘的法則：“‘缺乏’乘以‘缺乏’得到‘存在’；‘缺乏’乘以‘存在’得到‘缺乏’”，即負(fù)乘負(fù)得正，負(fù)乘正得負(fù)， 由于沒有加號(hào)，書寫時(shí)所有的負(fù)項(xiàng)都放在減號(hào)的后面，如x3-5x2+8x-1寫成 原意是“屬于部分”，相當(dāng)于“除以”或分?jǐn)?shù)線/)，接著寫分母．例如卷10(原希臘文本卷6)第19題，將 (2x3＋3x2＋x)/(x2+2x+1) 寫成 這已非常接近現(xiàn)代方程的形式．最后一個(gè)符號(hào) 表示數(shù)字6，是希臘字母表以外的記號(hào)，讀作digamma． 丟番圖創(chuàng)用符號(hào)是一大進(jìn)步，美中不足的是只用符號(hào)表示一個(gè)未知數(shù)，遇到多個(gè)未知數(shù)時(shí)仍用同一符號(hào)，這使得計(jì)算過程越來越晦澀．為了避免混淆，不得不運(yùn)用高度的技巧，但這常常使方法失去普遍性．8—9世紀(jì)以后，阿拉伯人吸取了許多希臘人的成果，然而卻沒有看到符號(hào)的優(yōu)點(diǎn)，花拉子米等人完全回到文詞代數(shù)上去，這是歷史上的倒退． 《算術(shù)》的典型問題和解答 (一)一、二、三次方程《算術(shù)》沒有系統(tǒng)地給出一、二次方程的解法．大概是一元一次方程太簡單，沒有必要單獨(dú)論述，實(shí)際它已包含在axn=b類型的方程之中．經(jīng)過移項(xiàng)、消去等手續(xù)，有些問題化為這類方程之后，立即得到解答．不管答案有幾個(gè)，丟番圖僅滿足于一個(gè)答案．他完全排斥負(fù)數(shù)解答，例如卷9(原希臘文本卷5)第2題最后化為4=4x+20，他認(rèn)為是荒謬的．無理數(shù)的解答也不取。如卷7第31題，最后得3x＋18=5x2，他說這方程是不合理的，還反過來考慮怎樣改變系數(shù)，才使得答案“合理”(即為有理數(shù))．對(duì)于答案x=0也是棄之而不顧． 關(guān)于二次方程，丟番圖在序言中就說過要給出完整的解法，但在現(xiàn)存的各章中均未見到，很可能恰好寫在失傳的部分或別的什么地方．另一種意見認(rèn)為二次方程的解法早已為巴比倫人所知，可以作為閱讀本書的預(yù)備知識(shí)，不必另作介紹．([6]，p．76．) 不管怎樣，書中確實(shí)出現(xiàn)了若干二次方程或可歸結(jié)為二次方程的問題，希思就列舉了十幾個(gè)例子，其中包括二次不等式．這些例子足以說明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式．當(dāng)然仍然是限于正有理根．有的學(xué)者認(rèn)為他不知道二次方程可能有兩個(gè)根，這是很難令人相信的．不過他始終只取一個(gè)根，如果有兩個(gè)正根，他就取較大的一個(gè)． 較簡單的例子如第1卷27題：兩數(shù)之和是20，積是96，求這兩數(shù)．解法是：設(shè)兩數(shù)分別是10+x，10-x，于是(10+x)(10-x)=102-x2=96，x2=4．x=2，兩數(shù)是12，8． 卷1第28題：兩數(shù)之和是20，平方和是208，求這兩數(shù)．同樣設(shè)兩數(shù)是10+x，10-x，則(10+x)2+(10-x)2=208，x=2，兩數(shù)是12，8． 較復(fù)雜的含一次項(xiàng)的例子如8卷31題，最后得到325x2=3x+18；應(yīng)有兩根x=6/25，-3/13，只取正根，負(fù)根不提． 更復(fù)雜一點(diǎn)的例子是卷9第10題，導(dǎo)致不等式 17x2+17＜72x＜19x2+19， 相當(dāng)于不等式組 正確的答案應(yīng)該是 β1＜x＜β2，α2＜x＜α1， 其中 是方程17x2-72x＋17=0的兩個(gè)根． 是方程19x2-72x+19=0的兩個(gè)根． 遇到兩個(gè)正根的時(shí)候，丟番圖只取較大的，故只取α2＜x＜α1，對(duì)于無理數(shù)，則取近似值．但要保證x落在區(qū)間(α2，α1)內(nèi)，α2只能取過剩近似，而α1只能取不足的．丟番圖將 分子的小數(shù)部分略去，均取不足近似值，給出答案 這里可以看到丟番圖的局限性．用現(xiàn)代的理論，要找出較好的答案是不難的，例如可取 全書唯一的一個(gè)三次方程，出現(xiàn)在卷10(原希臘文本卷6)第17題： 求直角三角形的三邊，已知它的面積加上斜邊是一個(gè)平方數(shù)，而周長是一立方數(shù)． 這相當(dāng)于 其中a，b，c是三邊． a=2，b=x，而c=M2-x，暫設(shè)為16-x，于是周長a＋b＋c=16-x＋2＋x=18，但18不是立方數(shù)．仍假設(shè)它是一個(gè)平方數(shù)加2，現(xiàn)改變這個(gè)平方數(shù)，使它加2后成為立方數(shù)．即找兩個(gè)數(shù)M，N，滿足M2＋2=N3．現(xiàn)設(shè)M=m＋1，N=m-1，代入得 m2+2m+3=m3-3m2+3m-1 于是有m=4． 他顯然省略了下面的步驟，合并同類項(xiàng)，得 4m2+4=m3+m 約去因子m2+1． 由此知M2=25，N=27．仍設(shè)面積為x，而將斜邊改為25-x，a=2，b=x，根據(jù)勾股定理 x2-50x+625=x2+4， 即得 在《算術(shù)》遺失的章節(jié)中是否還有三次方程的專門論述，不得而知． (二)不定方程 例1．卷2第8題：將一個(gè)已知的平方數(shù)分為兩個(gè)平方數(shù)．例如將16分成兩個(gè)平方數(shù)． 設(shè)一個(gè)平方數(shù)是x2，那么另一個(gè)是16-x2，現(xiàn)要求16-x2是一平方數(shù)．即 16-x2=M2 不妨設(shè)M=mx-4，其中m是某一整數(shù)，而4是16的平方根．例如令m=2，于是 16-x2=4x2-16x+16， 立刻得到 前面已經(jīng)提到，費(fèi)馬對(duì)這一命題很感興趣，在旁邊的空白處寫下著名的“費(fèi)馬大定理”． 例2、卷4(阿拉伯文本)第3題：求兩個(gè)平方數(shù)，使其和是一個(gè)立方數(shù)．(見［6］，pp．89，286．) 設(shè)較小的平方數(shù)是x2，較大的平方數(shù)是4x2，其和5x2必須是立方數(shù)M3，不妨設(shè)M是x的某一倍數(shù)，比方說就設(shè)它是x，于是5x2=x3，x=5．所求的兩個(gè)平方數(shù)是25和100，其和等于53=125． 丟番圖照例不說明所作假設(shè)的理由，更不給出一般的解答，既然是不定方程，找到一個(gè)答案就算完結(jié)．本例實(shí)際上可作更一般的假設(shè)．設(shè) 給出一般的解，是極個(gè)別的情形．如8卷39題，由方程3x2+12x＋ 6倍增加12，除以數(shù)的平方與3的差． 例3．高階不定方程．卷8第18題：求兩數(shù)，使得第一數(shù)的立方加上第二數(shù)是一個(gè)立方數(shù)，而第二數(shù)的平方加第一數(shù)是一個(gè)平方數(shù)．相當(dāng)于聯(lián)立不定方程 設(shè)第一數(shù)是x，則第二數(shù)是一個(gè)立數(shù)M3減去x3，暫設(shè)這個(gè)立方數(shù)是8，第二數(shù)是8-x3，它的平方加上第一數(shù)是 64-16x3+x4+x=N2． 可設(shè)N是三次式x3+8，因?yàn)檎归_后即將x4及常數(shù)64消去．合并同類項(xiàng)后得x=32x3，約去x得x2=1/32．這不是一個(gè)平方數(shù)(平方根不是有理的)，問題仍未得到解決． 觀察32的來源，它是2·2·8的結(jié)果，而8是開頭暫設(shè)的立方數(shù)M3，設(shè)法改變M的值，使4M3=平方數(shù)，不妨令這平方數(shù)是16M2，于是4M3=16M2，M=4． 仍設(shè)第一數(shù)為x，重新設(shè)第二數(shù)為64-x3，它的平方加上第一數(shù) 4096-128x3+x4+x=(x3+64)2， 丟番圖的方法 現(xiàn)存的《算術(shù)》以問題集的形式收錄了290個(gè)題目，其中希臘文本189個(gè)，阿拉伯文本101個(gè)，此外還有十幾個(gè)引理和推論，合起來共三百多個(gè)問題．大體上按由易到難排列，但很難看得出是用什么標(biāo)準(zhǔn)來分類的．解題的方法更是五花八門，沒有一定的法則．?dāng)?shù)學(xué)史家H．漢克爾(Hankel，1839—1873)說：“近代數(shù)學(xué)家研究了丟番圖的100個(gè)題后，去解101個(gè)題，仍然感到困難．……丟番圖使人眼花繚亂甚于使人欣喜”．(見［15］，p．165；［16］，p．36．)這話稍嫌夸張，卻抓住了問題的要害．丟番圖沒有著力去探求一般性的解法，或去深究豐富多采的解法之間的內(nèi)在聯(lián)系，這是《算術(shù)》的最大缺點(diǎn)． 有兩件事自始至終防礙他取得普遍性的方法．首先，他只用一個(gè)符號(hào)表示未知數(shù)，遇到多個(gè)未知數(shù)時(shí)，不得不用“第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)、……”或“大的、中的、小的…”等詞句去表達(dá)．在多數(shù)的情況下令那些未知數(shù)取得具體的數(shù)值，于是使問題特殊化而得不到普遍的解答．其次，沒有創(chuàng)用符號(hào)去表示數(shù)(如現(xiàn)在的n，a，b，c，…一樣)，因此所有的解法都是針對(duì)具體數(shù)字而設(shè)的，對(duì)一般的數(shù)就不一定適合，這樣當(dāng)然得不到一般的解法． 盡管如此，后人仍然從中摸索出若干常用的方法，下面僅舉幾個(gè)簡單的例，以見一斑． (1)利用一些恒等式，如 可使兩數(shù)的積與和、差互化．如卷2第11題：求一數(shù)，使其加上2是一平方數(shù)，加上3也是平方數(shù)．即 (2)兩數(shù)和為已知數(shù)M，或兩數(shù)一大一小，通常設(shè)這兩數(shù)是M＋x，M-x，然后使其滿足其他條件．如前面舉過的卷1第28題． (3)《算術(shù)》除卷1外，其余的幾乎全是不定方程，特別是牽涉到平方數(shù)、立方數(shù)．常出現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)這種類型的方程： Ax2+Bx+C=M2． 可設(shè)M是x的一次式，適當(dāng)選擇系數(shù)使展開后可消去二次項(xiàng)或常數(shù)項(xiàng)． (4)使問題特殊化．為了減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，先令某些未知數(shù)取滿足一定條件的具體數(shù)值，以后不合適時(shí)再改變?cè)鹊募僭O(shè)． (5)近似法．令未知數(shù)取某種類型的數(shù)值，且滿足一定條件，這樣先求出近似答案，并在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)求得正確答案的途徑． 以卷9第9題為例：將1分為兩部分，使一個(gè)已知數(shù)加上任何一部分都是平方數(shù)． 設(shè)這個(gè)已知數(shù)是6，問題于是轉(zhuǎn)化為將13分為兩個(gè)平方數(shù)，使每一個(gè)平方數(shù)都＞6，即13=M2＋N2，M2＞6，N2＞6． (3-9x)2+(2＋11x)2=13， 丟番圖沒有進(jìn)一步推廣，實(shí)際上，如設(shè) (3-mx)2+(2+nx)2=13， 選擇m，n，使?jié)M足 數(shù)和是1，每一個(gè)加上6都是平方數(shù)．如令m=13，n=16，則得另一組 其他著作 丟番圖的《多角數(shù)》只殘存一部分，它證明的方式純粹是幾何的，倒很接近古典希臘的風(fēng)格，而和《算術(shù)》迥然不同．多角數(shù)(polygonal number)是形數(shù)(figurate number)的一種．用點(diǎn)子表示數(shù)，可以構(gòu)成各種平面或立體圖形，這個(gè)數(shù)叫做形數(shù)．如6個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，6就是三角數(shù) ．同樣，1，5，12，22，35，…都是五角數(shù)，如22個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正五角形，它的邊是4(每邊有4個(gè)點(diǎn)，用n表示這個(gè)數(shù))，角數(shù)是5(用a表示)．n，a與總的點(diǎn)數(shù)P之間有公式聯(lián)系起來： 多角數(shù)是一個(gè)古老的課題，源出于畢達(dá)哥拉斯，后經(jīng)菲利波斯(Philippos，公元前360年前后)、斯皮尤西波斯(Speusippus，公元前340年前后)等人研究．上述公式是許普西克勒斯(公元前175年前后)給出的，丟番圖在《多角數(shù)》中加以引用并推廣，還建立了其他的公式． 另一本著作《推論集》載有若干數(shù)論的引理及推論，可以看作《算術(shù)》的一部分或補(bǔ)充． 來源及影響 從古代埃及、巴比倫的衰亡，到希臘文化的昌盛，這過渡時(shí)期沒有留下什么數(shù)學(xué)典籍，所以現(xiàn)在的了解是不夠的．巴比倫人在代數(shù)方面(如二次方程、不定方程)有很高的成就，丟番圖的技巧和他們頗有相似之處．例如S．甘茲(Gandz)指出，《算術(shù)》卷2第10題(將已知數(shù)分為二個(gè)平方數(shù)之差)已在巴比倫的泥板上見到．見［17］，pp．13—14．)丟番圖常滿足于問題的解決(得到一個(gè)解)而不去追求方程的全部解，《算術(shù)》與其說是代數(shù)教科書，不如說是一本問題集，這些地方都和巴比倫數(shù)學(xué)相仿．他的工作有時(shí)被說成是“盛開的巴比倫代數(shù)的花朵”． 不管丟番圖受到巴比倫人的多少影響，他畢竟大大超越了前人，在數(shù)論和代數(shù)領(lǐng)域作出了杰出的貢獻(xiàn)，開辟了廣闊的研究道路．如系統(tǒng)地使用了符號(hào)，深入討論了抽象的數(shù)而不是埃及、巴比倫數(shù)學(xué)中具體的麥粒數(shù)目、田畝的面積或貨幣的單位．這是人類思想上一次不尋常的飛躍，不過這種飛躍在早期希臘數(shù)學(xué)中已出現(xiàn)．巴比倫人曾致力于將三次方程化為n3+n2=a的形式，以便借助數(shù)表去求近似解，而丟番圖的興趣是求精確的有理數(shù)解．在多方面顯示出驚人的睿智和獨(dú)創(chuàng)性． 8，9世紀(jì)以后，丟番圖的著作傳到阿拉伯國家，產(chǎn)生巨大的影響，出現(xiàn)多種翻譯和注釋本．如凱拉吉(al-Karajī或al－Karkhī，活動(dòng)于1020前后)的代數(shù)著作《發(fā)赫里》(al-Fakhrī)就直接引用《算術(shù)》前3卷的若干題目．在歐洲，L．斐波那契(Fibonacci，約1170—約1250，意大利人)的《算盤書》(Liber abaci，1202)最早載有丟番圖類型的問題，他顯然是通過阿拉伯文本去熟悉丟番圖的．近代數(shù)學(xué)家如費(fèi)馬、F．韋達(dá)(Vieta)、歐拉、高斯等也都受到丟番圖的許多啟發(fā)，各自取得巨大的成就．總而言之，丟番圖的《算術(shù)》雖然有許多不足之處，但瑕不掩瑜，它仍不失為一部承前啟后的劃時(shí)代著作． |
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