哪里有數(shù)，哪里就有美?！樟_克洛斯（Proclus）

一、背景

古典希臘人把計(jì)算技術(shù)叫l(wèi)ogistica，而算術(shù)（arithmetica）則指數(shù)論。古典數(shù)學(xué)家蔑視計(jì)算技術(shù)，因它只談商業(yè)貿(mào)易的實(shí)際計(jì)算。從泰勒斯到歐幾里得的300年間，這門技術(shù)沒什么進(jìn)展。

古典希臘人的數(shù)字系統(tǒng)有幾次演變。初期他們用一些特殊的符號(hào)和記號(hào)來表示數(shù)，并用一種算盤的之類的東西進(jìn)行計(jì)算。大約公元前500年改用希臘數(shù)字系統(tǒng)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是用石子來計(jì)算的，因“calculus計(jì)算”這個(gè)詞的原意是石子?！癮bacus算盤”的希臘文原意是沙，這說明在引用算盤以前，他們是在沙地上畫點(diǎn)記數(shù)的。然后不知為什么改成了完全用字母記數(shù)的愛奧尼亞制。這種記數(shù)制是亞歷山大時(shí)期希臘數(shù)學(xué)里最通用的，可以在托勒密的《至大論》中看到。古代敘利亞人和以色列人也用。

阿基米德的《數(shù)沙》給出了寫大數(shù)的一套方案，其重點(diǎn)不在于方案本身，而是發(fā)表了可以把數(shù)寫得大到不受限制的思想。

對于用上述方式寫出的整數(shù)的算術(shù)運(yùn)算，同今天一樣用豎式加減進(jìn)退位。分?jǐn)?shù)是用單位分?jǐn)?shù)之和表示的，但中間沒有加號(hào)。亞歷山大的希臘天文學(xué)家采用巴比倫人的60進(jìn)制分?jǐn)?shù)，托勒密的說法是為了避免用普通分?jǐn)?shù)所引起的麻煩。

亞歷山大數(shù)學(xué)家把分?jǐn)?shù)本身當(dāng)作數(shù)來看待，并且隨意用來運(yùn)算。而古典時(shí)期數(shù)學(xué)家則只提到整數(shù)之比，不提整數(shù)的部分，而且只在比例中用到比。

古典希臘時(shí)期回避開平方的運(yùn)算，而無理數(shù)根本沒有地位。亞歷山大時(shí)期從海倫開始就用迭代法求平方根的近似值。

二、算術(shù)和代數(shù)作為一門獨(dú)立學(xué)科的發(fā)展

阿基米德、阿波羅尼奧斯和托勒密用算術(shù)來計(jì)算幾何量，用幾何代數(shù)法來保證數(shù)的運(yùn)算的邏輯基礎(chǔ)，邁出了算術(shù)和代數(shù)獨(dú)立發(fā)展的第一步。而海倫、尼科梅切斯和丟番圖則把算術(shù)和代數(shù)問題本身作為問題來處理，既不依靠幾何引出，也不用它來作邏輯依據(jù)。這使算術(shù)和代數(shù)真正發(fā)展成了一門獨(dú)立學(xué)科。

1.海倫的工作

海倫用純粹算術(shù)方法提出和解決代數(shù)問題。他沒有采用特別的符號(hào)，而是用文字來陳述。例如：給定一正方形，知其面積與周長之和為896，求其一邊。這相當(dāng)于今天求方程x2+4x=896的根。海倫的做法是兩邊加4配成完全平方然后開方。他不進(jìn)行證明而只描述如何運(yùn)算，而這正是古代埃及人和巴比倫人提出問題和解決問題的方式。對于海倫而言，代數(shù)是算術(shù)的推廣。

海倫在《幾何》一書中提到加一塊面積、一個(gè)周長和一個(gè)直徑，這些話的意思即加上它們的數(shù)值。同樣，當(dāng)他說用一個(gè)正方形乘一個(gè)正方形，意即求兩個(gè)數(shù)值的乘積。

海倫在這方面的工作有時(shí)被人估計(jì)為希臘幾何學(xué)衰落的開始。但更應(yīng)該作為巴比倫和埃及數(shù)學(xué)在希臘人手里的一個(gè)改進(jìn)。

海倫發(fā)明的世界上第一臺(tái)自動(dòng)販賣機(jī)

2.尼科梅切斯的工作

從算術(shù)以一門獨(dú)立學(xué)科重新出現(xiàn)這一角度來講，尼科梅切斯（Nichomachus，約公元100年）的著作是更重要的。他撰寫了包含兩篇的《算術(shù)入門Introductio Arithmetica》一書。這是第一本篇幅頗為可觀的完全脫離幾何講法的算術(shù)（意即數(shù)論）書。從歷史意義上講，它對于算術(shù)的重要性可以和歐幾里得的《原本》對于幾何的重要性相比。書中，數(shù)代表對象的數(shù)量而不再像歐幾里得書中那樣用線段來形象化。他只論述整數(shù)和整數(shù)的比。

尼科梅切斯使畢達(dá)哥拉斯的傳統(tǒng)重新活躍起來。他認(rèn)為在柏拉圖所強(qiáng)調(diào)的四門學(xué)科（算術(shù)、幾何、音樂和天文）中，算術(shù)是其它各科之母，沒有算術(shù)別的學(xué)科就不能存在。而其它學(xué)科被取消，算術(shù)仍能存在。

《算術(shù)入門》的主要內(nèi)容是早期畢達(dá)哥拉斯派在算術(shù)方面的工作，尼科梅切斯講述了偶數(shù)、奇數(shù)、正方形數(shù)、矩形數(shù)和多角形數(shù)。他也論述了質(zhì)數(shù)和復(fù)合數(shù)以及六面體數(shù)【形式為n2 (n+1)的數(shù)】，此外又定義了別的許多種數(shù)。他給出了1到9的乘法表，和今日學(xué)習(xí)的九九表一模一樣。

尼科梅切斯比畢達(dá)哥拉斯學(xué)派更能發(fā)現(xiàn)一般性的關(guān)系（雖然并未證明）。例如：第（n-1）個(gè)三角形數(shù)加上第n個(gè)k角形數(shù)會(huì)得出第n個(gè)k+1角形數(shù)；第（n-1）個(gè)三角形數(shù)加上第n個(gè)正方形數(shù)得出第n個(gè)五角形數(shù)。

再如：第n個(gè)三角形數(shù)，第n個(gè)正方形數(shù)，第n個(gè)五角形數(shù)等形成一個(gè)遞進(jìn)算術(shù)數(shù)列，其公差為第（n-1）個(gè)三角形數(shù)。

他發(fā)現(xiàn)：若奇數(shù)1、3、5、7、9、11、13、15、17......的第一數(shù)是1的立方，其后兩數(shù)之和是2的立方，再往下三個(gè)數(shù)之和是3的立方......

尼科梅切斯給出四個(gè)完全數(shù)6、28、496、8128，并重復(fù)給出歐幾里得關(guān)于完全數(shù)的公式。他把各種各樣的比加以分類，并給他們起名，其中包括（m+1）：m，（2m+n）：（m+n）以及（mn+1）：n。這些比在音樂上很重要。

他也研究比例，并說這對“自然科學(xué)、音樂、球面三角和平面幾何，尤其是對于研究古代數(shù)學(xué)家”非常必要。他給出好多類比例，其中有音樂比例

他又給出埃拉托斯特尼篩，這是較快得出質(zhì)數(shù)的方法。先把3以后的奇數(shù)寫下來，然后劃掉3的倍數(shù)，其次去掉5的倍數(shù)，然后去掉7的倍數(shù)......剩下的數(shù)連同2就是質(zhì)數(shù)。

尼科梅切斯用舉例來說明和解釋他提出的定理，不用演繹證明。

《算術(shù)入門》之所以有價(jià)值，是因?yàn)樗麑φ麛?shù)和整數(shù)之比的算術(shù)作了有系統(tǒng)、有條理、清楚而內(nèi)容豐富的敘述，而且完全不依賴于幾何。里面還收集了關(guān)于數(shù)的思辨方面的、美學(xué)上的、神秘性的道德性的臆說，但沒有談實(shí)際應(yīng)用?！端阈g(shù)入門》在此后1000年間成為一本標(biāo)準(zhǔn)課本。自尼科梅切斯之后，算術(shù)而不是幾何成為風(fēng)行于亞歷山大時(shí)期的學(xué)問。

用代數(shù)技巧解問題的書也問世了。有些問題正是公元前2000年巴比倫書本里或萊因德草片紙上所載的。自尼科梅切斯之后，人們拿那些導(dǎo)出方程的代數(shù)題作為一般消遣的難題。這種題目約有50到60個(gè)保留在10世紀(jì)的一本書里（Palatine Codex of Greek Epigrams）。這里面至少有30題被認(rèn)為是梅特羅多魯斯（Metrodorus，約公元500年）所提出的，但肯定以前就有：阿基米德牛群問題，歐幾里得提出的關(guān)于騾子和驢馱運(yùn)糧食的問題，求桶里注滿水所需時(shí)間的問題以及年齡問題。

3.丟番圖的工作

亞歷山大時(shí)期的希臘代數(shù)到丟番圖（Diophantus，約公元246—330年）時(shí)臻于最高點(diǎn)。他是代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人之一，對算術(shù)理論有深入研究，他完全脫離了幾何形式，以代數(shù)學(xué)聞名于世。他的著作遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出他的同時(shí)代人，但可惜出來得太晚而不能對他那個(gè)時(shí)代起太大影響，因?yàn)橐还赏淌晌拿鞯臍缧岳顺闭谙破稹?/p>

代數(shù)之父——丟番圖

《算術(shù)》（Arithmetica）是丟番圖最重要的著作，也是代數(shù)史上影響深遠(yuǎn)的一部著作，可與《幾何原本》一較高下。全書共13卷，但15世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的希臘文本僅6卷。1973年伊朗境內(nèi)的馬什哈德又發(fā)現(xiàn)了4卷阿拉伯文，這樣，現(xiàn)存的有10卷，共290個(gè)問題。

1621年版《算術(shù)》

作者在題詞中說這是為幫助學(xué)生學(xué)習(xí)這門課而寫的一些練習(xí)題。丟番圖作出的一步重大的進(jìn)展是在代數(shù)中采用一套符號(hào)。他使用三次以上的高次乘冪更是件了不起的事。古典希臘數(shù)學(xué)家不能也不愿考慮含三個(gè)以上因子的乘積，因?yàn)檫@種乘積沒有幾何意義。但在純算術(shù)中，這種乘積卻確有其意義；這正是丟番圖所采取的觀點(diǎn)。因此套記號(hào)，后人把丟番圖的代數(shù)稱作縮寫代數(shù)，而把埃及、巴比倫、海倫和尼科梅切斯的代數(shù)稱作文字?jǐn)⑹龃鷶?shù)。從此代數(shù)擺脫了幾何的束縛，直到解析幾何出現(xiàn)，兩者的重要程度完全易位。

丟番圖的解題步驟是像散文那樣一個(gè)字接著一個(gè)字寫的。他做的運(yùn)算是純算術(shù)性的，不求助于幾何直觀來作具體說明。他還應(yīng)用了恒等式和換元法，雖然并未明確名稱。

《算術(shù)》第一篇的內(nèi)容主要是那些引出確定的一元或多元一次方程的問題。其余五篇的內(nèi)容主要是二次不定方程。

第一篇，問題27：求兩數(shù)使其和為20而乘積為96。

丟番圖的解法：2x為兩數(shù)之差，兩數(shù)分別為x+10和x-10，于是100-x2=96，x=2，兩數(shù)分別為12與8。這個(gè)解法用到均值與和差的技巧。

丟番圖代數(shù)的最突出之點(diǎn)是他對不定方程的解法。他是這門代數(shù)的創(chuàng)立人，這門代數(shù)如今就稱作丟番圖分析。

丟番圖所解問題包括一次、二次、三次和高次方程。

第一篇，問題8：把一給定平方數(shù)分成兩個(gè)平方數(shù)。

取16作為給定的平方數(shù)，得出256 /25和144 /25。這個(gè)問題經(jīng)費(fèi)馬（Pierre de Fermat）加以推廣，使他提出x^m + y^m = z^m當(dāng)m > 2時(shí)就無解。——費(fèi)馬大定理！

第二篇，問題9：已給一數(shù)為兩個(gè)平方數(shù)之和，把它分為另外兩個(gè)平方數(shù)之和。

取13 = 4 + 9作為所給的數(shù)，得出結(jié)果是324/25及1/25。

第三篇，問題6：求三個(gè)數(shù)，使它們的和以及它們之中任兩數(shù)的和都是平方數(shù)。

丟番圖給出80、320和41。

第四篇，問題1：把一給定的數(shù)分為兩個(gè)立方數(shù)，并使其每邊之和為給定的數(shù)。

丟番圖以370為給定的數(shù)，以10為給定的兩邊之和，得出343及27。所謂邊是指立方數(shù)的立方根。

第四篇，問題29：把一給定的數(shù)表示為四個(gè)平方數(shù)與其各邊之和。

以12為給定的數(shù)，他得出四平方數(shù)為121/100、49/100、361/100和169/100。它們的邊是每個(gè)平方數(shù)的平方根。

第六篇，問題1：求一（有理邊）直角三角形，使斜邊減去每直角邊后得出一立方數(shù)。

丟番圖湊巧得出整數(shù)解40、96和104。但他一般得出的是有理數(shù)根。

丟番圖只接受正有理根而忽略所有其他根。甚至當(dāng)二次方程有兩正根時(shí)，他也只給出較大的一個(gè)。當(dāng)一個(gè)方程在求解過程中明顯看出要有兩個(gè)負(fù)根或虛根時(shí)，他就放棄這個(gè)方程，說它是不可解的。在出現(xiàn)無理根的情況下，他就倒算回去，指出怎樣改變一下方程，就能使新方程具有有理根。這方面丟番圖和阿基米德以及海倫不同。海倫是個(gè)測繪人員，他接受無理數(shù)，但為得出有用的數(shù)值便取近似值。阿基米德當(dāng)解是無理數(shù)時(shí)就用不等式來限定它的范圍。丟番圖是個(gè)純代數(shù)學(xué)家，由于他那個(gè)時(shí)代的代數(shù)不承認(rèn)無理數(shù)、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，他就放棄具有這種解的方程。但丟番圖承認(rèn)分?jǐn)?shù)是數(shù)，而不僅僅把它看成整數(shù)之比。

丟番圖在把各類方程轉(zhuǎn)化為他能解的形式方面才華橫溢，但沒有一般性的方法。《算術(shù)》里的290個(gè)問題每個(gè)都用不同的方法解。他的問題共有50多種類型，但他沒有試圖進(jìn)行分類。他的方法更接近于巴比倫人甚于他的希臘前輩，但超過巴比倫人的地方是引用了一套符號(hào)并解了不定方程?！端阈g(shù)》里吸收了巴比倫人的計(jì)算技巧，而這是被柏拉圖排斥在數(shù)學(xué)之外的。

丟番圖解個(gè)別問題所用方法之多使人目不暇接，但未能擊節(jié)嘆賞。他是個(gè)巧妙而聰明的解題能手，但顯然不夠深刻，未能看出他所用方法的實(shí)質(zhì)而加以概括。（現(xiàn)今的丟番圖分析仍然是由個(gè)別孤立問題組成的一團(tuán)亂麻。）他不像一個(gè)探求普遍概念的深邃思想家，而只是為了尋求正確的解答。他只有很少數(shù)的結(jié)果可說是具有一般性的意義——如形式為4n+3的質(zhì)數(shù)不能表為兩平方數(shù)之和。歐拉（Euler）曾認(rèn)為丟番圖是用特例來說明一般方法的，因?yàn)槟菚r(shí)候未能用字母來代表系數(shù)。還有別的人相信丟番圖認(rèn)識(shí)到他的材料是屬于抽象的基本科學(xué)的。不過整個(gè)說來他的工作在代數(shù)上是永垂不朽的。

丟番圖的墓碑上有很經(jīng)典的一道數(shù)學(xué)題目（答案是他死時(shí)歲數(shù)）：

'墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。

上帝給予的童年占六分之一，

又過了十二分之一，兩頰長胡，

再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。

五年之后天賜貴子，

可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。

悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過了四年，他也走完了人生的旅途。

終于告別數(shù)學(xué)，離開了人世。

今日數(shù)學(xué)里非常重要的一件事卻在希臘代數(shù)里遺漏了，這就是用字母來代表一類數(shù)，例如方程中的系數(shù)。亞里士多德、歐幾里得、帕普斯等人曾有過這種做法，但都沒有認(rèn)識(shí)到字母表示法在增進(jìn)代數(shù)方法的功效與其普遍性方面作用是何等巨大。

亞歷山大時(shí)期代數(shù)的另一特色是缺乏任何明晰的演繹結(jié)構(gòu)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和無理數(shù)等各種類型的數(shù)未經(jīng)定義。也沒有一套公理來建立演繹結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)家就像開藥方子一樣只說怎么做，卻沒有為什么這么做的說明。歐幾里得、阿波羅尼奧斯和阿基米德著作中那種演繹的、條理井然的證明全然不見。所解的問題都是歸納性質(zhì)的，就是說它們所指明的解具體問題的方法雖然能應(yīng)用于一般性的一類問題，但并未規(guī)定應(yīng)用的范圍能有多廣。

由于古典希臘學(xué)者所做的工作，使人覺得數(shù)學(xué)結(jié)果好像都是依據(jù)一組明文規(guī)定的公理用演繹法推出來的，因此出現(xiàn)獨(dú)立的一門算術(shù)和代數(shù)而竟無其自身的邏輯結(jié)構(gòu)這種情況，就成為數(shù)學(xué)史上的一大問題。雖然亞歷山大的希臘代數(shù)學(xué)家是一點(diǎn)不在乎這一缺陷，但以后可以看到這確使歐洲數(shù)學(xué)家深感不安。

下一講希臘數(shù)學(xué)與自然的關(guān)系。