［摘要］極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。極限的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器。當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)界，非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。然而實(shí)際教學(xué)中，部分教師對(duì)極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著偏頗，本文將在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中極限思想的滲透上提出自己的觀點(diǎn)。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)思想   極限思想   極限思想的滲透點(diǎn)

極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念^[1]。極限的思想方法為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，極限的思想方法為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器。當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)界，非常重視數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的滲透。然而在小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際教學(xué)中，部分教師對(duì)極限思想方法的理解及應(yīng)用還存在著一定的忽視，本文對(duì)如將極限的思想方法應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中,提出自己的觀點(diǎn)和同行們探討與交流。

這是大家都非常熟知的一個(gè)故事：有一個(gè)牧民，臨終前要把17匹馬分給他的3個(gè)兒子。于是留下遺囑：分給老大，分給老二，分給老三。牧民死后，三個(gè)兒子都不知道如何來分。一位鄰居牽來自己的一匹馬來幫忙分，這時(shí)就有18匹馬了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，鄰居牽著自己的那匹走了。

有人對(duì)上述分馬的方法提出了異議，認(rèn)為這實(shí)際上分的是18匹馬，而不是17匹。那么我們不妨換一種辦法來分:

共17匹馬。老大可以分得：17×=匹；老二可以分得：17×=匹；老三分得17×=匹。還剩下17－－－=匹。

我們就把剩下匹馬按遺囑繼續(xù)分。老大又可以分得： 匹；老二又可以分得：匹；老三又分得匹。還剩下匹。就這樣我們可以繼續(xù)不斷地分下去……

現(xiàn)在讓我們來看一看老大分得的馬匹數(shù)：

第一次得，第二次得，第三次得，……，第ｎ次得……這是一個(gè)無窮遞縮等比數(shù)列，這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和是S=+++…++…==9，即老大分得9匹。

利用這種辦法我們也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹。而9+6+2=17，恰好分完。這樣既滿足了牧民的心愿，又符合規(guī)則，問題得到圓滿解決。

“借馬分馬”的故事雖然簡(jiǎn)單，但第二種分馬的方法其中所蘊(yùn)含的極限思想?yún)s極其珍貴。如果你只認(rèn)識(shí)到“只分一次”是不夠的，這種辦法的核心是要將分遺產(chǎn)的過程無限的進(jìn)行下去，每分一次剩下的馬匹數(shù)都縮小到上一次的，最后每個(gè)人分得的馬匹數(shù)就逼近于一個(gè)整數(shù)了，這實(shí)際就是極限的思想的一個(gè)具體應(yīng)用。

由于小學(xué)生的年齡特點(diǎn)的限制，他們對(duì)具體的、數(shù)量有限的事物容易理解，對(duì)抽象的、數(shù)量無限的事物難于把握。但作為教師我們不能無視極限思想方法的重要性，還應(yīng)該著眼于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展及終身發(fā)展，因此，我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)針對(duì)小學(xué)生的特點(diǎn)，將極限有思想方法進(jìn)行適度的滲透。我想教師應(yīng)該抓住機(jī)會(huì)采用分層滲透的辦法，切不可急功近利。

層次一：幫助學(xué)生理解無限。

1．?dāng)?shù)量無限多。

現(xiàn)行小學(xué)教材中有許多知識(shí)點(diǎn)會(huì)涉及到數(shù)量無限多的情況。 在“自然數(shù)”、“奇數(shù)”、“偶數(shù)”、這些概念教學(xué)時(shí)，教師可讓學(xué)生體會(huì)自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個(gè)數(shù)有無限多個(gè)。在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)點(diǎn)后面的數(shù)字是寫不完的。通過這些方面讓學(xué)生初步體會(huì)“無限”思想，這樣的例子在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中還有很多。比如  商不變性質(zhì)教學(xué)后的練習(xí)：（32÷□）÷（8÷□）＝4讓學(xué)生體會(huì)□內(nèi)可填入無限多數(shù)，再如：在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)后的練習(xí)中，教師又要求學(xué)生在1分鐘內(nèi)寫一些與某個(gè)分?jǐn)?shù)相等的分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生體會(huì)這樣的分?jǐn)?shù)也是無窮無盡的。

2．圖形無限延伸。

小學(xué)幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線 、射線、角的邊、平行線的長(zhǎng)度等等它們都是可以無限延伸的。這些概念在現(xiàn)實(shí)生活中并不是真實(shí)存在的（現(xiàn)實(shí)生活中你找不要一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結(jié)果。而這種想象又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必不可少的基礎(chǔ)能力。因此，在圖形教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是非常重要的。

以上兩點(diǎn)是從不同方面體現(xiàn)了“無限”的觀念，并不是真正意義上的“極限”，然而，培養(yǎng)學(xué)生的無限觀念是形成極限思想的基礎(chǔ)，離開無限談極限是沒有任何意義的。所以，不應(yīng)該因?yàn)椤盁o限≠極限”而忽視對(duì)無限性的教學(xué)。

層次二：幫助學(xué)生理解逼近。

“無限≠極限”的原因在于無限的結(jié)果可能是收斂的，也可能是發(fā)散的。由于小學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸感悟到什么是“無限地逼近”，為將來學(xué)習(xí)“收斂”這個(gè)數(shù)學(xué)中概念積累一些感性的認(rèn)識(shí)。因此，逐步理解“逼近”是形成極限思想的另一個(gè)重要方面。

受年齡特征的制約小學(xué)生對(duì)極限思想不會(huì)有深刻的理解，但這并不等于我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以淡化對(duì)極限思想的滲透，相反我們應(yīng)該抓住一切可以利用的契機(jī)加以滲透，為他們將來學(xué)習(xí)極限理論，提高抽象思維，奠定基礎(chǔ)。筆者認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中可以在以下幾方面加強(qiáng)對(duì)極限思想加以滲透（滲透點(diǎn)）。

在公式推倒過程中滲透極限思想。

【案例】“圓的面積”。

在教學(xué)“圓面積公式的推導(dǎo)”一課時(shí)，有的教師是這樣設(shè)計(jì)的。

師：我們過了一些圖形的面積計(jì)算公式，今天我們來研究圓的面積公式。你們有什么辦法嗎？

生：可以把圓轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的圖形。

師：怎么轉(zhuǎn)化？

生：分一分。

演示把圓平均分成了2分，把兩個(gè)半圓地拚起來，結(jié)果還是一個(gè)圓。

生：多分幾份試一試。

演示把一個(gè)圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拚成正方形。從平均分成4個(gè)、8個(gè)、到16個(gè)……

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近長(zhǎng)方形。

課件繼續(xù)演示把圓平均分成32個(gè)、64個(gè)……完全相同的小扇形。教師適時(shí)說“如果一直這樣分下去，拼出的結(jié)果會(huì)怎樣？

生：拼成的圖形就真的變成了長(zhǎng)方形，因?yàn)檫呍絹碓街绷恕?/span>

這個(gè)過程中從“分的份數(shù)越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長(zhǎng)方形”就是收斂的結(jié)果。學(xué)生經(jīng)歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的具大價(jià)值。

學(xué)生有了這個(gè)基礎(chǔ)，到將來學(xué)習(xí)圓柱體積公式的推導(dǎo)時(shí)就會(huì)很自然地聯(lián)想到這種辦法，從而再一次加以利用解決問題，在不斷的應(yīng)用中學(xué)生的極限思想會(huì)潛移默化地形成。

以上計(jì)算公式的推導(dǎo)過程，采用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。在通過有限想象無限，根據(jù)圖形分割拼合的變化趨勢(shì)，想象它們的最終結(jié)果。既使學(xué)生掌握了計(jì)算公式，又萌發(fā)了無限逼近的極限思想。

二、在形成新概念時(shí)滲透極限思想

【案例】“循環(huán)小數(shù)”。

循環(huán)小數(shù)一課是一節(jié)概念性很強(qiáng)的新課，多數(shù)教師在教學(xué)中非常重視學(xué)生的自主探究過程，重視對(duì)循環(huán)小數(shù)的相關(guān)概念的教學(xué)，但也大都忽視了一個(gè)問題，即極限思想的滲透。

我們可以在課上創(chuàng)設(shè)以下一個(gè)問題供學(xué)生討論：0.999……和1哪個(gè)大？

這個(gè)問題可以通過以下的方法加以解決：

設(shè)0.999……＝

10＝9.999……

10＝＋9

 9＝9

  ＝1

所以0.999……＝1

但這種方法對(duì)于還沒有學(xué)習(xí)方程知識(shí)的小學(xué)生來說有點(diǎn)難于理解。怎么辦呢？可以這樣幫助學(xué)生理解：

1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，……1-0.999……=？

這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生觀察：隨著小數(shù)部分9的個(gè)數(shù)的不斷增多，與1的差在逐漸的減少，而在0.999……中的小部分有無窮多個(gè)9，那么最終的差會(huì)是多少呢？這樣使學(xué)生認(rèn)識(shí)到差會(huì)越來越小，最終成為0。從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到0.999……=1。

事實(shí)證明這種辦法學(xué)生是可以理解和接受的，這種辦法的核心就是極限思想的體現(xiàn)。學(xué)生對(duì)這種辦法的理解過程正是對(duì)極限思想的感知過程。

學(xué)生對(duì)于新鮮事物是最感興趣的，如果我們能在新知識(shí)的教學(xué)中適時(shí)滲透極限思想，既可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣又有利于學(xué)生對(duì)極限思想的認(rèn)識(shí)，何樂而不為呢？

三、在數(shù)學(xué)練習(xí)中挖掘極限思想

一些老師的練習(xí)設(shè)計(jì)往往是側(cè)重于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，通過練習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，針對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的練習(xí)題相對(duì)較少。然而，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想的形成是靠不斷的積累、不斷的運(yùn)用來形成的，能夠自主運(yùn)用思想解決問題是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體體現(xiàn)，它應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。練習(xí)作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，也應(yīng)該承擔(dān)這方面的任務(wù)。因此，教師在練習(xí)題的設(shè)計(jì)時(shí)要注意極限思想的體現(xiàn)。

還記得在大學(xué)數(shù)學(xué)教材中有這樣一段話“《莊子·天下篇》引用過一句話：‘一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！?/span>^[2]，于是在五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)這一單元后，我把它改造成以下的一個(gè)題目：

《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭?！币簿褪钦f一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去。如果我們按照上述方法操作，第1天截去后剩下部分的長(zhǎng)度占原長(zhǎng)的，第2天截去后剩下的占全長(zhǎng)的，第3天截去后剩下的占全長(zhǎng)的，……，第10天截去后剩下的占全長(zhǎng)的，……，第n天截去后剩下的占全長(zhǎng)的，……如果我們這樣不斷地截下去，木棒所剩部分的長(zhǎng)度是（    ）。

這道題的過程性比較強(qiáng)，學(xué)生做過此題后可以根據(jù)答案所呈現(xiàn)出的規(guī)律性，感悟出木棒所剩部分的長(zhǎng)度會(huì)趨向于0。在解題的過程中可以體會(huì)到初步的極限思想，而且可以受到一定的傳統(tǒng)文化的熏陶，事實(shí)證明學(xué)生還是非常感興趣的。

又如在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加法后我們可以設(shè)計(jì)練習(xí)：。

學(xué)生多數(shù)是利用通分的方法統(tǒng)一分母后，按分?jǐn)?shù)加法的法則進(jìn)行計(jì)算的。但如果此題只使用到這個(gè)程度還是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。

方法二：我們發(fā)現(xiàn)在這個(gè)算式中，任意相鄰的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，后一個(gè)分?jǐn)?shù)總是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半。

如果設(shè)S=，那么2S=,我們用2S－S得：

S=（）－（）=1－=，問題得以解決。這個(gè)辦法的核心是相互抵消的思想，且具有濃烈的代數(shù)的味道，對(duì)于從算術(shù)到代數(shù)的過渡也很有意義。

方法三：先畫一個(gè)大正方形，它的面積是1，如圖所示，

從圖中可以直觀地看出：。

在此基礎(chǔ)上可以把問題進(jìn)一步變化為：

？

可以用數(shù)形結(jié)合的方法，從圖中直觀地看出隨著加數(shù)的不斷增加，空白部分的面積逐漸擴(kuò)大，并且越來越接近正方形的面積即不斷地逼近1，當(dāng)有無限多項(xiàng)相加時(shí)其結(jié)果為1。

通過多種辦法解決這個(gè)題目的動(dòng)態(tài)過程中學(xué)生在收獲知識(shí)的同時(shí)，極限思想、數(shù)形結(jié)合的思想、相互抵消的策略等數(shù)學(xué)思想又為學(xué)生解題方法的創(chuàng)新提供了可能，培養(yǎng)了思維的靈活性?？傊?，練習(xí)的設(shè)計(jì)不能僅僅著眼于一個(gè)問題的解決，而是關(guān)注學(xué)生在解決這個(gè)問題中自主領(lǐng)悟到的數(shù)學(xué)知識(shí)及思想方法，更關(guān)注在解決問題中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。

四、在數(shù)學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)中挖掘極限思想

復(fù)習(xí)課就是把平時(shí)相對(duì)獨(dú)立地進(jìn)行教學(xué)的知識(shí),，特別是其中帶有規(guī)律性的知識(shí)，以再現(xiàn)、整理、歸納等辦法串起來，進(jìn)而加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、溝通，并使之條理化、系統(tǒng)化。^[3]筆者聽過一些六年級(jí)“平面圖形的整理與復(fù)習(xí)”的課，這些課的目的在于能對(duì)學(xué)生所學(xué)過的長(zhǎng)方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形、圓的面積公式做出整理。

從實(shí)際的教學(xué)情況看，參與這一教學(xué)活動(dòng)的學(xué)生應(yīng)當(dāng)說都已較好地掌握了相關(guān)的知識(shí)，從而大多能梳理出如下的邏輯線索：

但在這些課中普遍存在的問題是：學(xué)生的活動(dòng)主要是一種回憶的工作，是相關(guān)公式的推導(dǎo)過程的再現(xiàn)，即使注意到了這些公式間的聯(lián)系，而這種聯(lián)系在此也主要表現(xiàn)為線性的、單向的邏輯關(guān)系。然而，從教學(xué)的角度看，我們除了要重視知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)還要重視學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而認(rèn)知結(jié)構(gòu)與上述邏輯結(jié)構(gòu)所具有的線性和單向性不同，認(rèn)知結(jié)構(gòu)不僅具有雙向性，還主要地表現(xiàn)在一種網(wǎng)狀的結(jié)構(gòu)。教學(xué)工作的主要目標(biāo)并非是使學(xué)生建立起關(guān)于相應(yīng)邏輯結(jié)構(gòu)的牢固記憶，而是應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生形成適當(dāng)?shù)恼J(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。^[4]因此，對(duì)于上述復(fù)習(xí)課而言筆者以為，除去以長(zhǎng)方形為核心這一“標(biāo)準(zhǔn)”做法以外，我們也完全可以以梯形的面積公式為核心，將其他各個(gè)圖形聯(lián)系起來。實(shí)現(xiàn)兩種方法的“互補(bǔ)”幫助學(xué)生建立更為豐富和合理的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)。

而以梯形為核心進(jìn)行梳理的主要手段可以借助極限的思想將公式進(jìn)行聯(lián)絡(luò)。利用極限思想得到三角形的面積計(jì)算公式，方法是讓梯形的上底趨于0，梯形即趨于三角形，梯形的面積計(jì)算公式當(dāng)上底趨于0時(shí)的極限就是三角形的面積計(jì)算公式 。我們甚至可以把長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形面積計(jì)算公式都看成是梯形面積計(jì)算公式的極限形式。 于是可以構(gòu)建出下面的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。

翻開數(shù)學(xué)的史話我們發(fā)現(xiàn)，無論是在最初的算術(shù)、代數(shù)還是初等幾何中，常量數(shù)學(xué)都是描述確定、靜態(tài)現(xiàn)實(shí)的有利工具。而無限問題的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)表述，是由變量數(shù)學(xué)的發(fā)展來實(shí)現(xiàn)的。常量數(shù)學(xué)向變量數(shù)學(xué)的發(fā)展，無限概念的數(shù)學(xué)表述，這一切對(duì)數(shù)學(xué)、自然科學(xué)以至對(duì)人類社會(huì)的進(jìn)步有著重大的意義。^[5]這種由常量向變量、由有限觀念到無限觀念的轉(zhuǎn)變中無不體現(xiàn)著極限的數(shù)學(xué)思想，極限的思想方法是人們從有限中認(rèn)識(shí)無限，從近似中認(rèn)識(shí)精確，從量變中認(rèn)識(shí)質(zhì)變的一種數(shù)學(xué)思想方法，它是事物轉(zhuǎn)化的重要環(huán)節(jié)，這種思想也必將能為我們的小學(xué)數(shù)學(xué)教育發(fā)揮重要的作用。因此，教師們要在平日教學(xué)中積極挖掘體現(xiàn)極限思想的知識(shí)點(diǎn)，將極限思想很好地滲透于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之中。

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[1]曹才翰、章建躍，數(shù)學(xué)教育心理學(xué)，北京師范大學(xué)出版社，2006年， 191。

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[5]王憲昌，數(shù)學(xué)思維方法，人民教育出版社，2004年，73。

作者簡(jiǎn)介：

高澤新，男，生于1967年，于1987年參加工作，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作16年，擔(dān)任教研員工作4年。有著較為扎實(shí)的教學(xué)基本功和教育、教學(xué)研究及指導(dǎo)能力?，F(xiàn)為北京市東城區(qū)教師研修中心小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)教研員、東城區(qū)區(qū)級(jí)骨干教師、中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克一級(jí)教練員。曾榮獲第九屆全國(guó)“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽優(yōu)秀教練員獎(jiǎng)。多次指導(dǎo)我區(qū)教師在全國(guó)、市區(qū)級(jí)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)比賽中獲獎(jiǎng)。多篇論文獲全國(guó)、市區(qū)論文評(píng)選一等獎(jiǎng)。