前文見《數(shù)的創(chuàng)生（一）方程的解》《數(shù)的創(chuàng)生（二）賦值完備化》。

這一節(jié)，從中國剩余定理講起。

《孫子算經(jīng)》之“物不知數(shù)”是這樣說的：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？

元代秦九韶的解答則是：三人同行七十稀，五樹梅花廿一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。

這歌訣隱含一種算法。 本文就以此為引子陳述一種新的“數(shù)”——有限域的元素。

固定一個(gè)正整數(shù) 6. 通過對(duì)它做除法，可以把所有整數(shù)分成 6 類：

被6 整除的數(shù) {...-12,-6,0,6,12,18,...}、 除6余1的數(shù) {...,-11,-5,1,7,13,19,...}、除6余2的數(shù){...,-10,-4,2,8,14,20,...}、...、 除6余5的數(shù){...,-13,-7,-1,5,11,17,...}。

倘若將這6個(gè)類分別記為 [0],[1],[2],[3],[4],[5], 稱為 “模6的同余類”。 這些類之間可以進(jìn)行運(yùn)算：比如，從 [4] 里取一個(gè)數(shù) 10，再從 [5] 里取一個(gè)數(shù) 17，把它們相加，10+17=27，它落在類 [3] 里，這樣，我們定義 [4]+[5]=[3]。如果在 [4],[5] 兩個(gè)類 里取另外的代表，比如取 [4]里的-2, [5]里的 11, 相加得 -2+11=9, 還是落在 [3] 里。很容易證明，無論怎么選這兩個(gè)代表，加起來都落在 [3] 里。所以我們現(xiàn)在定義的 [4]+[5]=[3] 這種運(yùn)算是合理的。

同樣的實(shí)驗(yàn)表明，減法和乘法也可以類似地定義：比如，[1]-[2]=[5], [2]× [3]=[0]. 這說明模6的同余類之間是可以做運(yùn)算的！

不止如此，這些運(yùn)算還具有跟普通運(yùn)算相似的性質(zhì)：
比如，[0]+[3]=[3], [0]+[4]=[4]，零的同余類在加法中沒有效果；
[0]× [1]=[0], [0]× [3]=[0]，零的同余類乘上別的同余類都得 [0]；
[1]×[2]=[2]; [1]×[3]=[3], 表明 1 的同余類在乘法中沒有效果（換句話說，[1]是乘法的單位元）。

有了乘法單位元，就可以試圖定義“倒數(shù)”（嚴(yán)格地說，“倒類”）：
比如，[5] ×[5]=[1], 就定義 [5]^-1=[5].

可惜，不是 每個(gè)同余類都有 “倒數(shù)”，[2] 就沒有倒數(shù)，這是因?yàn)?[2]×[0]=[0], [2]×[1]=[2], [2]×[3]=[0], [2] × [4]=[2], [2]×[5]=[4], 都不等于 [1].

哪些同余類有倒數(shù)呢？答案是：那些與模數(shù)互素的同余類有倒數(shù)。比如，模數(shù)為6的時(shí)候，[1] 和 [5] 有倒數(shù)，因?yàn)樗鼈兣c 6 互素。 （互素的意思是，最大公約數(shù)為 1。在這種情況下可以應(yīng)用歐幾里得的《幾何原本》中記載的 “輾轉(zhuǎn)相除法” 來求同余類的倒數(shù)。）

顯然，同余類的性質(zhì)跟模數(shù)有關(guān)。前面舉的例子都是以6為模數(shù)，即考慮除6的同余類。嚴(yán)格的記號(hào)必須將這個(gè)關(guān)聯(lián)反映出來。 我們應(yīng)該記上述例子中的同余類為 [4]₆, 括號(hào)中是余數(shù)，下標(biāo)是模數(shù)（除數(shù)）。

現(xiàn)在來嘗試研究一下《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”問題。3，5，7的最小公倍數(shù)是105. 如果找到一個(gè)解 x, 則 x+105 還是一個(gè)解，因?yàn)樗鼈冊(cè)诔?3, 5, 7 時(shí)“同余”，如果 x 滿足 “物不知數(shù)” 的條件，x+105 也必然滿足。用這篇文章里介紹的數(shù)學(xué)語言，我們說 “物不知數(shù)” 問題的解是一個(gè) “模數(shù)為105的同余類”。 現(xiàn)在我們只需要求得此同余類中任何一個(gè)數(shù)即可。

我們把 “物不知數(shù)” 的條件列出：[x]₃ = [2]₃, [x]₅ = [3]₅, [x]₇= [2]₇.

求解的辦法實(shí)際上是 “拆分”。也就是說，我們先來求三個(gè)數(shù) a, b, c, 分別滿足較簡單的條件：
[a]₃ = [1]₃, [a]₅ = [0]₅, [a]₇ = [0]₇.
[b]₃ = [0]₃, [b]₅ = [1]₅, [b]₇ = [0]₇
[c]₃ = [0]₃, [c]₅ = [0]₅, [c]₇ = [1]₇

如果能簡單地求得這三個(gè)數(shù) a, b, c, 那么我們?nèi)菀卓吹?，x = 2a+3b+2c 即為原 ”物不知數(shù)“ 問題的一個(gè)解。這是因?yàn)槲覀儎倓偨榻B過的同余類四則運(yùn)算律。驗(yàn)證如下：
[x]₃ = [2a+3b+2c]₃ = 2 [a]₃ + 3 [b]₃ + 2 [c]₃ = 2 [1]₃ = [2]₃,
[x]₅ = [2a+3b+2c]₅ = 2 [a]₅ + 3 [b]₅ + 2 [c]₅ = 3 [1]₅ = [3]₅,
[x]₇ = [2a+3b+2c]₇ = 2 [a]₇ + 3 [b]₇ + 2 [c]₇ = 2 [1]₇ = [2]₇,

那么，問題就歸結(jié)為求解 a, b, c 三個(gè)數(shù). 先看 a. 它滿足的條件是，同時(shí)被 5, 7 整除，被 3 除余 1。 由于 5, 7 互素，所以 a 必須被 5 × 7 = 35 整除。很容易找到 35 的倍數(shù)中被 3 除余 1 的數(shù)：a=70. 這個(gè)求 a 的過程就是秦九韶的所謂 “三人同行七十稀”。

同理可得 b=21, 即秦九韶所謂 “五樹梅花廿一支”，以及 c=15, “七子團(tuán)圓正半月”。所以我們得到了 “物不知數(shù)” 問題的一個(gè)解：
2a+3b+2c = 2 × 70+3 × 21 + 2 × 15 = 233.

之前已經(jīng)提到，加上或者減去 3, 5, 7 的公倍數(shù) 105，仍然還是一個(gè)解。所以我們得到絕對(duì)值最小的解：233-105 × 2 = 23. 此即 “ 除百零五便得知”。

可以看到，解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，其一在于“拆分”，其二在于求最簡單形式的同余方程組的解。而此問題的解的存在性和唯一性，都是由這最簡單形式的同余方程組決定的。我們可以仔細(xì)地來審視一下求得 a 的過程。其實(shí)這個(gè)過程中更關(guān)鍵的未知數(shù)是一個(gè)乘數(shù) w, 滿足 [5 × 7 × w]₃= [1]₃. 一旦求得這個(gè) w, 則 a = 5 × 7 × w. 前面已經(jīng)提到過，這個(gè)方程表明， w 應(yīng)該是 5 × 7 的同余類倒數(shù)（以3為模數(shù)）。而這個(gè)倒數(shù)存在當(dāng)且僅當(dāng) 5 × 7 與 3 互素。當(dāng)然，在這個(gè)例子里，5 × 7 的確與 3 互素。普遍而言，這個(gè)條件則是此類問題存在唯一解的充分必要條件。

總而言之，秦九韶實(shí)際上證明了：“物不知數(shù)” 問題存在唯一解當(dāng)且僅當(dāng)該問題所涉及的所有模數(shù)兩兩互素。

秦九韶對(duì)這個(gè)問題的解答被稱為 “中國剩余定理”，它是很罕有的被世界數(shù)學(xué)界公認(rèn)由中國人最早給出完整證明的數(shù)學(xué)定理。它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有極其重要的推廣，其普遍形式是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石之一。

回到正題。這一節(jié)介紹的是有限域。首先回憶一下，“域” 就是一些互相能做加減乘除四則運(yùn)算的東西放在一起的一個(gè)集合。我們?cè)谇懊娴钠吕锝榻B過有理數(shù)域、代數(shù)數(shù)域、實(shí)數(shù)域、p-adic 數(shù)域。它們都包含無限個(gè)元素。而在這一篇里，我們已經(jīng)看到了有限域的例子：比如模5同余類組成的集合，{ [0], [1], [2], [3], [4] }, 記為 F₅。

這些元素之間可以做加、減、乘運(yùn)算，其過程無非是先把它們當(dāng)作整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果模5。除法就沒有這么直接，因?yàn)槠胀ㄕ麛?shù)除法的結(jié)果不一定是整數(shù)，模5這種操作可能沒有意義。不過我們知道除以一個(gè)數(shù)等價(jià)于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，而當(dāng)模數(shù)為素?cái)?shù)的時(shí)候，非零同余類的倒數(shù)總是存在的。所以在 F₅ 里面我們也可以自由地做除法。

顯然，對(duì)每一個(gè)素?cái)?shù) p, 我們就有一個(gè)有限域 F_p. 其它的有限域都是什么樣子呢？數(shù)學(xué)論證表明，任何一個(gè)有限域，它的元素個(gè)數(shù)必定是某個(gè)素?cái)?shù)的冪，pⁿ, 而它的元素都滿足多項(xiàng)式方程

x^pn -x = 0.

實(shí)際上，正如有理數(shù)域通過添加多項(xiàng)式方程的解得到更大的數(shù)域，F(xiàn)_p 添加以上方程的所有解就得到元素個(gè)數(shù)為 pⁿ 的有限域。不過，對(duì)于不熟悉抽象數(shù)學(xué)語言的讀者，有限域跟其它我們提到的數(shù)域有一個(gè)重要差別：有限域的元素一般不存在直觀的表示。而其它數(shù)域的元素一般會(huì)有比較直觀的表示方法，比如，代數(shù)數(shù)一般可以表示為復(fù)數(shù)a+bi, 實(shí)數(shù)可以表示為小數(shù)，p-adic 數(shù)可以表示為大數(shù)，等等。所以，其實(shí)我們應(yīng)該承認(rèn)：余數(shù)非數(shù)。

由于有限域的元素個(gè)數(shù)有限，以它們?yōu)橄禂?shù)的“向量空間” 就成為有限的對(duì)象，同時(shí)又具有普通向量空間所具有的豐富結(jié)構(gòu)，很多科學(xué)工程領(lǐng)域應(yīng)用有限域上的向量空間幫助建立數(shù)學(xué)模型。比如，有限域在密碼學(xué)和編碼學(xué)中發(fā)揮著極其重要的作用。

純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，對(duì)有限域上代數(shù)方程組的研究引導(dǎo)數(shù)學(xué)家韋伊在 1949 年提出一系列猜想，試圖將數(shù)論問題與幾何（拓?fù)洌└拍钭黝惐取? 為了解決韋伊猜想，格羅登迪克發(fā)展出了一整套新概念、新方法、新體系，形成了“現(xiàn)代代數(shù)幾何”。發(fā)展至今，這一“發(fā)源于”有限域的新體系已經(jīng)全面改變了整個(gè)數(shù)學(xué)的觀念和語言。

下一節(jié)我們將把眼光轉(zhuǎn)向另一個(gè)創(chuàng)生新數(shù)的領(lǐng)域 ── 數(shù)學(xué)物理，接觸一些似數(shù)非數(shù)，遵循另類運(yùn)算規(guī)則的數(shù)學(xué)對(duì)象。首先出場的將是聽上去很像從中國傳統(tǒng)文化中走下來的“四元數(shù)”。