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唯一解法
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前言
數(shù)獨這個數(shù)字解謎游戲，完全不必要用到算術(shù)！會用到的只是推理與邏輯。剛開始接觸數(shù)獨時，即使是只 須用到"唯一解"技巧的簡易級謎題，就已可讓我們焦頭爛額了，但是隨著我們深陷數(shù)獨的迷人世界之后，這 類簡易級的數(shù)獨謎題必定在短時間內(nèi)難再使我們獲得征服的滿足。于是，當(dāng)我們逐步深入、進階到更難的游 戲后，我們將會需要發(fā)展齦?多的解謎技巧。雖然最好的技巧便是我們自己發(fā)現(xiàn)的竅門，這樣我們很容易??能記住它們，運用自如，不需要別人來耳提面命。但是如果完全不去觀摩學(xué)習(xí)他人發(fā)展出來的技巧，而全靠 自己摸索，那將是一個非常堅苦的挑戰(zhàn)，也不是正確的學(xué)習(xí)之道！所以讓我們一齊來探討數(shù)獨的解謎方法吧！
數(shù)獨的解謎技巧，剛開始發(fā)展時，以直觀式的唯一解及摒除法為主，對于初入門的玩家來說，這也是一般人 較容易理解、接受的方法，對于一般簡易級或中級的數(shù)獨謎題，如果能靈活運用此二法則，通常已游刃有余。
唯一解詳說
當(dāng)數(shù)獨謎題中的某一個宮格因為所處的列、行或九宮格已出現(xiàn)過的數(shù)字已達 8 個，那么這個宮格所能填入 的數(shù)字就剩下這個還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了。 
<圖 1> (9, 8)出現(xiàn)唯一解了
<圖 1>是最明顯的唯一解出現(xiàn)時機，請看第 8 行，由 (1,8) ～(8,8) 都已填入數(shù)字了，只剩(9,8)還是 空白，此時(9,8)中應(yīng)填入的數(shù)字，當(dāng)然就是第 8 行中還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了！請一個個數(shù)字核對一下， 哦！是數(shù)字 8 還沒出現(xiàn)過，所以(9,8) 中該填入的數(shù)字就是數(shù)字 8 了。
<圖 2> (8, 9)出現(xiàn)唯一解了
<圖 2>是另一個明顯出現(xiàn)唯一解的情形，請看第 8 列，由 (8,1) ～(8,8) 都已填入數(shù)字了，只剩(8,9)還是 空白，此時(8, 9)中應(yīng)填入的數(shù)字，當(dāng)然就是第 8 列中還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了！請一個個數(shù)字核對一下， 哦！是數(shù)字 9 還沒出現(xiàn)過，所以(8, 9) 中該填入的數(shù)字就是數(shù)字 9 了。 
<圖 3> (7, 5)出現(xiàn)唯一解了
<圖 3>是另一種明顯出現(xiàn)唯一解的情形，請看下中九宮格，在這個九宮格中除了(7, 5)還是空白外，其他宮格 都已填有數(shù)字了，所以(7, 5)中應(yīng)填入的數(shù)字，當(dāng)然就是下中九宮格中還沒出現(xiàn)過的數(shù)字了！請一個個數(shù)字核對一下， 哦！是數(shù)字 1 還沒出現(xiàn)過，所以(7, 5) 中該填入的數(shù)字就是數(shù)字 1 了。 
<圖 4> 一般情形下的唯一解
類似 <圖 1>～<圖 3>這種明顯出現(xiàn)唯一解的情形，在一般情形之下及解題初期是不太可能出現(xiàn)的！ <圖 4>是一個最典型的簡易級數(shù)獨謎題，如果單純觀察某一個行、列或九宮格，沒有一處是已出現(xiàn) 8 個數(shù)字的， 難道如此就無解了嗎？非也！非也！在此圖中，出現(xiàn)唯一解的宮格其實有 3 處之多！你能找出來嗎？
沒錯，在一般情形之下及解題初期，唯一解的尋找必須綜合所處的行、列及九宮格三者，同時過濾篩選出已出現(xiàn) 的數(shù)字才行！如果漏掉其一，可能就無法找出唯一解的出現(xiàn)位置了。現(xiàn)在且不忙著填入數(shù)字，先來找找看<圖 4>中 目前已出現(xiàn)的唯一解在哪兒吧：
第一個唯一解位置在(2, 3)：(2, 3) 所處的第 2 列中已出現(xiàn)的數(shù)字是：9、3、5、7。所處的第 3 行中 已出現(xiàn)的數(shù)字是：4、2、6、8。至于所處的上左九宮格中，已出現(xiàn)的數(shù)字是：2、9、4。所以綜合而言， 受其所處位置的行、列及九宮格影響，不得再使用并填入(2, 3) 的數(shù)字計有：2、3、4、5、6、7、8、9。 能用來填入的數(shù)字確實只剩數(shù)字 1 這個唯一的解了。
第二個唯一解位置在(8, 7)：(8, 7) 所處的第 8 列中已出現(xiàn)的數(shù)字是：1、2、8、6。所處的第 7 行中 已出現(xiàn)的數(shù)字是：3、9、5、4。至于所處的下右九宮格中，已出現(xiàn)的數(shù)字是：4、6、5。所以綜合而言， 受其所處位置的行、列及九宮格影響，不得再使用并填入(8, 7) 的數(shù)字計有：1、2、3、4、5、6、8、9。 能用來填入的數(shù)字確實只剩數(shù)字 7 這個唯一的解了。
第三個唯一解位置在(5, 5)：(5, 5) 所處的第 5 列中已出現(xiàn)的數(shù)字是：1、7。所處的第 5 行中 已出現(xiàn)的數(shù)字是：2、5。至于所處的中央九宮格中，已出現(xiàn)的數(shù)字是：3、6、8、9。所以綜合而言， 受其所處位置的行、列及九宮格影響，不得再使用并填入(5, 5) 的數(shù)字計有：1、2、3、5、6、7、8、9。 能用來填入的數(shù)字確實只剩數(shù)字 4 這個唯一的解了。
以上所謂的三個唯一解位置，是以<圖 4>現(xiàn)況未填入任何數(shù)字之前而言，如果開始填入數(shù)字，出現(xiàn)唯一解的位置 可能將隨之增加。例：當(dāng)(8, 7) 填入數(shù)字 7 之后，(7, 7)將出現(xiàn)唯一解 1；如果再將數(shù)字 1 填入(7, 7)， 在(7, 8)又將出現(xiàn)唯一解 3；......如此不斷循環(huán)下去，就可以將整個謎題解出了。
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唯一候選數(shù)法
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概說
依照候選數(shù)法概說一文中，候選數(shù)表的制作規(guī)則，我們可以知道：可以填入某一 個宮格的數(shù)字，一定會列于該宮格的候選數(shù)中；不在候選數(shù)中的數(shù)字，就不能填入該宮格中。
所以如果在候選數(shù)表中發(fā)現(xiàn)某一個宮格的候選數(shù)僅有 1 個數(shù)字，那就是表示：不必再考慮了！這個宮格就是 只能填入這個數(shù)字啦！如果填入別的數(shù)字，就會違反數(shù)獨的填制規(guī)則的。
利用“找出候選數(shù)表中，候選數(shù)僅有 1 個數(shù)字的宮格來，并填入該候選數(shù)”的方法就叫做唯一候選數(shù)法(Singles Candidature, sole Candidate)。
唯一候選數(shù)法示例 
<圖 1>數(shù)獨謎題的候選數(shù)表
<圖 1> 是我們在候選數(shù)法概說一文中完成的候選數(shù)表，其中有好幾個宮格的候選數(shù) 都只有 1 個，所以可以利用唯一候選數(shù)法來進行填制。先還不要填入數(shù)字，我們先來找找看，有哪些宮格有 唯一候選數(shù)？
在 (2, 7) 有唯一候選數(shù) 7。
在 (5, 5) 有唯一候選數(shù) 5。
在 (8, 3) 有唯一候選數(shù) 3。
哇！同時出現(xiàn)了 3 個唯一候選數(shù)??！那么，先填入哪一個會不會影響填制結(jié)果呢？當(dāng)然不會了， 只要你高興，喜歡先填哪一個都沒問題的。
好，就在這 3 個宮格中填入他們的唯一候選數(shù)吧，填制結(jié)果如<圖 2>： 
<圖 2>
哇！又有唯一候選數(shù)出現(xiàn)了呢！沒錯，一般簡易級的數(shù)獨謎題，如果使用直觀式的 唯一解法及摒除法來解題，即使是數(shù)獨老手，也要花費相當(dāng)?shù)墓し虿拍芡瓿桑?但是如果采用唯一候選數(shù)法，從候選數(shù)表制作完成開始，唯一候選數(shù)將一個一個接連不斷的出現(xiàn)，輕輕松松的 就可以完成解題啦！<圖 3> 是 <圖 1> 的完成解。 
<圖 3>完成解 |
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隱性三鏈數(shù)刪減法
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概說
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，就是各種刪減法上場的時機了。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。本頁介紹的例子當(dāng)然可用其他刪減法完成解題，但還是要以隱性三鏈數(shù)刪減法優(yōu)先??！
<圖 1>
請看<圖 1>的第 2 列，數(shù)字 1、7、8 只出現(xiàn)在(2, 1)、(2, 7)和(2, 8)這三個宮格的候選數(shù)中；這時 隱性三鏈數(shù)刪減法的條件已成立了！這表示第 2 列的數(shù)字 1、7 和 8 將只能填到這三個宮格中，因為： 如果讓別的數(shù)字填入這三個宮格之中后，這三個相異的數(shù)字能填入的可能宮格就只剩下兩個，而那是 不可能的事！所以若這三個宮格的候選數(shù)中還有其他數(shù)字，全部是多余無用的，它們已不可能再用來 填入這些宮格中了，所以可以毫不考慮的把它們刪減掉。于是(2, 7)和(2, 8)這兩個宮格候選數(shù)中的 6 都可被安全的刪減掉；其中(2, 7)的候選數(shù)少了數(shù)字 6，將使得(8, 7)出現(xiàn)行隱性唯一候選數(shù) 6 ，于是 可用隱性唯一候選數(shù)法來填入下一個解了。
整理一下：
- 當(dāng)某 3 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某列的某三個宮格候選數(shù)中時，就可以把這三個宮格的候選數(shù)刪減成該 3 個數(shù)字。
- 同理，當(dāng)某 3 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某行的某三個宮格候選數(shù)中時，就可以把這三個宮格的候選數(shù)刪減成該 3 個數(shù)字。
- 當(dāng)然，當(dāng)某 3 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某個九宮格的某三個宮格候選數(shù)中時，就可以把這三個宮格的候選數(shù)刪減成該 3 個數(shù)字。
利用“找出某 3 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某行、某列或某一個九宮格的某三個宮格候選數(shù)中的情形，進而將這三個 宮格的候選數(shù)刪減成該 3 個數(shù)字”的方法就叫做隱性三鏈數(shù)刪減法(Hidden Triples)。
本法其實為隱性數(shù)對刪除法的推廣，而且還可以繼續(xù)加以推廣：
- 隱性四鏈數(shù)刪減法就是：“找出某 4 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某行、某列或某一個九宮格的某四個宮格候選數(shù)中 的情形，進而將這四個宮格的候選數(shù)刪減成該 4 個數(shù)字”的方法。
- 隱性五鏈數(shù)刪減法就是：“找出某 5 個數(shù)字僅出現(xiàn)在某行、某列或某一個九宮格的某五個宮格候選數(shù)中 的情形，進而將這五個宮格的候選數(shù)刪減成該 5 個數(shù)字”的方法。
- ......
如果愿意的話，你確實是可以這樣推廣的，只是，實用上是否有其應(yīng)用的價值或空間呢？
隱性三鏈數(shù)刪減法示例
隱性三鏈數(shù)刪減法一共有 3 種狀況：第一種發(fā)生在行、第二種是發(fā)生在列、第三種則發(fā)生在九宮格。<圖 1> 就是 發(fā)生在列的例子了，其他的情況舉例如下：
<圖 2>
<圖 2> 是隱性三鏈數(shù)刪減發(fā)生在行的例子：圖中第 4 行的數(shù)字 2、4、9 只出現(xiàn)在 (4, 4)、(5, 4)及(6, 4) 這三個宮格的候選數(shù)中，所以可以將三個宮格候選數(shù)中 2、4、9 以外的數(shù)字安全的刪減掉，(4, 4)的候選數(shù)刪減成2、4； (5, 4)的候選數(shù)刪減成2、4、9；(6, 4)的候選數(shù)刪減成 9；出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！
<圖 3>
<圖 3> 是隱性三鏈數(shù)刪減發(fā)生在九宮格的例子：圖中中央九宮格的數(shù)字 2、5、9 只出現(xiàn)在 (5, 4)、(5, 6)及(6, 4) 這三個宮格的候選數(shù)中，所以可以將三個宮格候選數(shù)中 2、5、9 以外的數(shù)字安全的刪減掉， (5, 4)的候選數(shù)刪減成2、5、9；(5, 6)的候選數(shù)刪減成2、5；(6, 4)的候選數(shù)刪減成 9；出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！
<圖 4>
像 <圖 1>～<圖 3> 這樣只經(jīng)一次刪減就出現(xiàn)下一個解的情況當(dāng)然不錯了，但有時可沒法這樣順心， <圖 4> 就是一個例子。下一個解將出現(xiàn)在(5, 6) 這個宮格，你能找出該填入什么數(shù)字嗎？
以目前所學(xué)到的方法，要解出下一個解，需要二個步驟：
- 先看中左九宮格吧！由于只剩(5, 1)～(5, 3)這個區(qū)塊尚未填入數(shù)字，所以可用區(qū)塊刪減法將 第 5 列其他區(qū)塊候選數(shù)中的 1、3、4 全部刪減掉，但實際上僅能刪到(5, 4)及(5, 6)候選數(shù)的數(shù)字 4 而已。
- 接下來請觀察第 6 行！ 由于數(shù)字 1、4、9 只出現(xiàn)在 (2, 6)、(8, 6)及(9, 6) 這三個宮格的候選數(shù)中 [因為(5, 6)的候選數(shù)在上一步驟中已被刪減為5、8 了 ]， 所以可用隱性三鏈數(shù)刪減將三個宮格候選數(shù)中 1、4、9 以外的數(shù)字安全的刪減掉， (2, 6)的候選數(shù)刪減成1、4、9；(9, 6)的候選數(shù)沒變；(8, 6)的候選數(shù)則由 2、4、5、8、9 刪減成 4、9； 由于 5 被刪減掉了，使得(5, 6) 出現(xiàn)了行隱性唯一候選數(shù)5啦！
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隱性數(shù)對刪減法
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概說
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，就是各種刪減法上場的時機了。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。本頁介紹的當(dāng)然就要以隱性數(shù)對刪減法優(yōu)先??！
<圖 1>
請看<圖 1>的上右九宮格，數(shù)字 8、9 都只出現(xiàn)在(2, 8)和(2, 9)這兩個宮格的候選數(shù)中；這時隱性數(shù)對刪減法 的條件已成立了！這表示上右九宮格的數(shù)字 8 和 9 將只能填到這兩個宮格中，而且：如果數(shù)字 8 將填入(2, 8)， 那么(2, 9)就一定要填入數(shù)字 9；反之，如果數(shù)字 9 將填入(2, 8)，那么(2, 9)就一定要填入數(shù)字 8； 不論哪一個狀況出現(xiàn)，(2, 8)和(2, 9)這兩個宮格的候選數(shù)中若還有其他數(shù)字，全部是多余無用的，因為這 兩個宮格若填入數(shù)字 8、9 以外的數(shù)字，那么上右九宮格的數(shù)字 8 或 9 就將無處可填了。候選數(shù)的意義是 可能填入該宮格的數(shù)字，而這兩個數(shù)字以外的數(shù)字已不可能再用來填入本宮格中了，所以可以毫不考慮的把 它們刪減掉。當(dāng)(2, 8)和(2, 9)這兩個宮格的候選數(shù)都安全的刪減成數(shù)字 8、9 之后，(2, 5)出現(xiàn)了列隱性 唯一候選數(shù) 2 ，于是可用隱性唯一候選數(shù)法來填入下一個解了。
整理一下：
當(dāng)某個數(shù)對僅出現(xiàn)在某個九宮格的某兩個宮格候選數(shù)中時，就可以把這兩個宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對。
同理，當(dāng)某個數(shù)對僅出現(xiàn)在某列的某兩個宮格候選數(shù)中時，就可以把這兩個宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對。
當(dāng)然，當(dāng)某個數(shù)對僅出現(xiàn)在某行的某兩個宮格候選數(shù)中時，就可以把這兩個宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對。
利用“找出某個數(shù)對僅出現(xiàn)在某行、某列或某一個九宮格的某兩個宮格候選數(shù)中的情形，進而將這兩個 宮格的候選數(shù)刪減成該數(shù)對”的方法就叫做隱性數(shù)對刪減法(Hidden Pairs)。
當(dāng)隱性數(shù)對刪減法完成后，通常還可引發(fā)數(shù)對刪減法；以<圖 1>為例，當(dāng)(2, 8)和(2, 9)這兩個宮格的候選數(shù) 都安全的刪減成數(shù)字 8、9 之后，還可利用數(shù)對刪減法把 (2, 1)、(2, 2)、(2, 3) 這三個c格候選數(shù)中的數(shù)字 8 刪減掉。
隱性數(shù)對刪減法示例
隱性數(shù)對刪減法一共有 3 種狀況：第一種發(fā)生在行、第二種是發(fā)生在列、第三種則發(fā)生在九宮格。<圖 1> 就是 發(fā)生在九宮格的例子了，其他的情況舉例如下：
<圖 2>
<圖 2> 是隱性數(shù)對刪減發(fā)生在行的例子：圖中第 2 行的數(shù)對 4、6 只出現(xiàn)在 (3, 2)及(9, 2) 這兩個宮格 的候選數(shù)中，所以可以將(3, 2)及(9, 2)的候選數(shù)安全的刪減成數(shù)對 4、6；而經(jīng)此一刪，(3, 3) 宮格出現(xiàn) 了列隱性唯一候選數(shù) 1 啦！
<圖 3>
<圖 3> 是隱性數(shù)對刪減發(fā)生在列的例子：圖中第 7 列的數(shù)對 4、7 只出現(xiàn)在 (7, 1)及(7, 8) 這兩個宮格 的候選數(shù)中，所以可以將(7, 1)及(7, 8)的候選數(shù)安全的刪減成數(shù)對 4、7；而經(jīng)此一刪，(8, 1) 宮格出現(xiàn) 了行隱性唯一候選數(shù) 2 啦！ |
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三鏈列刪減法
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概說
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，就是各種刪減法上場的時機了。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。本頁介紹的例子當(dāng)然可用其他刪減法完成解題，且本刪減法成立的條件 和其他方法相比稍嫌繁雜，但為了介紹，在進行解題時還是要以三鏈列刪減法優(yōu)先??！
<圖 1>
請看<圖 1>第 1、4、6 列的數(shù)字 5 ，都只出現(xiàn)在第 1、5、8 行的宮格候選數(shù)中；這時 三鏈列刪減法的條件已成立了！這表示第 1 行、第 5 行及第 8 行的數(shù)字 5 將只能被填到第 1 、4、6 列了，因為：第 1 列的數(shù)字 5 只出現(xiàn)在(1, 1)及(1, 8)，所以數(shù)字 5 只能填到這兩個宮格；
- 先假設(shè)第 1 列的數(shù)字 5 將被填到(1, 1)，第 1 行就不能再填數(shù)字 5 了，所以第 4 列 的數(shù)字 5 只好填到(4, 5)，第 6 列的數(shù)字 5 只好填到(6, 8)；
- 另外，假設(shè)第 1 列的數(shù)字 5 將被填到(1, 8)，第 8 行就不能再填數(shù)字 5 了，所以第 6 列的數(shù)字 5 只好填到(6, 1)或(6, 5)；
- 如果第 6 列的數(shù)字 5 填到(6, 1)，第 4 列的數(shù)字 5 就要填到(4, 5)；
- 如果第 6 列的數(shù)字 5 填到(6, 5)，第 4 列的數(shù)字 5 就要填到(4, 1)；
不論哪一種情況發(fā)生，第 1、5、8 行的數(shù)字 5 一定要填在第 1、4、6 列的交點，別的宮格已不能再使用 數(shù)字 5 來填入了，所以若其他宮格的候選數(shù)中還有數(shù)字 5，全部是多余無用的， 可以毫不考慮的把它們刪減掉。于是(5, 1)、(5, 5)、(9, 5)和(1, 8)、(2, 8)這五個宮格候選數(shù)中的 5 都可被安全的刪減掉；其中(9, 5)的候選數(shù)少了數(shù)字 5，將使得(9, 4)出現(xiàn)列隱性唯一候選數(shù) 5 ，于是 可用隱性唯一候選數(shù)法來填入下一個解了。
整理一下：
- 當(dāng)某個數(shù)字在某三列僅出現(xiàn)在相同的三行時，就可以把這三行其他宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。
- 同理，當(dāng)某個數(shù)字在某三行僅出現(xiàn)在相同的三列時，就可以把這三列其他宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。
利用“找出某個數(shù)字在某三列僅出現(xiàn)在相同三行的情形，進而將該數(shù)字自這三行其他宮格候選數(shù)中刪減掉”； 或“找出某個數(shù)字在某三行僅出現(xiàn)在相同三列的情形，進而將該數(shù)字自這三列其他宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法 就叫做三鏈列刪減法(Swordfish)。
本刪減法其實是矩形頂點刪減法的推廣，如果你愿意的話，還可以繼續(xù)推廣：
- 四鏈列刪減法：利用“找出某個數(shù)字在某四列僅出現(xiàn)在相同四行的情形，進而將該數(shù)字自這四行其他宮格 候選數(shù)中刪減掉”；或“找出某個數(shù)字在某四行僅出現(xiàn)在相同四列的情形，進而將該數(shù)字自這四列其他 宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法
- 五鏈列刪減法：利用“找出某個數(shù)字在某五列僅出現(xiàn)在相同五行的情形，進而將該數(shù)字自這五行其他宮格 候選數(shù)中刪減掉”；或“找出某個數(shù)字在某五行僅出現(xiàn)在相同五列的情形，進而將該數(shù)字自這五列其他 宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法
- 六鏈列刪減法：...... 不過如果真的這樣做，實際應(yīng)用時，能夠用上的機率大概不多就是了。
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，雖然你可以優(yōu)先使用三鏈列刪減法來尋找下一個解；但大部分的人在 使用刪減法的優(yōu)先順序上，通常都會將三鏈列刪減法排在稍后一點，為什么要如此安排，在實際使用一段時間之后， 相信你自能體會了，但這個方法又是不可或缺的，如果不會運用本刪減法，有很多高級的數(shù)獨謎題就將無解了。
三鏈列刪減法示例
三鏈列刪減法只有 2 種狀況：第一種的刪減發(fā)生在行、第二種的刪減發(fā)生在列。<圖 1> 就是 刪減發(fā)生在行的例子了，第二種的情況舉例如下：
<圖 2>
<圖 2> 是三鏈列刪減發(fā)生在列的例子：圖中第 3、5、8 行的數(shù)字 2 只出現(xiàn)在第 3、4、5 列， 所以可以將數(shù)字 2 自(4, 6)、(5, 6)的候選數(shù)中安全的刪減掉，其中(5, 6) 的候選數(shù)由 2、5 刪減成 5 時，出現(xiàn)唯一候選數(shù)啦！ |
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區(qū)塊刪減法
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概說
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題時，唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法仍有其黔驢技窮的時候；這時就是區(qū)塊刪減法上場的時機了，往后將要介紹的 數(shù)對刪減法(Naked Pairs)、隱性數(shù)對刪減法(Hidden Pairs)、三鏈數(shù)刪減法(Naked Triples)、 隱性三鏈數(shù)刪減法(Hidden Triples) 、矩形頂點刪減法(X-Wing)、三鏈列刪減法(Swordfish)都具有類似的特性：使用這 些技巧的目的僅在刪減候選數(shù)的數(shù)目，刪減之后，還是得使用唯一候選數(shù)法和隱性唯一候選數(shù)法來 找出下一個解并填入數(shù)字的。
當(dāng)使用唯一候選數(shù)法或隱性唯一候選數(shù)法找不出下一個解時，到底該先使用哪一個刪減法呢？隨您高興的用吧！ 如果你比較擅長使用數(shù)對刪減法，那就先用數(shù)對刪減法吧！如果你認(rèn)為區(qū)塊刪減法比較好用，那就先用數(shù)對刪減法吧！ ......；介紹時總有先后的次序，但并不表示先介紹的就較好用或必須先用哦！只要能達到：“安全刪減掉候選數(shù)， 并找出下一個解”的目的，使用哪一種刪減法都是可以的。
<圖 1>
請看<圖 1>，這時若使用唯一候選數(shù)法或隱性唯一候選數(shù)法是找不出下一個解來的！就先來試試區(qū)塊刪減法吧。 請觀察第 9 行：數(shù)字 1 在本行各宮格的候選數(shù)中，是不是僅出現(xiàn)在(1,9)～(3,9)的這一個區(qū)塊中？太好了，區(qū)塊刪減 的條件已有了；因為這表示第 9 行的數(shù)字 1 只能填在(1,9)～(3,9)的這一個區(qū)塊中，而不論填在本區(qū)塊 的哪一個宮格中，上右九宮格的其他宮格將因本九宮格已出現(xiàn)數(shù)字 1，而不得再填入 1，否則就違反數(shù)獨填制的規(guī)則 啦！所以(1, 7)～(3, 7)及(1, 8)～(3, 8)這兩個區(qū)塊的宮格，如果其候選數(shù)中包含有數(shù)字 1，就可以毫不考慮的 把它刪除掉，因為候選數(shù)的意義是可能填入該宮格的數(shù)字，而這個數(shù)字已不可能再用來填入該宮格中了。?。√美?！ (1, 7)的候選數(shù)中包含有數(shù)字 1，所以可以把 (1, 7) 的候選數(shù)由 1、6 刪減成 6，于是可用唯一候選數(shù)法來填入 下一個解了。
當(dāng)區(qū)塊刪減法的條件成立時，可別高興得太早，因為很有可能找不到可刪減的數(shù)字，例如：在<圖 1>的第 1 行中， 數(shù)字 2 在本行的各宮格候選數(shù)中，僅出現(xiàn)在(4, 1)～(6, 1)這一個區(qū)塊中，而不論數(shù)字 2 將來會被填到本區(qū)塊 的哪一個宮格中，將使得數(shù)字 2 不得再填入(4, 2)～(6, 2)及(4, 3)～(6, 3)這兩個區(qū)塊中；但請找找看！ 這兩個區(qū)塊各宮格的候選數(shù)中全部沒有數(shù)字 2，所以是白忙了一場，條件是成立了，但候選數(shù)并未因此而得到刪減。
整理一下，并為了簡化敘述起見，下面所述的“區(qū)塊候選數(shù)”表示：該區(qū)塊的各個宮格候選數(shù)的總和。例如(1, 3)～(3, 3) 的區(qū)塊候選數(shù)就是(1, 3)的候選數(shù) 4、6、7 及(2, 3)的候選數(shù) 3、4、6 及(3, 3)的候選數(shù) 3、7 的總和： 3、4、6、7 啦！：
- 當(dāng)某一個數(shù)字只出現(xiàn)在某行的某一個區(qū)塊候選數(shù)中時，就可以把該數(shù)字自包含該區(qū)塊的九宮格之其他 區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉。
- 同理，當(dāng)某一個數(shù)字只出現(xiàn)在某列的某一個區(qū)塊候選數(shù)中時，就可以把該數(shù)字自包含該區(qū)塊的九宮格之其他 區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉。
- 同理，當(dāng)某一個數(shù)字只出現(xiàn)在某個九宮格的某一個區(qū)塊候選數(shù)中時，就可以把該數(shù)字自包含該區(qū)塊的行或列之其他 區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉。
利用“找出某一行、某一列或某一個九宮格各個區(qū)塊候選數(shù)中只出現(xiàn)一次的數(shù)字來，并將該數(shù)字自包含該區(qū)塊的另一個 行、列或九宮格的其他區(qū)塊候選數(shù)中刪減掉”的方法就叫做區(qū)塊刪減法 (Locked Candidates, Single Sector Candidates)。
區(qū)塊刪減法示例
區(qū)塊刪減法一共有 4 種狀況：第一種是發(fā)生在行而去刪減九宮格、第二種是發(fā)生在列而去刪減九宮格、 第三種是發(fā)生在九宮格而去刪減行、第四種是發(fā)生在九宮格而去刪減列。
<圖 1> 就是發(fā)生在行而去刪減九宮格的例子了，其他的情況舉例如下：
<圖 2>
<圖 2> 是發(fā)生在列而去刪減九宮格的例子：因為第 3 列的數(shù)字 6 只出現(xiàn)在 (3, 1)～(3, 3) 這一個區(qū)塊， 所以可以將上左九宮格的另兩個區(qū)塊 (1, 1)～(1, 3)、(2, 1)～(2, 3) 候選數(shù)中的數(shù)字 6 安全的刪減掉； 于是(1, 1)的候選數(shù) 2、6 將被刪減成 2，出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！
<圖 3>
<圖 3> 是發(fā)生在九宮格而去刪減列的例子：因為上右九宮格的數(shù)字 5 只出現(xiàn)在 (3, 7)～(3, 9) 這一個區(qū)塊， 所以可以將第 3 列的另兩個區(qū)塊 (3, 1)～(3, 3)、(3, 4)～(3, 6) 候選數(shù)中的數(shù)字 5 安全的刪減掉； 于是(3, 3)的候選數(shù) 5、9 將被刪減成 9，出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！
<圖 4>
<圖 4> 是發(fā)生在九宮格而去刪減行的例子：因為中央九宮格的數(shù)字 1 只出現(xiàn)在 (4, 5)～(6, 5) 這一個區(qū)塊， 所以可以將第 5 行的另兩個區(qū)塊 (1, 5)～(3, 5)、(7, 5)～(9, 5) 候選數(shù)中的數(shù)字 1 安全的刪減掉； 于是(8, 5)的候選數(shù) 1、3、7、8 將被刪減成 3、7、8；同理，中央九宮格的數(shù)字 7、8 都只出現(xiàn)在 (4, 5)～(6, 6) 這一個區(qū)塊，所以可以將第 5 行的另兩個區(qū)塊 (1, 5)～(3, 5)、(7, 5)～(9, 5) 候選數(shù)中 的數(shù)字 7、8 都安全的刪減掉；于是(8, 5)的候選數(shù) 3、7、8 將再度被刪減成 3；出現(xiàn)了唯一候選數(shù)啦！
像<圖 1>～<圖 3>這樣，只做一次區(qū)塊刪減就找到下一個解的情況固然是不錯，但有時并沒有那么順心， 像<圖 4>就需要刪減三次才得到下一個解，不過那還算好的了，因為三次的刪減都恰好發(fā)生在同一個區(qū)塊中， 請看下面發(fā)生在不同區(qū)塊的情形吧！
<圖 5>
<圖 5> 中的(4, 3)將可利用區(qū)塊刪減法得出下一個解，你能夠不看下面的解答，自己找出來嗎？試試！
也許你已經(jīng)找出答案了，恭喜！也許你還找不出答案，那也沒關(guān)系，人有失手，馬有失蹄，總有腦袋被漿糊 糊住而一時失誤的時候，請看答案吧：因為第 8 列的數(shù)字 2 只出現(xiàn)在 (8, 1)～(8, 3) 這一個區(qū)塊， 所以可以將下左九宮格的另兩個區(qū)塊 (7, 1)～(7, 3)、(9, 1)～(9, 3) 候選數(shù)中的數(shù)字 2 安全的刪減掉； 刪減之后的結(jié)果如<圖 6>。
<圖 6>
接下來，因為第 3 行的數(shù)字 2 只出現(xiàn)在 (4, 3)～(6, 3) 這一個區(qū)塊，所以可以將中左九宮格的另兩個區(qū)塊 (4, 1)～(6, 1)、(4, 2)～(6, 2) 候選數(shù)中的數(shù)字 2 安全的刪減掉；刪減之后的結(jié)果如<圖 7>。
<圖 7>
哈！哈！看出來了嗎？(4, 3)已出現(xiàn)了列隱性唯一候選數(shù)2啦！ |
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關(guān)鍵數(shù)刪減法
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概說
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，就是各種刪減法上場的時機了。在各種的刪減法中，哪一個要先用是隨個人之喜好的，并無限制。本頁介紹的例子雖然可能可以使用其他刪減法完成解題，但在大部份的情況下是無可取代的，不過本刪減法成立的條件和其他方法相比稍嫌繁雜，所以一般在使用時，均將其優(yōu)先順序 放在后面，只在不得已時才用之！
<圖 1>
請看<圖 1>，此時使用以往所提及的：數(shù)對刪減法、區(qū)塊刪減法、隱性數(shù)對刪減法、三鏈數(shù)刪減法、 隱性三鏈數(shù)刪減法、矩形頂點刪減法、三鏈列刪減法...等各式刪減法都已找不到下一個解了，這才是 關(guān)鍵數(shù)刪減法(Colors, Colouring)最好的上場時機。
某一個數(shù)字在某一行、某一列或者某一個九宮格的各宮格候選數(shù)中恰出現(xiàn)兩次時，我們說在 這一行、這一列或者這一個九宮格中有了一個關(guān)鍵數(shù)。由于使用本刪減法的時機是在數(shù)獨填制的中后期， 所以擁有同一個關(guān)鍵數(shù)的行列或九宮格通常不止一處，而且環(huán)環(huán)相扣，使得候選數(shù)中包含該關(guān)鍵數(shù)的宮格 形成涇渭分明的兩大陣營；<圖 2> 和 <圖 1>是完全相同的數(shù)獨殘局，但只顯示候選數(shù) 4 的情形：
<圖 2>
在 <圖 2> 中，第一列的數(shù)字 4 僅出現(xiàn)在 (1, 1) 及 (1, 5)，是本列的關(guān)鍵數(shù)，此時，若數(shù)字 4 應(yīng)填入 (1, 1)，則 (1, 5) 就不能再填入數(shù)字 4；反之，若數(shù)字 4 應(yīng)填入 (1, 5)，則 (1, 1) 就不能再填入數(shù)字 4 了； 雖然我們還不知道哪一個宮格應(yīng)填入數(shù)字 4，但卻可以利用關(guān)鍵數(shù)的這一個特性，將待填的部分宮格區(qū)分成兩組， 只要其中的一組宮格應(yīng)填入數(shù)字 4 ，另一組宮格就不可能再填入數(shù)字 4 。<圖 2> 中底色為粉紅及淺藍的兩組宮格， 就具有這樣的性質(zhì)。
接下來，我們就可以根據(jù)這兩組宮格的分布情形，做一些確切的判定：
- 當(dāng)在底色為淺藍的宮格中填入數(shù)字 4 時，并無任何不妥！
- 若在底色為粉紅的宮格中填入數(shù)字 4 時，則第 7 列或第 7 行都將出現(xiàn)兩個數(shù)字 4，這是違反填制規(guī)則的。
所以所有底色為粉紅的宮格都不可能填入數(shù)字 4，這些宮格候選數(shù)中的數(shù)字 4，全部都可以刪減掉！回到 <圖 1>，我們可發(fā)現(xiàn)，進行刪減之后，下一個解的尋找根本就不成任何問題了。
大部分情況下，利用行列及九宮格的關(guān)鍵數(shù)將相關(guān)宮格區(qū)分為兩組后，并不一定可找出上述的矛盾狀況， 而確切的據(jù)以判定某一組宮格可進行候選數(shù)的刪減，例如<圖 3>就是一個例子：由第 9 列的關(guān)鍵數(shù) 6 所引發(fā)區(qū)分的兩組宮格，不論將數(shù)字 6 填到粉紅或淺藍為底色的宮格中，都是不會產(chǎn)生矛盾的。
<圖 3>
不過<圖 3>卻展示了關(guān)鍵數(shù)刪減法的另一種刪減狀況；請看第 1 列中的 (1, 5) 及 (1, 8)，它們有什么 特殊之處呢？尤怪居然要用淺綠的底色來標(biāo)示！
哈！哈！相信你已看出來了，在這兩個宮格的同一行上，都有兩個不同底色的宮格存在，這代表：不論最后 數(shù)字 6 應(yīng)填到哪一組底色的宮格中，因為本行的數(shù)字 6 已被填入了，所以這兩個宮格都不可能再填入數(shù)字 6 了，因此這兩個宮格的候選數(shù) 6 都可被安全的刪減掉！
為了更清楚的說明這類的刪減，假設(shè)有某個數(shù)獨殘局的數(shù)候選數(shù) 1 分布如<圖 4> ：
<圖 4>
利用<圖 4>第 1 列中的關(guān)鍵數(shù) 1，可將部分宮格區(qū)分為兩組獨立的宮格，分別以粉紅及淺藍為底色來標(biāo)示； 只要其中的一組宮格被填入數(shù)字 1，另一組宮格就不可能再填入數(shù)字 1。雖然在本圖中的任一組宮格中填入 數(shù)字 1 都不會產(chǎn)生矛盾，但是仍可以利用這些宮格的分布，對其他宮格進行刪減。
- 先看 (3, 7)、(3, 8)、(3, 9)，因為上右九宮格中己擁有粉紅及淺藍為底色的宮格各一個，表示不論 數(shù)字 1 應(yīng)填到哪一組底色的宮格中，因為本九宮格中的數(shù)字 1 已被填入了，所以其他宮格都不能再 使用數(shù)字 1 了，因此這三個宮格的候選數(shù) 1 都可被安全的刪減掉！
- 再看 (4, 9)，因為同行的(2, 9)有一個粉紅底色的宮格，同列的(4, 4)又有一個淺藍底色的宮格，所以 不論數(shù)字 1 應(yīng)填到哪一組底色的宮格中，因為同一個行、列中的數(shù)字 1 已被填入了，所以本宮格就不能 再使用數(shù)字 1 了；這個宮格的候選數(shù) 1 可安全的刪減掉！
- 最后來看看 (4, 1)、(5, 1)，因為同行中己擁有粉紅及淺藍為底色的宮格各一個，所以這兩個宮格的 候選數(shù) 1 都可安全的刪減掉！
利用“以關(guān)鍵數(shù)的關(guān)系找出矛盾的組合，或者找出確切可進行刪減的宮格，進而將該數(shù)字自宮格候選數(shù)中刪減掉” 的方法就叫做關(guān)鍵數(shù)刪減法(Colors, Colouring)。由于在說明本法的分組狀況時， 以顏色來區(qū)分是最清楚明了的，所以外國人就以 “colors 顏色”為名，也是十分傳神的。
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矩形頂點刪減法
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概說
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，就是各種刪減法上場的時機了。在各種的刪減法中，哪一個要先用 是隨個人之喜好的，并無限制。本頁介紹的例子當(dāng)然可用其他刪減法完成解題，且本刪減法成立的條件 和其他方法相比稍嫌繁雜，但為了介紹，在進行解題時還是要以矩形頂點刪減法優(yōu)先??！
<圖 1>
請看<圖 1>的第 1 列及第 9 列，數(shù)字 8 都只出現(xiàn)在第 5、8 行的宮格候選數(shù)中；這時 矩形頂點刪減法的條件已成立了！這表示第 5 行及第 8 行的數(shù)字 8 將只能被填到第 1 列及 第 9 列了，因為：第 1 列的數(shù)字 8 只出現(xiàn)在(1, 5)及(1, 8)，所以數(shù)字 8 只能填到這兩個宮格； 同樣的，第 9 列的數(shù)字 8 只出現(xiàn)在(9, 5)及(9, 8)，所以數(shù)字 8 也只能填到這兩個宮格； 先假設(shè)第 1 列的數(shù)字 8 將被填到(1, 5)，第 5 行就不能再填數(shù)字 8 了，所以第 9 列的數(shù)字 8 只好 填到(9, 8)；另外，假設(shè)第 1 列的數(shù)字 8 將被填到(1, 8)，第 8 行就不能再填數(shù)字 8 了，所以第 9 列的數(shù)字 8 只好填到(9, 5)；不論哪一種情況發(fā)生，第 5 行及第 8 行的數(shù)字 8 都已被填入，別的 宮格已不能再使用數(shù)字 8 來填入了，所以若其他宮格的候選數(shù)中還有數(shù)字 8，全部是多余無用的， 可以毫不考慮的把它們刪減掉。于是(3, 5)、(6, 5)和(3, 8)、(7, 8)這四個宮格候選數(shù)中的 8 都可被安全的刪減掉；其中(6, 5)的候選數(shù)少了數(shù)字 8，將使得(6, 6)出現(xiàn)列隱性唯一候選數(shù) 8 ，于是 可用隱性唯一候選數(shù)法來填入下一個解了。
整理一下：
- 當(dāng)某個數(shù)字在某兩列僅出現(xiàn)在相同的兩行時，就可以把這兩行其他宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。
- 同理，當(dāng)某個數(shù)字在某兩行僅出現(xiàn)在相同的兩列時，就可以把這兩列其他宮格候選數(shù)中的該數(shù)字刪減掉。
利用“找出某個數(shù)字在某兩列僅出現(xiàn)在相同兩行的情形，進而將該數(shù)字自這兩行其他宮格候選數(shù)中刪減掉”； 或“找出某個數(shù)字在某兩行僅出現(xiàn)在相同兩列的情形，進而將該數(shù)字自這兩列其他宮格候選數(shù)中刪減掉”的方法 就叫做矩形頂點刪減法(X-Wing)。因為本刪減法的條件成立時，關(guān)鍵的數(shù)字 8 所處的宮格在數(shù)獨方陣上看來，剛好就在一個矩形的頂點。
遇到了高級、困難級的數(shù)獨謎題，使得唯一候選數(shù)法和 隱性唯一候選數(shù)法黔驢技窮的時候，雖然你可以優(yōu)先使用矩形頂點刪減法來尋找下一個解；但大部分的人在 使用刪減法的優(yōu)先順序上，通常都會將矩形頂點刪減法排在稍后一點，為什么要如此安排，在實際使用一段時間之后， 相信你自能體會了，但這個方法又是不可或缺的，如果不會運用本刪減法，有很多高級的數(shù)獨謎題就將無解了。
矩形頂點刪減法示例
矩形頂點刪減法只有 2 種狀況：第一種的刪減發(fā)生在行、第二種的刪減發(fā)生在列。<圖 1> 就是 刪減發(fā)生在行的例子了，第二種的情況舉例如下：
<圖 2>
<圖 2> 是矩形頂點刪減發(fā)生在列的例子：圖中第 2 行、第 8 行的數(shù)字 3 只出現(xiàn)在第 1 列及第 2 列， 所以可以將數(shù)字 3 自(1, 3)、(1, 5)及(2, 1)、(2, 4)、(2, 5)的候選數(shù)中安全的刪減掉，其中(2, 4) 的候選數(shù)由 2、3、4、6 刪減成 2、4、6 時；(3, 4)將出現(xiàn)隱性唯一候選數(shù) 3 啦！
<圖 3>
<圖 3> 也是一個刪減法綜合運用的例子。在(1, 8)中將可找到下一個解，你能找出來嗎？
- 因為上中九宮格的數(shù)字 1 只發(fā)生在(2, 4)～(2, 6) 這一個區(qū)塊，所以可以利用區(qū)塊刪減法 把(2, 7)～(2, 9)候選數(shù)中的數(shù)字 1 安全的刪減掉。
- 因為第 1 行及第 7 行的數(shù)字 1 只出現(xiàn)在第 4 列及第 9 列，所以可以利用矩形頂點刪減法 把(4, 3)及(9, 6)、(9, 8)、(9, 9)候選數(shù)中的數(shù)字 1 安全的刪減掉。
經(jīng)過以上刪減之后，(1, 8)出現(xiàn)行隱性唯一候選數(shù) 1 啦！ |
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