快樂課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“幾何初步”-華東師范大學(xué)出版社七年級上冊

一、  本單元概述

前一單元，我們接觸了“代數(shù)”，這一單元，我們要接觸“幾何”。

代數(shù)可簡稱“數(shù)”，幾何可簡稱“形”，數(shù)和形是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要研究學(xué)習(xí)內(nèi)容。

在數(shù)軸的學(xué)習(xí)時，我們已經(jīng)感受到“數(shù)形結(jié)合思想”，數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)生數(shù)學(xué)生應(yīng)形成的數(shù)學(xué)意識中，最重要的一項(xiàng)，“符號意識”是建立數(shù)形結(jié)合思想的重要基礎(chǔ)。

幾何要研究的圖形，可分為“點(diǎn)”、“線”、“面”、“體”。

課本，先簡要地說到“體”，由“體”展開到“面”，然后，是重點(diǎn)學(xué)習(xí)“點(diǎn)”和“線”。

為什么會按這個順序編排本單元呢？點(diǎn)、線、面、體四者之間，是什么樣的聯(lián)系？為什么說本單元的重點(diǎn)是“點(diǎn)”和“線”？

點(diǎn)是所有圖形的最基本的幾何元素。點(diǎn)動成線，線動成面，面動成體。

要想掌握好幾何，就要把最基礎(chǔ)的“點(diǎn)”、“線”理解透徹。

二、  先說說“體”

我們所處的空間，是三維空間。三維的最簡單理解，就是小學(xué)學(xué)過的“長”、“寬”、“高”。

現(xiàn)實(shí)中的“物”，在幾何中都抽象成為“體”，所以我們說“物體”。

現(xiàn)實(shí)中的物體，在幾何中都是“體”，就是一張“長方形”的紙，其實(shí)也是“長方體”，只是它太?。ā案摺碧。┝?，忽略其厚度，日常稱其為長方“形”。但一張紙，你可以忽略它的厚度，1000張紙，你也級忽略嗎？

我們?yōu)榱搜芯俊绑w”，或者說為了描述“體”，就要用到數(shù)學(xué)中“抽象”出來的“面”、“線”、“點(diǎn)”。

當(dāng)然，由于“點(diǎn)”“線”“面”本身都圖形，而圖形本身還是很“直觀的”，所以，在數(shù)學(xué)中，要“直觀化”，必然要借助于“形”，“數(shù)形結(jié)合”就由此而來。

我們把，由抽象的“面”，向與該面垂直的方向，平移運(yùn)動能形成的體，稱之為“柱體”（以后會知道，此時的準(zhǔn)確名稱為“直柱體”，此外還有“斜柱體”。這個抽象的“面”，稱為柱體的“底面”。平移運(yùn)動時形成的面，稱為“柱體的側(cè)面”。

柱體有兩個底面，而且形狀、大小完全一樣。（平移的特征）

直柱體的底面是“圓形”（現(xiàn)在可簡稱為“圓”）時，稱為“圓柱”。（只有一個側(cè)面）特別說明：在幾何中，“圓”和“圓形”是不同的概念，“圓”只是“圓形”的邊，不包括“圓形的內(nèi)部），即圓是一條封閉的“曲線”，而圓形是圓圍成的“面”。

直柱體的底面是“多邊形”時，稱為“棱柱”。（多邊形有N條邊，就有N個側(cè)面，稱為“N棱柱）

棱柱的所有面（都是多邊形）的“邊”，即面與面相交處的“線段”，稱為“棱”。棱，位于底面，稱“底棱”（即側(cè)面與底面相交處的線段）；不位于底面的，稱“側(cè)棱”（即側(cè)面相交處的線段）。

當(dāng)柱體的一個底面，縮小變成一個“點(diǎn)”時，稱為“錐體”。這個點(diǎn)稱為錐體的“頂點(diǎn)”，沒變的那個底面，稱為錐體的“底面”。（錐體只有一個頂點(diǎn)，當(dāng)把棱錐當(dāng)多面體對待時，才可以說“每個棱與棱的交點(diǎn)，稱為多面體的頂點(diǎn)”。如，三棱錐，確定底面后，就只有一個頂點(diǎn)；而把三棱錐說成為“四面體”時，才能說“四面體有4個頂點(diǎn)”）

更專業(yè)的描述是：一個與平面圖形不在同一平面上的點(diǎn)，與平面圖形邊上的所有點(diǎn)連接，所圍成的體，稱為錐體。

與柱體一樣，錐體也分為圓錐、棱錐。

我們把圓以直徑為軸，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動而形成的體，稱為“球體”。（球體就一個面）

當(dāng)“體”的所有面，都是“多邊形”時，稱為“多面體”。

從以上可以看出，“體”的描述，要有“點(diǎn)線面”來共同完成。而各種“體”的概念，很抽象，但圖形卻是非常“直觀”。

三、再談?wù)動谩懊妗眮硌芯俊绑w”

我們在課本上，可以看到，很多立體圖形在紙張平面上的“立體示意圖”。

“立體示意圖”非常直觀，非常形象。

但是，由于要把“立體”變成“平面”，立體圖形的很多面的形狀與大小、很多棱的長度，都需要“變形”。如正方體的立體示意圖，只有正面和背面還是正方形，其它四個面都變成了平行四邊形，相應(yīng)的棱長也變短了。

為了，在“平面”中展示“立體”，又讓立體的面的形狀大小、棱的長度還保持不變。于是，數(shù)學(xué)制定了“三視圖”的規(guī)則，使得“平面”能“準(zhǔn)確”表示“立體”。

立體，是三維的，有“長、寬、高”；平面，是二維的，于是用“長、寬”“長、高”“寬、高”這三個二維，來表示三維的體。

一般來說，正視圖表達(dá)的是“長與高”的二維數(shù)據(jù)；左視圖表達(dá)的是“寬與高”的二維數(shù)據(jù)；俯視圖表達(dá)的是“長與寬”的二維數(shù)據(jù)。

三視圖，肯定沒有立體示意圖直觀，但三視圖的優(yōu)點(diǎn)是：尺寸準(zhǔn)確。

把立體圖形的三維，分解成三個二維，就成了三視圖。反之，由三個二維，來確定三維，就把三視圖“組裝”成了立體圖形。

除了“三視圖”這種用“面”來研究“體”的方法外，還有一種是“表面展開圖”。

但是，“表面展開圖”只能展開“多面體”。（曲面不能展開，展開一定變形）

展開圖的研究重點(diǎn)是：相鄰的面（鄰面）和互相平行的面（對面）。

而鄰面和對面，重點(diǎn)又在“對面”。

正方形的展開圖，共有6個正方形，分為3組對面，而每個面有4個鄰面。

每個面的對面只有一個，確定后，4個鄰面也就出來了。

而由鄰面來確定對面，就要用“排除法”，就是排除“自己的鄰面”和“不是自己的對面”。

而正方體展開圖中，“對面”有何特征呢？

1、在同一行（或列）時，中間只隔一個面的兩個面，就是一組對面。

2、當(dāng)某個面在同一行（或列）中，沒有對面時，其對面必然與自己相隔一行（或列）。

如果，不能按以上規(guī)則，找出剛好3組對面，那么，這個展開圖一定是錯誤的。

由這個規(guī)則，可以嘗試畫出不同形狀的展開圖，看你能畫出多少種？

既然，要用面來研究體，就先把面先說一下。

平面圖形，是由平面上，封閉的線所圍成的圖形。

其中：

圓是由一條封閉曲線圍成的。

多邊形是由多條線段首尾連接所封閉而成。由N條線段圍成的多邊形，叫N邊形。這每一條線段，都是多邊形的一個“邊”。邊的交點(diǎn)，稱為多邊形的“頂點(diǎn)”

多邊形，最基本的是三邊形，多邊形都可以分割成若干三角形。

四、重點(diǎn)談?wù)劇包c(diǎn)和線”

點(diǎn)，是幾何圖形，最基本的元素。

點(diǎn)，沒有大小，卻可以組成有大小的圖形

一般，在圖形中，點(diǎn)表示某一處的具體位置。（即圖形是表示空間的，空間的每一個位置是“點(diǎn)”）

當(dāng)然，在時間中，用點(diǎn)來表示某一具體時刻。（如，3點(diǎn)整是點(diǎn)，3個小時是時間）

在線、面、體中，特殊位置上的點(diǎn)，就會定一個專門的名稱。

點(diǎn)，沿著一個方向平移，就形成“線”。

“線”分為三種，點(diǎn)平移成線時：

1、有開始位置和結(jié)束位置，叫“線段”。這兩個位置，都叫線段的“端點(diǎn)”。

2、有開始位置，沒有結(jié)束位置，叫“射線”。開始位置，叫射線的“端點(diǎn)”。

3、沒有開始位置，也沒有結(jié)束位置，叫“直線”。所以，直線沒有端點(diǎn)。

線段，也可以看成是：兩點(diǎn)間的最短連接。即：兩點(diǎn)之間，線段最短。

所以規(guī)定：幾何中，“連接兩點(diǎn)”，就是把兩點(diǎn)當(dāng)端點(diǎn)，作線段。

線段有準(zhǔn)確的起點(diǎn)和終點(diǎn)，所以可以量出線段的長度。連接兩點(diǎn)線段的長度，也就是這兩點(diǎn)間的距離。

射線，可以看作是，將線段朝一個方向無限延伸。也可以看作是，直線上一點(diǎn)，將直線所分成的兩部分。

由于射線只有一個端點(diǎn)，即射線有明確的方向，所以，射線只能用兩個大寫字母表示，且表示端點(diǎn)的字母必須寫在前面。（規(guī)定：點(diǎn)用大寫字母表示，線用小寫字母表示）

直線，可以看作是，將線段朝兩個方向無限延伸。（即，兩點(diǎn)確定一條直線）也可以看作是，將射線反向延長。

由于直線和線段都沒有方向性，所以，它們都可以用兩個大寫字母（無順序要求），或一個小寫字母表示。

由于直線和射線，都是無限延伸的，所以，它們都不能測量長度，也就不能進(jìn)行長度的比較。（“直線和射線沒有長度”，這句話是不準(zhǔn)確的，準(zhǔn)確的說法是“有長度，但無法測量。這好比整數(shù)有無限多個，你不能說整數(shù)沒有個數(shù)吧。）

在以后的學(xué)習(xí)中，會逐漸體會到：

由于射線和直線沒有具體長度，所以它們一般用于研究角度問題。在涉及角度問題的表示時，直線二字可以省略。如：a平行于b，這里的a和b是直線、線段都可以。

線段有具體長度，所以，線段的研究基本都會涉及長度大小的比較。在涉及長度表示時，線段二字可以省略。如：MN=10，一定說的是線段MN的長度是10，而肯定不會說直線MN）

把線段分成N條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的N等分點(diǎn)。

當(dāng)把線段分面2條相等線段時，二等分點(diǎn)只有一個，所以，就單獨(dú)起個名字，叫“中點(diǎn)”。

三個點(diǎn)，一共可以確定三條線段，只有兩條較短線段長度的和，等于最大線段的長度，才能說，這三點(diǎn)在同一直線上。（AB+BC=AC時，A、B、C三點(diǎn)共線）

同樣，三點(diǎn)確定的三條線段中，只有兩條較短線段的長相等，且都等于最長線段的長度一半時，才能說，這三點(diǎn)在同一直線上，且中間位置的點(diǎn)，是最長線段的中點(diǎn)。（AB=BC=AC/，則B是線段AC的中點(diǎn)）

同學(xué)們，在幾何學(xué)習(xí)中，一定要鍛煉自己的語言表達(dá)能力，包括

1、用“文字語言、符號語言、圖形語言”分別描述同一種情況。

2、對同一種情況，使用不同的文字語言進(jìn)行描述，

五、最后談?wù)劇熬€與線的組合”

在前面，已經(jīng)談過“點(diǎn)與點(diǎn)”、“點(diǎn)與線”的關(guān)系?，F(xiàn)在升級，研究“線與線”的關(guān)系。

在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系：

1、按是否重合分為：兩線重合、兩線不重合。

2、不重合的兩線，再按是否相交分為：兩線相交、兩線平行（不相交）。相交時，稱為“相交線”；平行時，稱為“平行線”。注意：相交線、平行線，都不可能是一根。想想，這是為什么？

3、兩線相交時，所成的角都是90度，則兩線“互相垂直”。兩直線的交點(diǎn)，稱“垂足”。

特別說明：初中，除對立體圖形的初步認(rèn)識外，只研究“平面幾何”，在能確定是在一個平面上時，“在同一平面內(nèi)”才可以省略；不能確定是在一個平面上時，千萬不能省略。因?yàn)椋谌S情況下（立體情況），兩線不相交時，也可以不平行，稱為“異面直線”，即兩線不可能位于同一平面內(nèi)。

兩線相交，就會出現(xiàn)“角”，這就要研究角了。

由于，初中和小學(xué)一樣，只研究小于或等于180度的角，所以，角的概念，仍使用小學(xué)時的概念：兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。

關(guān)于角的旋轉(zhuǎn)定義，現(xiàn)在只要知道，可以用旋轉(zhuǎn)這個角度描述角，就可以了。等到高中，才正式使用這一概念?，F(xiàn)在可用的地方，就是用來描述“周角”和“0度角”的不同。

角的正規(guī)表示方法是，“角符號”+“組成角的兩條射線”，由于這兩條射線的端點(diǎn)是共用的，所以將表示端點(diǎn)的字母放在中間，用三個字母+“角符號”表示角。

當(dāng)射線端點(diǎn)處，只有一個角時，可省略為“角符號”+“端點(diǎn)字母”。

由于角的正確符號書寫要寫三個字母，為了“簡潔”，經(jīng)常用“標(biāo)注法”來表示角。標(biāo)注角時，用數(shù)字（從1開始）或希臘字母（從а開始）。

標(biāo)注，是指只能在圖形上直接使用。即使用時，必須有圖形配合，沒有圖形，就不能直接用標(biāo)注法表示角，而必須先說明“標(biāo)注角”代表的是哪個“正規(guī)角”。

角的大小比較，與線段的長度比較，都和小學(xué)一年級就學(xué)過的比較方法一樣。

1、直接數(shù)出，或測量后，進(jìn)行數(shù)值比較。

2、二是開始處對齊，比較結(jié)尾處。

角的平分線的命名方法和判斷方法，與中點(diǎn)一樣。

角的度分秒計(jì)算，與小學(xué)的時間的時分秒計(jì)算一樣。

用三角形板玩組合角，更是小學(xué)時的數(shù)學(xué)游戲。就是90度、60度、30度、45度之間進(jìn)行加減組合。

角與角的關(guān)系，分為位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。（這兩種關(guān)系的分類考慮，在幾何中是最常見的）

當(dāng)兩角和為90度時，兩角“互為余角”（互余）。

當(dāng)兩角和為180度時，兩角“互為補(bǔ)角”（互補(bǔ)）?；ビ嗪突パa(bǔ)，都是只考慮數(shù)量關(guān)系，不考慮位置關(guān)系。

當(dāng)互補(bǔ)的兩角有一條公共邊，且另兩邊位于同一直線上時，稱為“鄰補(bǔ)角”?！班彙闭f的是位置關(guān)系；“補(bǔ)”說的是數(shù)量關(guān)系。

余角一詞，來自于中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，在中國歷史上，把直角三角形的兩個銳角，稱為“余角”。（直角三角形的兩銳角互余；有兩個角互余的三角形，是直角三角形）。

這個“余”字，以后還會出現(xiàn)，叫“余弦”?？傊?，在幾何中，“余”這個字，與“直角”有關(guān)。

兩條直線相交，共得到4個角，其中不相鄰的兩角，叫作“一組對頂角”。這是從對頂角的“產(chǎn)生”來描述的。

按對頂角的位置關(guān)系描述為：不重合的兩角有共同的端點(diǎn)，且兩角的兩邊分別位于同一直線上。

對頂角也具有數(shù)量關(guān)系，即“對頂角相等”。但對頂角的定義，是由位置決定的，所以，根據(jù)數(shù)量關(guān)系，不能判斷是否為對頂角。

數(shù)學(xué)中的句子，有“等價形”“描述形”等。

等價形句子的前后兩部分可以互換，其實(shí)質(zhì)是“用不同的語言描述同一種情況”。

描述形句子的前后兩部分不能交換，其實(shí)質(zhì)是“后者是由前者得到的一種結(jié)果”。

將成立的數(shù)學(xué)句子的前后兩部分交換，看是否仍然成立，是很重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

另外要強(qiáng)調(diào)一下，“余角、補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角、對頂角”都是“相對詞”，不是“絕對詞”。區(qū)分“相對詞”和“絕對詞”，也是很重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

兩線相交，有一個非常特別的情況，就是兩線垂直。此時，兩線所成的4個角都等于90度。

在幾何中“垂直”既強(qiáng)調(diào)了位置關(guān)系，又強(qiáng)調(diào)了數(shù)量關(guān)系。

一條直線，有無數(shù)條垂線。

但在同一平面內(nèi)，無論是過直線外一點(diǎn)、還是過直線上一點(diǎn)，都只能做一直線的一條垂線。即：過平面內(nèi)一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線垂直。

過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，該點(diǎn)和垂足之間的線段，叫做垂線段。直線外一點(diǎn)與已知直線上任一點(diǎn)之間的連線中，垂線段最短。垂線段的長，稱為該點(diǎn)到直線的距離。

在小學(xué)時，我們就知道“用直尺和三角板畫平行線”，這個過程，用數(shù)學(xué)語言敘述就是，將“角”沿其中一邊所在直線平移，則另一邊平移前后，互相平行。

這說明，平行線間也存在“角相等”的情況。通過平行線作圖，可知以下結(jié)論：

1、經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有直線與已知直線平行。

2、如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

注意：這兩個結(jié)論，都沒有使用“在同一平面內(nèi)”，尤其是第2條，根據(jù)內(nèi)容也不能確定就是在平面內(nèi)。這是為什么呢？

結(jié)論是根據(jù)“平移”得出的，而平移“沒有在同一平面內(nèi)”的限制。即，平移的結(jié)果，在平面和立體情況下，都是一樣的。

繼續(xù)研究：將“角”沿其中一邊所在直線平移，則另一邊平移前后，互相平行。

這說明：由角相等，可得到兩直線平行的結(jié)論。

可這相等的角，如何描述？起什么名字呢？

幾何中，有數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系的元素，都會起個專用的名字。如：余角、補(bǔ)角、對頂角等。

現(xiàn)在觀察，平移前后的兩個角，有什么關(guān)系？數(shù)量關(guān)系肯定是相等，位置關(guān)系呢？

兩個角有一條公共邊。

于是，研究一下，符合“兩個角有一條公共邊”這一要求的情況。通過畫圖，可知，符合要求的，一共有四種情況。

一是F形，二是Z形，三是匚形，四是“半反F”形（F的一條橫線沿豎線軸對稱）。

角的邊是射線，而“線”的完整情況是直線。我們將上面這四種情況中角的邊，都延長成直線。這時會發(fā)現(xiàn)，四個情況的圖形，都變成了同一類圖形：兩角不共線的邊所在的兩條直線，被公共邊所在的直線所截。（即，兩直線都與第三條直線相交）

一個交點(diǎn)處的4個角，都分別與另一交點(diǎn)的4個角，形成總結(jié)的4種關(guān)系。

其中：

第一種關(guān)系（F形），命名為“同位角”，即在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)。同位即“相同位置”。

第二種關(guān)系（Z形），命名為“內(nèi)錯角”，即在兩條直線間的內(nèi)側(cè)，在第三條直線的兩側(cè)。內(nèi)錯即“內(nèi)側(cè)錯位”或“內(nèi)側(cè)相錯”。

第三種關(guān)系（匚形），命名為“同旁內(nèi)角”，即在兩條直線間的內(nèi)側(cè)，在第三條直線的同側(cè)。同旁內(nèi)即“內(nèi)側(cè)同旁”。

第四種關(guān)系（半反F形），不予命名。 為什么這么不公平，它們?nèi)济荩臀覜]有？

這就是因?yàn)閿?shù)學(xué)的“簡潔性”。命名的新詞，越少越好；新詞，要求簡潔，用字少且表達(dá)清楚明了。

第四種關(guān)系，通過“對頂角”和“鄰補(bǔ)角”，就可轉(zhuǎn)化為前三種關(guān)系中的一種，而且由前三種關(guān)系的命名方法，不能起個簡潔的名字。于是，“半反F“就成了一個另類。

根據(jù)畫平行線的方法可知：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。

而“內(nèi)錯角”和“同旁內(nèi)角”，經(jīng)過“對頂角”或“鄰補(bǔ)角”，可轉(zhuǎn)化到內(nèi)錯角關(guān)系是。從而得到：

內(nèi)錯角相等，兩直線平行（經(jīng)過對頂角關(guān)系）；同旁內(nèi)角補(bǔ)，兩直線平行（經(jīng)過鄰補(bǔ)角關(guān)系）。

數(shù)學(xué)有一大特點(diǎn)：喜歡研究特殊情況。

兩條直線被第三條直線所截（兩條直線都與第三條直線相交）的特殊情況是，兩條直線都與第三條直線垂直。此時，不用分“同位”、“內(nèi)錯”、“同旁內(nèi)”，都是直角。

于是直接定下：垂直于同一直線的兩條直線平行。

以上得到平行結(jié)論的4句話，前后反過來，看是否成立？（反過來看，是一個重要的理科方法和習(xí)慣）

很明顯，依然成立。

由角的數(shù)量關(guān)系，判定位置關(guān)系。稱為“平行線的判定”。

由位置關(guān)系，得出角的數(shù)量關(guān)系。稱為“平行線的性質(zhì)”。

六、超前說說“幾何證明”

“證明”一詞，在華東師大的數(shù)學(xué)版本中，要到初三才正式出現(xiàn)。

但在實(shí)際的作業(yè)和考試中，現(xiàn)在就已經(jīng)開始出現(xiàn)了，只不過換了個說法，叫“請說明”、“請說明理由”等。所以，不得不超前說說“幾何證明”。

“幾何證明”，是最體現(xiàn)數(shù)學(xué)的“邏輯性”。

“邏輯”，簡單地說，就是根據(jù)“大家認(rèn)可的理由”，經(jīng)過“大家認(rèn)可的推理”，由具體的情況，推導(dǎo)得出一個具體的結(jié)論。

在證明中，“大家認(rèn)可的理由”，就是課本上的黑體字印刷的句子。

這些句子，分為三類：

一是公理，也稱“基本事實(shí)”或“定義”，公理的結(jié)論不需要證明，是其它證明的基礎(chǔ)。

二是定理，也稱“判定”、“性質(zhì)”，是由公理推導(dǎo)證明得出，具有通用性。

三是推論，課本上的團(tuán)體句子，但不是以上4種情況，是則公理和定理證明得出的，關(guān)于特殊情況下的結(jié)論。

在證明中，“大家認(rèn)可的推理”，就是三段論。

第一段，是大前提，即“大家認(rèn)可的理由”（寫在“所以句”，后面括號里的文字）。公理、定理、推論，這些句子，本身就包含有，“條件”（因?yàn)?、如果、由于）和結(jié)論（所以、那么、可得）。

熟練地將，課本上的黑體句子，拆寫成標(biāo)準(zhǔn)的“因?yàn)椋?/SPAN> ），所以（ ）”這樣的“推理句式”，是做好證明的基本功。

第二段，是小前提，即符合“大前提”的“因?yàn)榫洹钡摹耙阎獥l件”或“已推理得出的結(jié)論”。

第三段，是結(jié)論，即符合“大前提”的“所以句”的“具體情況下的結(jié)論”。

在證明的實(shí)際書寫中，在要盡量使用“符號語言”，“大前提”省略不寫，現(xiàn)階段作為訓(xùn)練基本功的要求，要求將大前提，寫在“所以句”后的括號內(nèi)；只寫“小前提”（因?yàn)榫洌┖汀敖Y(jié)論”（所以句）。

在證明時，還涉及到數(shù)量關(guān)系的代換和計(jì)算。

代換依據(jù)的大前提是“等量代換”（即由幾個相等量，相互代換而得）。

計(jì)算依據(jù)的大前提是“等式的性質(zhì)”（即已知等式，和等式中部分量，得出其它部分量）。

有很多同學(xué)，對證明題很感到頭痛，甚至是，知道是怎么推導(dǎo)出結(jié)論，可就是不會書寫完整、準(zhǔn)確的推理過程。

多余老師告訴這些同學(xué)，一個很簡單的方法：

1、推理過程的最基本單元，就是一個因?yàn)楹鸵粋€所以。你就將題目的每個已知條件，作為因?yàn)?，寫出對?yīng)的所以；將題目要推導(dǎo)的結(jié)論和你能得到的結(jié)論，作為所以，寫出對應(yīng)的因?yàn)椤?/SPAN>

2、完整的推理過程，是由一個個推理的基本單元，一環(huán)套套一環(huán)而成的，上一單元的所以，是下一單元的因?yàn)?。這樣，你就將你寫出的每一個因?yàn)樗?，按照銜接的關(guān)系，標(biāo)出先后順序，這樣就組合成了完整的推理過程。如果發(fā)現(xiàn)有銜接不上的情況，那肯定是缺少了“基本單元”，就在脫節(jié)處，繼續(xù)進(jìn)行第一步的工作，直到銜接上。

由于，現(xiàn)在讓你們寫證明，屬于超前要求，所以，對證明頭痛的同學(xué)，不要因此而對自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去信心。

只要你能快速、準(zhǔn)確地完成課本上的，“填空式”證明題，那么你的證明水平就是合格的。完全能把數(shù)學(xué)學(xué)好。