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平面幾何等幾個(gè)重要定理(一)

 天成98 2012-12-31
平面幾何等幾個(gè)重要定理(一)
  1. 萊莫恩(Lemoine)線：設(shè)三角形ABC的∠A的外角平分線與BC的延長(zhǎng)線交於P，∠B的平分線與AC交於Q，∠C的平分線和AB交於R。求證P、Q、R三點(diǎn)共線。
    註：直線PQR稱(chēng)為三角形ABC的萊莫恩(Lemoine)線。
  2. 戴沙格定理：設(shè)三角形ABC和A'B'C'對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA'、BB'、CC'交於一點(diǎn)S，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊BC和BC、CA和CA、AB和AB(或它們的延長(zhǎng)線)相交，則它們的交點(diǎn)D、E、F在同直線上。
    註：戴沙格定理是射影幾何中等一個(gè)重要定理。
  3. 牛頓定理：設(shè)四邊形ABCD的一組對(duì)邊AB和CD的延長(zhǎng)線交於點(diǎn)E，另一組對(duì)邊AD和BC的延長(zhǎng)線交於F，則AC中點(diǎn)L、BD中點(diǎn)M及EF中點(diǎn)N三點(diǎn)共線。
    註：直線LMN稱(chēng)為四方形ABCD的牛頓線。
  4. 斯特瓦爾特定理：設(shè)P為三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且BP：PC=m：n，則有　 nAB2 + m AC2 =(n+m)AP2 + mn BC2/(m+n)。
    註：
    1. 當(dāng)m=n時(shí)，即P是BC的中點(diǎn)時(shí)，可得AB2 + m AC2 = 2( AP2 + BP2)，此即三角形的中線定理，亦稱(chēng)巴布斯定理。
    2. 當(dāng)AP為三角形ABC中∠A的平分線時(shí)，則由角平線的性質(zhì)得m/n=AB/AC。此時(shí)BP =ac/(b+c)，CP=ab/(b+c)。所以AP2=4bcp(p-a)/(b+c)2。
      這公式亦可用sinA/2，及三角形面積公式得到。
  5. 在三角形ABC中，設(shè)c>b，AD是∠A的平分線，E為BC上一點(diǎn)且BE=CD。求證：AE2-AD2=(c-b)2。
  6. 設(shè)G為三角形的重心，M是平面上任意一點(diǎn)，求證：MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2。
  7. 在三角形ABC的邊BC上任取一點(diǎn)D，設(shè)ADB和ADC的角平分線分別交AB、AC於E和E，求證AD、BE、CF交於一點(diǎn)。
  8. 已知AD是三角形ABC的邊BC上等高，P為AD上任意一點(diǎn)，直線BP、CP分別交AC、AB於E、F，求證∠FDA=∠ADE。
  9. 三角形ABC中，內(nèi)切圓⊙O與各邊BC、CA、AB相切於D、E、F，求證AD、BE、CF交於一點(diǎn)。
  10. 在三角形ABC中，AM為BC邊上等中線，AD為∠A的平分線，頂點(diǎn)B在AD上等影為E，BE交AM於N，求證DN//AB。
  11. 設(shè)平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)E，過(guò)E引AB的平行線與AD、BC交於K、G，過(guò)E引AD的平行線與AB、CD交於F、H，則FK、BD、GH互相平行或交於一點(diǎn)。
  12. 一條直線與三角形三邊或其延長(zhǎng)線交於L、M、N三點(diǎn)，若L'、M'、N'三點(diǎn)與L、M、N關(guān)於這三邊的中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求證L'、M'、N'三點(diǎn)也共線。
  13. 設(shè)四邊形ABCD外切於⊙O，切點(diǎn)分別為E、F、G、H，則HE、DB、GF交於一點(diǎn)(或GH、CA、EF交於一點(diǎn))。
  14. 設(shè)D、E為三角形的邊BC上兩點(diǎn)，且BD=DE=EC，則2 AB2+AC2=6 DE2+3 AD2。
  15. 設(shè)正△ABC邊長(zhǎng)為a，P為平面上任意一點(diǎn)，證明PA2+PB2+PC2≧a2。
平面幾何等幾個(gè)重要定理(一)
  1. 托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接於圓，則有AB×CD + AD×BC=AB×BD。
    註：在凸四邊形ABCD中，有AB×CD + AD×BC≧AB×BD。等號(hào)成立的充要條件是ABCD為圓內(nèi)接四邊形。
  2. 設(shè)P、Q為平四方形ABCD的邊AB、AD上等兩點(diǎn)，三角形APQ的外接圓交對(duì)角線AB於R。求證：APx AB+AQxAD=ARxRC。
  3. 設(shè)ABCD為圓內(nèi)接正方形，P為(優(yōu))弧DC上一點(diǎn)。求證：PA(PA+PC)=PB(PB+PD)。
  4. 已知圓內(nèi)接正五邊形ABCDE，若P為弧AB上一點(diǎn)，則PA+PD+PB=PE+PC。
  5. 設(shè)C1、C2為同心圓，C2的半徑為C1的兩倍，四邊形A1A2A3A4內(nèi)接於圓C1，分別延長(zhǎng)A4A1、A1A2、A2A3、A3A4交圓C2於B1、B2、B3、B4，求證四邊形B1B2B3B4的圓周L'不小於圓邊形A1A2A3A4的周長(zhǎng)L的2倍。並指出等號(hào)成立的條件。
  6. 西姆松定理：從三角形ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或它們的延長(zhǎng)線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。
    註：(西姆松定理的推廣)卡諾定理：過(guò)三角形ABC外接圓上一點(diǎn)P，引與三邊BC、CA、AB分別成同向的等角直線PD、PE、PF，與三邊交點(diǎn)分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線。
  7. 設(shè)三角形ABC的三條高為AD、BE、CF、過(guò)D點(diǎn)作AB、BE、CF、AC的垂線，垂足分別為P、Q、R、S，則P、Q、R、S在同一條直線上。
  8. 史坦納定理：設(shè)三角形ABC垂心為H，共外接圓上任意一點(diǎn)P，則三角形ABC關(guān)於P點(diǎn)的西姆松線過(guò)線段PH的中點(diǎn)。
  9. 設(shè)P、Q為三角形外接圓上的兩點(diǎn)，若三角形ABC關(guān)於P、Q的西姆松線DE和FG文於M，則∠FME=∠PCQ。
  10. 歐拉定理：設(shè)三角形ABC的外心、重心、垂心分別為O、G、H，則O、G、H三點(diǎn)共線，且OG=GH/2。
    註：O、G、H的連線稱(chēng)為歐拉線。
  11. 設(shè)L、M、N為三角形ABC的三邊的中點(diǎn)，求證三角形LMN的外心在三角形ABC的歐拉線上。
    註：由此命題得知三角形ABC與其三邊中點(diǎn)L、M、N構(gòu)成的三角形LMN具有相同等歐拉線。由於三角形LMN的外接圓即為著名的九點(diǎn)圓。所以有以下結(jié)論。
  12. 三角形三邊中點(diǎn)，三垂線足、三頂點(diǎn)和垂心所連線段的中點(diǎn)，此九點(diǎn)在同一圓周上，此圓稱(chēng)為九點(diǎn)圓，或歐拉圓。九點(diǎn)圓的圓心在三角形的歐拉線上，即三角形的外心、重心、垂心和九點(diǎn)圓的圓心在同一直線上。
  13. (1992年全國(guó)過(guò)中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試第一題)設(shè)A1A2A3A4為⊙O的內(nèi)接四邊形，H1、H2、H3、H4依次為三角形A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的垂心。求證：H1、H2、H3、H4四點(diǎn)在同一圓上，並定出該圓圓心的位置。
  14. 歐拉公式：設(shè)三形的外接圓和內(nèi)切圓半生分別為R和r，則兩圓的圓心距d = [R(R-2r)]1/2。
  15. 若圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角嫂互相垂直，則兩對(duì)邊乘積的和的於四方形面積的兩倍。
  16. 已知A、B為⊙O上兩定點(diǎn)，C為弧AB的中點(diǎn)，P庶圓上任意一點(diǎn)，求證(PA+PB)/PC或(PA-PB)/PC為定值。
  17. 設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD的四邊AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，兩對(duì)角線AC=e，BD=f。求證：e2=(ac+db)(ad+bc)/(ad+cd)，f2=(ab+cd)(ac+db)/(ad+bc)。
  18. 設(shè)AB為⊙O的一條弦，C為弧AB的中點(diǎn)，過(guò)C作弦CD和CE，分別交AB於F、G。求證：FDxGE+DExFG=DGxEF。
  19. 利用西姆松定理證明托勒密定理。
  20. P為等方三角形ABC的外接圓O上的弧BC上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)的西姆松線DE(D在BC上，E在CA上)，OP與DE交於Q。求證：OQ=QP。
  21. 圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠D=90。，過(guò)B作AC、AD的垂線，垂足分別為E、F，求證EF平分BD。
  22. 設(shè)P為三角形ABC種在平面上一點(diǎn)，過(guò)P向三角形ABC三邊作垂線，垂足分別為A1、B1、C1，設(shè)三角形ABC的外心為O，外接圓半徑為R，OP=d。求證：三角形A1B1C1的面積：三角形ABC的面積=|R2-d2 |：4R2。
  23. 設(shè)三角形ABC外接圓半徑為R，某旁切圓半徑為r，d為兩圓圓心距，求證： d2 = R2 + 2Rr。
  24. 設(shè)a、b、c為三角形ABC三邊的長(zhǎng)，R為外接圓半徑，O、H分別為三角形ABC的外心和垂心。求證：OH2 = 9R2 - a2 - b2 -c2。

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