空間幾何體的表面積和體積

球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式及其應用

二. 課標要求：

了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式。

三. 命題走向

近些年來在高考中不僅有直接求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關系問題。即使考查空間線面的位置關系問題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時也要學會運用等價轉(zhuǎn)化思想，會把組合體求積問題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問題，會用體積轉(zhuǎn)化求解問題，會把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，會運用“割補法”等求解。

由于本講公式多反映在考題上，預測2008年高考有以下特色：

（1）用選擇、填空題考查本章的基本性質(zhì)和求積公式；

（2）考題可能為：與多面體和旋轉(zhuǎn)體的面積、體積有關的計算問題；與多面體和旋轉(zhuǎn)體中某些元素有關的計算問題；

［教學過程］

（一）基本知識要點回顧

1. 多面體的面積和體積公式

表中S表示面積，c′、c分別表示上、下底面周長，h表示高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長。

2. 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

表中l、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，r₁、r₂分別表示圓臺上、下底面半徑，R表示半徑。

【典型例題】

例1. 一個長方體全面積是20cm²，所有棱長的和是24cm，求長方體的對角線長.

解：設長方體的長、寬、高、對角線長分別為xcm、ycm、zcm、lcm

依題意得：      

由（2）²得：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x²+y²+z²=16

即l²=16

所以l=4（cm）。

點評：涉及棱柱面積問題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長方體的表面積多被考查。我們平常的學習中要多建立一些重要的幾何要素（對角線、內(nèi)切）與面積、體積之間的關系。

例2. 如圖所示，在平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。

（1）求證：頂點A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線上；

（2）求這個平行六面體的體積。

解：（1）如圖，連結(jié)A₁O，則A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A₁M，A₁N。由線面垂直得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD?！摺?/SPAN>A₁AM=∠A₁AN，

∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA，∴A₁M=A₁N，

從而OM=ON。

∴點O在∠BAD的平分線上。

（2）∵AM=AA₁cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，

∴A₁O=，平行六面體的體積為。

點評：垂直問題的證明和柱體的體積公式的應用。

例3. （2000全國，3）一個長方體共一頂點的三個面的面積分別是，這個長方體對角線的長是（    ）

A. 2                B. 3              C. 6                       D.

解：設長方體共一頂點的三邊長分別為a=1，b＝，c＝，則對角線l的長為l=；答案D。

點評：解題思路是將三個面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素—棱長。

例4. 如圖，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若E、F分別為AB、AC 的中點，平面EB₁C₁將三棱柱分成體積為V₁、V₂的兩部分，那么V₁∶V₂= ____    _。

解：設三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V₁+V₂＝Sh。

∵E、F分別為AB、AC的中點，

∴S_△AEF=S，

V₁=h（S+S+）=Sh

V₂=Sh-V₁=Sh，

∴V₁∶V₂=7∶5。

點評：解題的關鍵是棱柱、棱臺間的轉(zhuǎn)化關系，建立起求解體積的幾何元素之間的對應關系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

例5. （2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如圖所示）

（Ⅰ）證明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱錐的體積V_S－ABC。

解析：（Ⅰ）證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC。

（Ⅱ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=，

S_△ABC=·AC·BC=×5×5=，

∴V_S－ABC=·S_△ACB·SA=。

點評：本題比較全面地考查了空間點、線、面的位置關系。要求對圖形必須具備一定的洞察力，并進行一定的邏輯推理。

例6. ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面EFC的距離？

解：如圖，取EF的中點O，連接GB、GO、CD、FB構造三棱錐B－EFG。

設點B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。

    。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。

由，得·GC

點評：該問題主要的求解思路是將點面的距離問題轉(zhuǎn)化為體積問題來求解。構造以點B為頂點，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關鍵，利用同一個三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類題的方法，從而簡化了運算。（等體積法）

例7. （2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S₁，S₂，則必有（   ）

A. S₁<S₂        B. S₁>S₂     C. S₁=S₂         D. S₁，S₂的大小關系不能確定

解：連OA、OB、OC、OD，

則V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD+V_O-ADF

V_A－EFC＝V_O－AFC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC，

而每個錐體的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD+S_ADF＝S_AFC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故選C

點評：該題通過復合平面圖形的分割過程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對應關系。

例8. （1）（1998全國，9）如果棱臺的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S₀，那么（    ）

A.   B.   C. 2S₀＝S＋S′  D. S₀²＝2S′·S

（2）（1994全國，7）已知正六棱臺的上、下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（    ）

A. 32              B. 28                 C. 24                    D. 20

解：（1）設該棱臺為正棱臺來解即可，答案為A；

（2）正六棱臺上下底面面積分別為：S_上＝6··2²＝6，S_下＝6··4²＝24，V_臺＝，答案B。

點評：本題考查棱臺的中截面問題。根據(jù)選擇題的特點本題選用“特例法”來解，此種解法在解選擇題時很普遍，如選用特殊值、特殊點、特殊曲線、特殊圖形等等。

例9. （2000全國理，9）一個圓柱的側(cè)面積展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（    ）

A.             B.           C.                D.

解：設圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設知h=2πr.

∴S_全=2πr²+（2πr）²=2πr²（1+2π）.S_側(cè)=h²=4π²r²，

∴。答案為A。

點評：本題考查圓柱的側(cè)面展開圖、側(cè)面積和全面積等知識。

例10. （2003京春理13，文14）如圖，一個底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個半徑為r的實心鐵球，水面高度恰好升高r，則=         。

解：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR²·r。恰好是半徑為r的實心鐵球的體積，因此有πr³=πR²r。故。答案為。

點評：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎知識以及計算能力和分析、解決問題的能力。

例11. （1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如圖所示），若將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（    ）

A. π                 B. π                C. π             D. π

（2）（2001全國文，3）若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個圓錐的全面積是（    ）

A. 3π                B. 3π                        C. 6π                       D. 9π

解：（1）如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C—ADE與圓錐B—ADE體積之差，又∵求得AB=1。

∴，答案D。

（2）∵S＝absinθ，∴a²sin60°＝，

∴a²＝4，a＝2，a=2r，

∴r＝1，S_全＝2πr＋πr²＝2π＋π＝3π，答案A。

點評：通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力。而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例12. 已知過球面上三點的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。

解：設截面圓心為，連結(jié)，設球半徑為，

則，

在中，，

∴，

∴，

∴。

點評： 正確應用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關系。

例13. 如圖所示，球面上有四個點P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個球的表面積。

解：如圖，設過A、B、C三點的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。

在三棱錐P—ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，

∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC內(nèi)的射影即△ABC的中心O′。

由正弦定理，得  =2r，∴r=a。

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共線，球的半徑R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=，（R－a）²=R² – （a）²，解得R=a，

∴S_球=4πR²=3πa²。

點評：本題也可用補形法求解。將P—ABC補成一個正方體，由對稱性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對角線，易得球半徑R=a，下略。

例14. （1）（2006四川文，10）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（    ）

A.       B.      C.        D.

（2）半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，求球的表面積和體積。

解：（1）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D。

（2）作軸截面如圖所示，

，，

設球半徑為，

則

∴，

∴，。

點評：本題重點考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

例15. 表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個正四棱柱的表面積。

解：設球半徑為，正四棱柱底面邊長為，

則作軸截面如圖，，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

點評：作軸截面把立體幾何中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題。

例16. （1）我國首都靠近北緯緯線，求北緯緯線的長度等于多少？（地球半徑大約為）

（2）在半徑為的球面上有三點，，求球心到經(jīng)過這三點的截面的距離。

解：（1）如圖，是北緯上一點，是它的半徑，

∴，

設是北緯的緯線長，

∵，

∴

答：北緯緯線長約等于.

（2）設經(jīng)過三點的截面為⊙，

設球心為，連結(jié)，則平面，

∵，

∴，

所以，球心到截面距離為.

點評：了解經(jīng)緯的數(shù)學意義，抓住球中的直角三角形求解。

例17. 在北緯圈上有兩點，設該緯度圈上兩點的劣弧長為（為地球半徑），求兩點間的球面距離。

解：設北緯圈的半徑為，則，設為北緯圈的圓心，，

∴，∴，

∴，∴，

∴中，，

所以，兩點的球面距離等于.

點評：要求兩點的球面距離，必須先求出兩點的直線距離，再求出這兩點的球心角，進而求出這兩點的球面距離。

［思維總結(jié)］

1. 正四面體的性質(zhì)  設正四面體的棱長為a，則這個正四面體的

（1）全面積：S_全=a²；

（2）體積：V=a³；

（3）對棱中點連線段的長：d=a；

（4）內(nèi)切球半徑：r=a；   

（5）外接球半徑：R=a；

（6）正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和為定值（等于正四面體的高）。

2. 直角四面體的性質(zhì)  有一個三面角的各個面角都是直角的四面體叫做直角四面體。直角四面體有下列性質(zhì)：

如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c。

則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；

②直角頂點O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③體積    V=abc；

④底面S_△ABC=；

⑤外切球半徑    R=；

⑥內(nèi)切球半徑  r=

3. 球的截面

用一個平面去截一個球，截面是圓面.

（1）過球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做球的小圓；

（2）球心與截面圓圓心的連線垂直于截面；

（3）球心和截面距離d，球半徑R，截面半徑r有如下關系：

r=.

4. 經(jīng)度、緯度：

經(jīng)線：球面上從北極到南極的半個大圓；

緯線：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；

經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過這點的經(jīng)線與地軸確定的半平面與經(jīng)線及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。

緯度：某地的緯度就是指過這點的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。

5. 兩點的球面距離：

球面上兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離

兩點的球面距離公式：（其中R為球半徑，為A，B所對應的球心角的弧度數(shù)）

【模擬試題】

一、選擇題

1、下圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（      ）

2、過圓錐的高的三等分點作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為（     ）

A、         B、        C、         D、

3、在棱長為的正方體上，分別用過共頂點的三條棱中點的平面截該正方形，則截去個三棱錐后 ，剩下的幾何體的體積是（     ）

A、             B、                  C、                    D、

4、已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為和，則（     ）

A、                    B、              C、                    D、

5、如果兩個球的體積之比為，那么兩個球的表面積之比為（   ）

A、                 B、            C、                  D、

6、有一個幾何體的三視圖及其尺寸如下（單位），則該幾何體的表面積及體積為：（   ）

A、，                B、，12

C、，36                D、以上都不正確           

二、填空題

1、若圓錐的表面積是，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，則圓錐的體積是_______。

2、一個半球的全面積為，一個圓柱與此半球等底等體積，則這個圓柱的全面積是       。 

3、球的半徑擴大為原來的2倍，它的體積擴大為原來的 _________ 倍。

4、一個直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_________厘米。

5、已知棱臺的上下底面面積分別為4、16，高為，則該棱臺的體積為___________。

三、解答題

1、（如圖）在底半徑為，母線長為的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱，求圓柱的表面積

2、如圖，在四邊形中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，，，，求四邊形繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積 

【試題答案】

一、選擇題  

1、A   幾何體是圓臺上加了個圓錐，分別由直角梯形和直角三角形旋轉(zhuǎn)而得

2、B   從此圓錐可以看出三個圓錐，

3、D  

4、D  

5、C  

6、A   此幾何體是個圓錐，

二、填空題

1、  設圓錐的底面半徑為，母線為，則，得，

，得，圓錐的高

2、 

3、 

4、 

5、   

三、解答題

1、解：圓錐的高，圓柱的底面半徑，

2、解：