19、多面體有關(guān)概念：

（1）多面體：由若干個平面多邊形圍成的空間圖形叫做多面體。圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面。多面體的相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱。

（2）多面體的對角線：多面體中連結(jié)不在同一面上的兩個頂點的線段叫做多面體的對角線。

（3）凸多面體：把一個多面體的任一個面伸展成平面，如果其余的面都位于這個平面的同一側(cè)，這樣的多面體叫做凸多面體。

20、棱柱：

（1）棱柱的分類：①按側(cè)棱是否與底面垂直分類：分為斜棱柱（側(cè)棱不垂直于底面）和直棱柱（側(cè)棱垂直于底面），其中底面為正多邊形的直棱柱叫正棱柱。②按底面邊數(shù)的多少分類：底面分別為三角形，四邊形，五邊形…，分別稱為三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；

（2）棱柱的性質(zhì)：①棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等，直棱柱的各個側(cè)面都是矩形，正棱柱的各個側(cè)面都是全等的矩形。②與底面平行的截面是與底面對應(yīng)邊互相平行的全等多邊形。③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形。比如：

①斜三棱柱A₁B₁C₁－ABC，各棱長為，A₁B=A₁C=，則側(cè)面BCC₁B₁是____形，棱柱的高為_____（答：正方；）；

②下列關(guān)于四棱柱的四個命題：①若有兩個側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；②若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直棱柱；③若四個側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直棱柱；④若四棱柱的四條對角線兩兩相等，則該四棱柱為直棱柱。其中真命題的為_____（答：②④）。

21、平行六面體：

（1）定義：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體；

（2）幾類特殊的平行六面體：{平行六面體}{直平行六面體}{長方體}{正四棱柱}{正方體}；

（3）性質(zhì)：①平行六面體的任何一個面都可以作為底面；②平行六面體的對角線交于一點，并且在交點處互相平分；③平行六面體的四條對角線的平方和等于各棱的平方和；④長方體的一條對角線的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和。

如長方體三度之和為a+b+c＝6，全面積為11，則其對角線為_____（答：5）

22、棱錐的性質(zhì)：如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點至截面距離與棱錐高的平方比，截得小棱錐的體積與原來棱錐的體積比等于頂點至截面距離與棱錐高的立方比。

如若一個錐體被平行于底面的平面所截，若截面面積是底面積的，則錐體被截面截得的一個小棱錐與原棱錐體積之比為_____（答：1∶8）

23、正棱錐：（1）定義：如果一個棱錐的底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐。特別地，側(cè)棱與底面邊長相等的正三棱錐叫做正四面體。

如四面體中，有如下命題：①若，則；②若分別是的中點，則的大小等于異面直線與所成角的大??；③若點是四面體外接球的球心，則在面上的射影是外心；④若四個面是全等的三角形，則為正四面體。其中正確的是___（答：①③）

（2）性質(zhì)：①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等。②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長可組成四個直角三角形。如圖，正棱錐的計算集中在四個直角三角形中：，，其中分別表示底面邊長、側(cè)棱長、側(cè)面與底面所成的角和側(cè)棱與底面所成的角。比如：

①在三棱錐的四個面中，最多有___個面為直角三角形（答：4）；

②把四個半徑為R的小球放在桌面上，使下層三個，上層一個，兩兩相切，則上層小球最高處離桌面的距離為________（答：）。

24、側(cè)面積（各個側(cè)面面積之和）：

①棱柱：側(cè)面積＝直截面（與各側(cè)棱都垂直相交的截面）周長×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的側(cè)面積＝底面周長×側(cè)棱長。比如：

（1）長方體的高為h，底面積為Q，垂直于底的對角面的面積為M，則此長方體的側(cè)面積為______（答：）；

②斜三棱柱ABC- A₁B₁C₁中，二面角C-A₁A-B為120°，側(cè)棱AA₁于另外兩條棱的距離分別為7cm、8cm，AA₁=12cm，則斜三棱柱的側(cè)面積為______（答：）；

③若斜三棱柱的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，相鄰兩側(cè)棱之間的距離都為5，則該三棱柱的側(cè)面積為______（答：120）。

（2）正棱錐：正棱錐的側(cè)面積＝×底面周長×斜高。比如：

①已知正四棱錐P－ABCD的高為4，側(cè)棱與底面所成的角為60°，則該正四棱錐的側(cè)面積是_______（答：）；

②已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H.設(shè)四面體EFGH的表面積為T，則等于______（答：）。

提醒：全面積（也稱表面積）是各個表面面積之和，故棱柱的全面積＝側(cè)面積＋2×底面積；棱錐的全面積＝側(cè)面積＋底面積。

25、體積：

（1）棱柱：體積＝底面積×高，或體積＝直截面面積×側(cè)棱長，特別地，直棱柱的體積＝底面積×側(cè)棱長；三棱柱的體積（其中為三棱柱一個側(cè)面的面積，為與此側(cè)面平行的側(cè)棱到此側(cè)面的距離）。比如：

①設(shè)長方體的三條棱長分別為a、b、c，若長方體所有棱的長度之和為24，一條對角線長度為5，體積為2，則等于__（答：）；

②斜三棱柱的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，側(cè)棱AA₁和AB、AC都成45°的角，則棱柱的側(cè)面積為___，體積為___（答：；）。

（2）棱錐：體積＝×底面積×高。比如：

①已知棱長為1的正方體容器ABCD—A₁B₁C₁D₁中，在A₁B、A₁B₁、B₁C₁的中點E、F、G處各開有一個小孔，若此容器可以任意放置，則裝水較多的容積（小孔面積對容積的影響忽略不計）是_____（答：）；

②在正三棱錐A-BCD中，E、F是AB、BC的中點，EF⊥DE，若BC=，則正三棱錐A-BCD的體積為__（答：）；

③已知正三棱錐底面邊長為，體積為，則底面三角形的中心到側(cè)面的距離為___（答：）；

④在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a,b，斜邊上的高為h，則。類比這一結(jié)論，在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩點互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P—ABC的高為h，則結(jié)論為______________（答：）．

特別提醒：求多面體體積的常用技巧是割補法（割補成易求體積的多面體。

補形：三棱錐三棱柱平行六面體；

分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是        （答：1：2：3）和等積變換法(平行換點、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等。比如：

（1）用平面去截三棱錐，與三條側(cè)棱交于三點，若，，則多面體的體積為_____（答：7）；

（2）直三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積為，P、Q分別是側(cè)棱AA₁、CC₁上的點，且AP=C₁Q，則四棱錐B—APQC的體積為       （答：）；

（3）如圖的多面體ABC-DEFG中，AB、AC、AD兩兩垂直，平面ABC∥DEFG，平面BEF∥ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，則該多面體的體積為________（答：4）。

26、正多面體：

（1）定義：每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，每個頂點為端點都有相同棱數(shù)的凸多面體，叫做正多面體。

（2）正多面體的種類：只有正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中正四面體、正八面體和正二十面體的每個面都是正三角形，正六面體的每個面都是正方形，正十二面體的每個面都是正五形邊，如下圖：

正四面體　   　正六面體　　  正八面體　　　正十二面體　　　正二十面體

27、球的截面的性質(zhì)：用一個平面去截球，截面是圓面；球心和截面圓的距離d與球的半徑R及截面圓半徑r之間的關(guān)系是r＝。

提醒：球與球面的區(qū)別（球不僅包括球面，還包括其內(nèi)部）。比如：

（1）在半徑為10的球面上有三點，如果，則球心到平面的距離為______（答：）；

（2）已知球面上的三點A、B、C，AB=6，BC=8，AC=10，球的半徑為13，則球心到平面ABC的距離為______（答：12）

28、球的體積和表面積公式：V＝。比如：

（1）在球內(nèi)有相距9cm的兩個平行截面，面積分別為49cm²、400cm²，則球的表面積為______（答：）；

（2）三條側(cè)棱兩兩垂直且長都為1的三棱錐P-ABC內(nèi)接于球O，求球O的表面積與體積。（答：表面積，體積）；

（3）已知直平行六面體的各條棱長均為3，，長為2的線段的一個端點在上運動，另一端點在底面上運動，則的中點的軌跡（曲面）與共一頂點的三個面所圍成的幾何體的體積為為______（答：）；

29、立體幾何問題的求解策略是通過降維，轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，具體方法表現(xiàn)為：

（1）求空間角、距離，歸到三角形中求解；

（2）對于球的內(nèi)接外切問題，作適當?shù)慕孛妯D―既要能反映出位置關(guān)系，又要反映出數(shù)量關(guān)系。比如：

①甲球與某立方體的各個面都相切，乙球與這個立方體的各條棱都相切，丙球過這個立方體的所有頂點，則甲、乙、丙三球的半徑的平方之比為_____（答：1∶2∶3）；

②若正四面體的棱長為，則此正四面體的外接球的表面積為_____（答：）；

③已知一個半徑為的球中有一個各條棱長都相等的內(nèi)接正三棱柱，則這一正三棱柱的體積是_____（答：）；

（3）求曲面上兩點之間的最短距離，通過化曲為直轉(zhuǎn)化為同一平面上兩點間的距離。

如已知正方體的棱長為1，是的中點，是上的一點，則的最小值是_____（答：）；

30、你熟悉下列結(jié)論嗎？

⑴三個平面兩兩相交得到三條交線，如果其中的兩條交線交于一點，那么第三條交線也經(jīng)過這一點；

⑵從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，則點A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分線上；

⑶AB和平面所成的角是，AC在平面內(nèi)，AC和AB的射影成，設(shè)∠BAC=,則coscos=cos；

⑷如果兩個相交平面都與第三個平面垂直，那么它們的交線也垂直于第三個平面；

⑸若長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則cos²+cos²+cos²=1；若長方體的體對角線與過同一頂點的三側(cè)面所成的角分別為則cos²+cos²+cos²=2。比如：

①長方體中若一條對角線與過同一頂點的三個面中的二個面所成的角為30°、45°，則與第三個面所成的角為____________（答：30°）；

②若一條對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為，則的關(guān)系為____________。（答：）

⑹若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。

如若正三棱錐的一個側(cè)面的面積與底面面積之比為，則這個三棱錐的側(cè)面和底面所成的二面角等于__（答：）

⑺在三棱錐中：①側(cè)棱長相等(側(cè)棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；②側(cè)棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；③頂點到底面三角形各邊的距離相等(側(cè)面與底面所成角相等)且頂點在底面上的射影在底面三角形內(nèi)頂點在底上射影為底面內(nèi)心。

提醒：③若頂點在底面上的射影在底面三角形外，則頂點在底上射影為底面的旁心。

　?、陶襟w和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R：r＝3：1。