解析解與數(shù)值解

    在解組件特性相關(guān)的方程式時，大多數(shù)的時候都要去解偏微分或積分式，才能求得其正確的解。依照求解方法的不同，可以分成以下兩類：解析解和數(shù)值解。

解析解(analytical solution)就是一些嚴(yán)格的公式,給出任意的自變量就可以求出其因變量,也就是問題的解, 他人可以利用這些公式計算各自的問題. 所謂的解析解是一種包含分式、三角函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)甚至無限級數(shù)等基本函數(shù)的解的形式。用來求得解析解的方法稱為解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常見的微積分技巧，例如分離變量法等。解析解為一封閉形式〈closed-form〉的函數(shù)，因此對任一獨(dú)立變量，我們皆可將其帶入解析函數(shù)求得正確的相依變量。因此，解析解也被稱為閉式解（closed-form solution）

數(shù)值解(numerical solution)是采用某種計算方法,如有限元的方法, 數(shù)值逼近,插值的方法, 得到的解.別人只能利用數(shù)值計算的結(jié)果, 而不能隨意給出自變量并求出計算值. 當(dāng)無法藉由微積分技巧求得解析解時，這時便只能利用數(shù)值分析的方式來求得其數(shù)值解了。數(shù)值方法變成了求解過程重要的媒介。在數(shù)值分析的過程中，首先會將原方程式加以簡化，以利后來的數(shù)值分析。例如，會先將微分符號改為差分符號等。然后再用傳統(tǒng)的代數(shù)方法將原方程式改寫成另一方便求解的形式。這時的求解步驟就是將一獨(dú)立變量帶入，求得相依變量的近似解。因此利用此方法所求得的相依變量為一個個分離的數(shù)值〈discrete values〉，不似解析解為一連續(xù)的分布，而且因為經(jīng)過上述簡化的動作，所以可以想見正確性將不如解析法來的好。
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數(shù)值解是在特定條件下通過近似計算得出來的一個數(shù)值，而解析解為該函數(shù)的解析式

解析解就是給出解的具體函數(shù)形式，從解的表達(dá)式中就可以算出任何對應(yīng)值；
數(shù)值解就是用數(shù)值方法求出解，給出一系列對應(yīng)的自變量和解。

解析解，即解可以表示為函數(shù)表達(dá)式的形式；數(shù)值解，即解可以表示為離散的解(數(shù)據(jù))形式；對于非線性問題，解析解一般都是近似的，數(shù)值解是較精確的

解析解一般可以理解為通過已經(jīng)有的方法，是對應(yīng)的問題在這個解決域上，進(jìn)行變換演繹得到解的一種結(jié)果，變換過程也會有增根或漏根。

數(shù)值解是將問題化解為比較多的子域，然后用比較簡單的已知函數(shù)來逼近需求函數(shù)的相關(guān)問題。

解析法要求基本功比較強(qiáng)，對概念理解非常有利，僅適合簡單形式問題；數(shù)值解比較簡單，要求運(yùn)算量大，適合工程實(shí)際中的復(fù)雜問題。

解析解是解的形式可以表達(dá)為一個顯式函數(shù)的表達(dá)式的解；而數(shù)值解其解的形式不能表達(dá)為顯式函數(shù)，只能通過數(shù)值計算的方式求解，得到的是一系列離散的數(shù)值，不能表達(dá)為一個明確的函數(shù)的形式。對于大多數(shù)問題是得不到解析解的，只能得到數(shù)值解。能得到解析解的只是一小部分問題，而且通常有比較嚴(yán)格的限制條件。解析解能夠很直觀的體現(xiàn)各參數(shù)之間的關(guān)系，對于定性分析是很重要的。對于得不到解析解的問題，進(jìn)行數(shù)值計算得到數(shù)值解，對于工程應(yīng)用很重要。
所謂精確解和近似解，是從算法上決定的。一般的力學(xué)模型都是有一定的使用和假設(shè)條件的，主要是看在求解有關(guān)的問題時，計算的結(jié)果與模型的真實(shí)值的誤差是否為零，如果為零，則是精確解法，如算法本身不能保證得到真實(shí)值，則是近似解法，與其是否是解析解無關(guān)，與是否是手算和機(jī)算也無關(guān)。簡單的例子，如結(jié)構(gòu)力學(xué)中的結(jié)構(gòu)有限元法得出的是精確解，而對于多高層結(jié)構(gòu)的分層法則是近似解法。以上兩種方法都是數(shù)值解法，但有限元法（指結(jié)構(gòu)力學(xué)中的矩陣位移法）直接求解的結(jié)構(gòu)的平衡方程，求解過程中沒有對方程進(jìn)行近似的假設(shè)，而分層法對則是利用力矩分配法的研究成果，對于不符和利用力矩分配法的高層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了近似，所以求得的是近似解。有限元法多在計算機(jī)上進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，而分層法是早期計算機(jī)沒有出現(xiàn)或還不普及的時候，工程師們解決實(shí)際問題的時候所采用的方法。分層法所得到的結(jié)果雖然是近似的，與真實(shí)結(jié)果有一定的誤差，但只要誤差在一定的范圍內(nèi)，則是可以作為設(shè)計的依據(jù)進(jìn)行使用的。再如有限元法和力矩分配法，兩種算法都是精確解法，只要單元取得足夠多，或者分配的次數(shù)足夠多，算法本身能夠保證其結(jié)果是精確解。但是很多情況下是沒有必要的，單元太多或者分配次數(shù)太多，往往會帶來計算量過大的問題，只要誤差在一定的范圍內(nèi)，是可以滿足工程應(yīng)用的要求的。
對于非線性問題，由于計算上的困難，一般得到的是近似的數(shù)值解。