走進(jìn)數(shù)學(xué)思維（三）：轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)活動

南京大學(xué)教授  鄭毓信

作為數(shù)學(xué)課程改革的指導(dǎo)性文件，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在經(jīng)過了幾年的修改以后現(xiàn)正處于最后的審查之中。據(jù)相關(guān)報道：新的“修訂稿”與原來的“實驗稿”相比在“課程目標(biāo)”上有較大改動：不僅重新引入了過去一貫強(qiáng)調(diào)的“雙基”，而且又新增加了兩個：一個是“基本(數(shù)學(xué))思想”，另一個是“基本(數(shù)學(xué))活動經(jīng)驗”；由于對“雙基”的突出強(qiáng)調(diào)正是我國數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)的一項重要內(nèi)容，因此，重新提出“雙基”清楚地表明了    這樣一種立場：在強(qiáng)調(diào)改革的同時，我們也應(yīng)十分重視優(yōu)良傳統(tǒng)的繼承和發(fā)展。另外，就我們當(dāng)前的論題而言，我們顯然應(yīng)特別關(guān)注后兩項新增加的內(nèi)容。以下對“數(shù)學(xué)活動”作出具體分析。

    首先應(yīng)當(dāng)肯定，對于“數(shù)學(xué)活動”的強(qiáng)調(diào)清楚地表明了這樣一種觀念：我們不應(yīng)將數(shù)學(xué)等同于各種具體數(shù)學(xué)知識的簡單匯集，而應(yīng)主要地看成人類的一種創(chuàng)造性活動。    這也就是所渭的“動態(tài)的數(shù)學(xué)觀”。 例如，美國著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格曾明確指出：“兩千多年來，數(shù)學(xué)一直被認(rèn)為是與人類的活動和價值觀念無關(guān)的毋庸置疑的真理的集合。現(xiàn)在這一觀念遭到了越來越多的數(shù)學(xué)哲學(xué)家的挑戰(zhàn)，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是可錯的、變化的，并和其他知識一樣都是人類創(chuàng)造的產(chǎn)物……這種動態(tài)的數(shù)學(xué)觀具有重要的教育含義。”

    顯然，從這一角度去分析，數(shù)學(xué)教育中對于解題活動的高度重視就是十分自然的了，后者就構(gòu)成了20世紀(jì)80年代在世界范圍內(nèi)盛行的“問題解決”這一‘改革運(yùn)動的直接背景，另外，就我國新一輪的數(shù)學(xué)課程改革而言，則又可以提及關(guān)于“知識技能目標(biāo)”與“過程性目標(biāo)”的區(qū)分，特別是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)使學(xué)生“獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”，包括“經(jīng)歷(感受)，體驗(體會)和探索等”。

綜上可見．將“基本活動經(jīng)驗”明確納入“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)”之中具有一定的合理性。但是，從教學(xué)的角度看，我們顯然又應(yīng)更加深入地去思考這樣兩個問題：第一，如何能對“基本活動經(jīng)驗”作出更加清楚的界定，特別是能夠針對各個學(xué)段學(xué)生的特點(diǎn)在這一方面提出更加明確的要求?第二，我們應(yīng)如何去進(jìn)行“基本活動經(jīng)驗”的教學(xué)，特別是，應(yīng)當(dāng)如何去處理這一內(nèi)容的教學(xué)與具體數(shù)學(xué)知識和技能(以及基本數(shù)學(xué)思想)教學(xué)之間的關(guān)系?更為一般地說，這也就是指，應(yīng)當(dāng)如何去處理“過程”與“結(jié)果”之間的關(guān)系?

筆者以為，相對于“基本思想”而言，“基本活動經(jīng)驗”的界定要困難得多。進(jìn)而，又由于在數(shù)學(xué)活動與具體數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)思維的學(xué)習(xí)之間明顯存在相互滲透、互相依賴的辯證關(guān)系，因此，我們就有必要更加直接地提出這樣一個問題：在“數(shù)學(xué)課程目標(biāo)”中是否真有必要單獨(dú)列入“基本(數(shù)學(xué))活動經(jīng)驗”這樣一項內(nèi)容?

    為了清楚地說明問題，我們先來看一些實例。例如，正如前一節(jié)的論述所表明的，“分類”既可看成一種基本的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種基本的數(shù)學(xué)活動，特別是，只有通過相關(guān)的實踐我們才能真正掌握這樣一種數(shù)學(xué)思想，而這事實上也就是獲得相關(guān)經(jīng)驗的過程。這里的關(guān)鍵不在于如何能對這兩者作出清楚的區(qū)分，而是應(yīng)當(dāng)很好把握這兩者之間的辯證關(guān)系。

    就當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)而言，除去“分類”以外，“找規(guī)律”和“估算”這樣兩種活動應(yīng)當(dāng)說也得到了特別的重視：不僅各種現(xiàn)行的教材包含了這兩方面的專門內(nèi)容，而且它們往往也是各種教學(xué)觀摩所經(jīng)常選用的題材。但是，這兩種數(shù)學(xué)活動是應(yīng)當(dāng)看成與具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)完全無關(guān)的，從而將其作為單獨(dú)的一項內(nèi)容加入到教材之中，還是應(yīng)當(dāng)將其滲透于具體知識內(nèi)容的教學(xué)之中，從而不僅幫助學(xué)生逐步獲得相關(guān)的經(jīng)驗，而且使其更好地認(rèn)識這些活動的作用和意義?

    相信任何對于小學(xué)數(shù)學(xué)較為熟悉的人都一定會得出這樣的結(jié)論：如“分類”一樣，“找規(guī)律”和“估算”作為兩項基本的數(shù)學(xué)活動在小學(xué)數(shù)學(xué)中也有著十分廣泛的應(yīng)用。例如，任何一個算法的得出顯然都可以看成“找規(guī)律”的直接結(jié)果；同樣，我們也未必一定等到專門講“估算”時才讓學(xué)生去進(jìn)行估算，而應(yīng)將這一活動滲透于平時的學(xué)習(xí)活動之中，如利用估算對已獲得的計算結(jié)果進(jìn)行檢驗等。

另外，在筆者看來，以下情況的出現(xiàn)就不能不說是單獨(dú)進(jìn)行“估算”教學(xué)所造成的一個消極后果。

【例七】“老師，這題要估算嗎？”（王凌、余慧娟，《關(guān)于數(shù)學(xué)教育若干重要問題的探討》，《人民教育》2008年第7期）

王：我們可以聯(lián)想到利用估算來解決相關(guān)實際問題的教學(xué)。教師創(chuàng)設(shè)了情境來引導(dǎo)學(xué)生感受估算的作用，但學(xué)生首先將其看成是一道在課內(nèi)亟待解決的數(shù)學(xué)題，于是往往會首先算出精確結(jié)果，再保留其近似值，或者為尋求更接近準(zhǔn)確值的近似值而不斷地調(diào)整，或者看著情境圖中的數(shù)據(jù)在心中利用豎式相加尋求估算結(jié)果……教學(xué)中的問題是學(xué)生并不明晰什么時候該用估算，什么時候該精確計算，因此往往會提出這樣的問題：“老師，這題要估算嗎?”

    與此相對照，以下的教學(xué)實例其亮點(diǎn)之一就是將“估算”這樣一種數(shù)學(xué)活動很好地滲透到了相應(yīng)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)過程之中。

    【例八】“小數(shù)乘整數(shù)”與估算（賁友林，《“小數(shù)乘整數(shù)”教學(xué)實錄與反思》，《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2007年第10期）   

任課教師在此首先采用了“讓學(xué)生借助已有經(jīng)驗探索小數(shù)乘整數(shù)的計算方法”的教學(xué)策略，即通過若干購物實例(如，鉛筆每支0.3元，買2支鉛筆要多少元?)引出了“小

數(shù)乘整數(shù)”，并通過比較和總結(jié)指明了相應(yīng)的解題策略。

    師：大家的算法差不多。從剛才交流算法的過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，在計算小數(shù)乘整數(shù)的時候，都是把它先看做——

    生：整數(shù)乘整數(shù)。

    其次，教師又要求學(xué)生試著用豎式占汁算2.35×3。在這一過程中十分自然地滲透了“估算”這樣一種數(shù)學(xué)活動。

    例如，教師通過以下的實際問題引出了相應(yīng)的算式：“媽媽買了一個西瓜，正好3千克，每千克2.35元……”但在具體計算前，教師又提出了這樣一些問題：“5元，夠

嗎?”……“10元呢?”

    然后，在學(xué)生嘗試著用豎式進(jìn)行了計算以后，教師又做了如下的總結(jié)：

    師：……剛才口述的這一段內(nèi)容，是按照整數(shù)乘法的算法在進(jìn)行計算……當(dāng)成整數(shù)乘法計算之后，還要——

    生：在積中點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

    師：這一題積中的小數(shù)點(diǎn)應(yīng)該點(diǎn)在什么位置?

    師：聯(lián)系這之前我們的估算，積比6多(因為在回答“5元，夠嗎”這一問題時，一個學(xué)生做出了這樣的估算：2×3=6)，比9少(這是指另一學(xué)生在回答“10元呢”時所做出的估算：3×3=9)……關(guān)于在積中小數(shù)點(diǎn)的位置，你有什么想法？

對于“找規(guī)律”我們也可做出同樣的分析。以下就是這方面的一個很好實例：任課教師在此同樣將“找規(guī)律”這一活動與相關(guān)知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)很好地結(jié)合了起來。

【例九】“小數(shù)乘整數(shù)與找規(guī)律”（張勇成，《把準(zhǔn)學(xué)習(xí)起點(diǎn)的“脈”——“小數(shù)乘整數(shù)”教學(xué)實錄與反思，《小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》2007年第10期》

師：有些小數(shù)和整數(shù)相乘很簡單，同學(xué)們口算就可以解決了，請看——(出示圖1)涂色部分用小數(shù)表示是多少?

    生：0.1。

    師：你是怎么想的?

    生：把正方形看做1，正方形被平均分成了10份，其中的1份就是它的，也就是0.1。

    師：很好，這樣的4份呢?

    生：是0.4，把正方形平均分成了10份，其中的4份就是它的，也就是0.4。

    生：涂色部分是4個0.1，就是0.4。

    師：4個0.1是多少?可以用怎樣的算式表示?

    生：0.1×4=0.4。

    師：0.1×4就是小數(shù)和整數(shù)相乘，你們很快就得出了結(jié)果。這樣的8份呢?

    生：0.1×8=0.8。

(師出示圖2)

師：涂色部分用小數(shù)表示是多少?

    生：是0.04。

    師：你是怎么想的?

    生：把正方形看做l，正方形被平均分成了100份，4份就是它的，也就是0.04。

    生：1份是它的，也就是0.01。

    涂色部分是4個0.01，就是0.04。

    師：4個0.01是多少?可以用怎樣的算式表示?

    生：0.01×4=0.04。

    師：這樣的23份呢?

    生：0.0l×23=0.23。

(師出示圖3)

    師：涂色的小方塊用小數(shù)表示是多少?為什么?

    (生答略)

    師：9個0.001是多少?可以用怎樣的算式表示?

    生：0.001×9=0.009。

    師：這樣的129個呢?

    生：0.001×129=0.129。

    師：剛才口算的這些乘法，都是哪些小數(shù)與整數(shù)相乘?

    生：都是0.1、0.01、0.001與整數(shù)相乘。

    師：當(dāng)0.1、0.01、0.001與一個整數(shù)相乘時，你們?yōu)槭裁催@么快就得出了結(jié)果?有什么規(guī)律嗎?

    生：乘得的結(jié)果越來越小。

    生：都和幾個零點(diǎn)幾有關(guān)系。

    生：乘得的結(jié)果都是小數(shù)。

    師：同學(xué)們觀察得很仔細(xì)，當(dāng)0.1、0.01、0.001乘一個整數(shù)時，它們的計算結(jié)果是幾位小數(shù)和誰有關(guān)系呢?

    生：和零點(diǎn)幾有關(guān)系。

    師：好的，你們看，0.1是幾位小數(shù)?

    生：一位小數(shù)。

    師：乘得的積呢?

    生：一位小數(shù)。

    師：0.01是幾位小數(shù)?

師：也就是說，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積——

生：就有幾位小數(shù)。   

    然后，在學(xué)生進(jìn)行了一定的練習(xí)之后，教師又將他們的注意力引向了“更為一般的小數(shù)與整數(shù)相乘”的情況：通過對于0.8×3與2.35×3這樣兩道題的分別探究，教師又提出了一個新的問題以引導(dǎo)學(xué)生對這兩者進(jìn)行比較和歸納。

    師：這兩題的計算中，有什么相同的地方?

    生：都是先用整數(shù)乘3，再乘零點(diǎn)幾或零點(diǎn)零幾。

    生：都是把整數(shù)先相乘。

    師：也就是先按整數(shù)乘法算出積?？匆豢?，積的小數(shù)位數(shù)有什么規(guī)律?

    生：積的小數(shù)位數(shù)和因數(shù)的小數(shù)位數(shù)相同。

    師：也就是說，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)。

    顯然，后一結(jié)論的獲得不僅徹底地解決了如何計算“小數(shù)乘整數(shù)”的問題，而且也是一個“找規(guī)律”活動，或者說，這兩者在此得到了很好的結(jié)合。

與此相對照，現(xiàn)在諸多教材中“找規(guī)律”內(nèi)容的一個通病是：我們似乎只是為了找規(guī)律而找規(guī)律，因為其中的大多數(shù)都不能看成真正的數(shù)學(xué)規(guī)律，從而相應(yīng)的探究活動也不能看成真正的數(shù)學(xué)活動。例如，在各種教學(xué)觀摩活動中經(jīng)?？梢钥吹降?#8220;植樹問題”就是這樣的一個實例。因為這一問題的核心顯然在于“一一對應(yīng)”這樣一個數(shù)學(xué)思想，至于各種情況的區(qū)分(是否需要加1或減1)與其說表明了不同的規(guī)律，倒不如說十分清楚地表明了這樣一點(diǎn)：無論就數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)或問題解決而言，重要的并不在于求全，特別是如何能夠依據(jù)不同情況牢牢地記住各個相關(guān)的法則或解題方法，而是應(yīng)當(dāng)善于求聯(lián)，求變，即應(yīng)當(dāng)將不同的情況聯(lián)系起來加以考查，并能通過適當(dāng)變化以核心內(nèi)容去帶動其他內(nèi)容。

最后，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是：在教學(xué)中我們不應(yīng)片面地去強(qiáng)調(diào)過程或結(jié)果中的任一方面，而應(yīng)“過程與結(jié)果并重”，也就是應(yīng)很好地去把握兩者之間的辯證關(guān)系。例如，在筆者看來，我們顯然應(yīng)從這樣的角度去理解國際數(shù)學(xué)教育委員會(ICMI)所組織的專題研究《數(shù)學(xué)與認(rèn)知》中所給出的如下結(jié)淪：

“這些工作所涉及的……是如何像數(shù)學(xué)家那樣去工作……即如何構(gòu)造一個證明或反例，如何選擇一個一般性的例子，如何使定義精確化，等等。這些訣竅(know-hows)并不是任何課程的明顯內(nèi)容，但如果對它們?nèi)狈φJ(rèn)識與理解，學(xué)生便注定只能低層次地模仿教師……”

“人們普遍地認(rèn)識到諸如形象化、解題策略和各種表征之間的關(guān)系等論題有一定的問題，而造成這種現(xiàn)象的原因就在于它們一直被認(rèn)為是可以自動學(xué)會的。但我們現(xiàn)在知道，在教學(xué)和學(xué)習(xí)的過程中必須明確地予以注意。對于它們應(yīng)當(dāng)明確地去教，但又不是作為一個單獨(dú)的課題，而是滲透于整個課程之中，滲透于各個課題之中。”

當(dāng)然，以上的論述又不應(yīng)理解成反對“幫助學(xué)生獲得一定的基本活動經(jīng)驗”，恰恰相反，筆者只是希望清楚地表明這樣一點(diǎn)：在明確提出上述目標(biāo)的同時，我們也應(yīng)注意

防止各種簡單化的認(rèn)識，特別是防止將各個目標(biāo)絕對地分割開來。

走進(jìn)數(shù)學(xué)思維（四）(2008-12-09 10:36:50)

數(shù)學(xué)思維的科學(xué)（４）

作者:南京大學(xué)教授 鄭毓信

　　　由前面關(guān)于“數(shù)學(xué)活動”的分析我們顯然可以獲得這樣的啟示：就數(shù)學(xué)思維的教學(xué)而言，最有效的方法是將其滲透于具體數(shù)學(xué)知識與技能的教學(xué)之中，因為這不僅可以使  學(xué)生更好地體會數(shù)學(xué)思維的作用和意義，從而真正成為可以學(xué)到手和能夠加以推廣應(yīng)用的，也可使相關(guān)的知識內(nèi)容成為可以理解的，從而徹底改變囫圇吞棗、死記硬背的現(xiàn)  象。

應(yīng)當(dāng)指明的是，這事實上也可看成中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)實踐所給予我們的一個重要教益。具體地說，從20世紀(jì)80年代開始，作為研究數(shù)學(xué)思維的一門專門學(xué)問，數(shù)學(xué)方法論在我國得到了迅速發(fā)展，不僅獲得了一系列重要的研究成果，而且也在促進(jìn)實際數(shù)學(xué)教學(xué)活動方面取得了突出成績，這就是“數(shù)學(xué)方法論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)”。(對此可參見鄭毓信所著的《數(shù)學(xué)方法論》，廣西教育出版社，1991年版；或鄭毓信所著的人數(shù)學(xué)方法論入門夕，浙江教育出版灶，2006年版)

　　　基于這樣的背景，以下情況的出現(xiàn)就十分自然了，即有不少學(xué)者都力圖將“數(shù)學(xué)方法論”及其相關(guān)成果直接推廣應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。但是，根據(jù)筆者的親身體驗，我們首先應(yīng)清楚地認(rèn)識到這樣一點(diǎn)：如果不能針對小學(xué)數(shù)學(xué)的具體內(nèi)容與小學(xué)生的認(rèn)知水平進(jìn)行具體分析，任何簡單的移植都不可能獲得成功。例如，有不少這樣的論著，盡管它們都以“小學(xué)數(shù)學(xué)方法論”(或其他類似的題目)作為書名或標(biāo)題，但其主要內(nèi)容則源白一般的數(shù)學(xué)方法論著作，如“函數(shù)思想”“極限思想”“集合思想”的詳細(xì)論述等。在筆者看來，這些事實上都已超出了小學(xué)生的接受水平。

為了清楚地說明問題，以下就以“類比(聯(lián)想)”為例來進(jìn)行分析。正如人們所廣泛了解的，在一般的數(shù)學(xué)方法論著作中，類比常常被列為最基本的一種數(shù)學(xué)思維。也就是說，在數(shù)學(xué)中我們常常可以通過兩類不同對象的比較獲得一定的聯(lián)想，包括由已知的結(jié)論引出關(guān)于未知對象的新的猜測，以及由已有的知識獲得關(guān)于如何求解所面臨的新問題的有益啟示等。盡管在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中我們也可找到類比的諸多應(yīng)用，但同時又應(yīng)清楚地看到這樣一點(diǎn)：相對于簡單的比較與分類而言，類比應(yīng)當(dāng)說代表了更為復(fù)雜的一種思維形式。因為作為類比的對象必定是兩類不同的對象，盡管在類比時也用到了比較，但我們的目的是“觸類旁通”，即如何能夠通過找出兩類不同對象之間的類似之處從而引出一定的聯(lián)想，而聯(lián)想的核心就在于“求同存異”。“求同”是指，為了應(yīng)用類比，我們并不需要相關(guān)對象在所有各個方面都彼此相似，而只要求兩者在某一方面或在某一抽象層次上是相似的；所謂的“存異”則是指新的猜測的產(chǎn)生并不是簡單的重復(fù)、模仿，而是一種創(chuàng)造性的工作，特別是在由已知事實去引出新的猜測時，我們必須注意分析兩者之間所存在的差異，并依據(jù)對象的具體情況作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

　　正因為類比必須以一定的知識作為聯(lián)想的基礎(chǔ)，而且要用到“求同存異”這樣一種相當(dāng)復(fù)雜的思維形式，因此，要求小學(xué)生，特別是低年級小學(xué)生掌握這樣一種思維方式是十分困難的；毋寧說，我們應(yīng)首先要求學(xué)生較好地掌握簡單的比較與分類。

　　另外，以下的真實故事顯然也就表明：與所謂的“集合思想”相比，要求小學(xué)生掌握分類的思想可能更為恰當(dāng)。

【例十】“除非它們都能站起來！”

這一故事發(fā)生在20世紀(jì)60年代，當(dāng)時“新數(shù)運(yùn)動”作為風(fēng)靡全球的一次數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動正處于高潮之中，而其核心思想就是認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想對傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教  育作出改造。由于集合的概念在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，因此，下述情況的出現(xiàn)就不足為奇了。

　　　一個數(shù)學(xué)家的女兒從幼兒園放學(xué)回到家中，父親問她今天學(xué)到了什么。女兒高興地回答道：“我們今天學(xué)了‘集合’。”數(shù)學(xué)家覺得這樣一個高度抽象的概念，對于女兒這樣年齡的孩子來說實在太難理解了，因此就關(guān)切地問道：“你懂嗎?”女兒肯定地回答道：“懂！一點(diǎn)也不難。”“這么抽象的概念會這樣容易理解嗎?”聽了女兒的回答，作為數(shù)學(xué)家的父親仍然放心不下，因此又追問道：“你們的老師是怎么教你們的?”女兒回答道：“老師先讓班上所有的男孩子站起來，然后告訴大家這就是男孩子的集合；她又讓所有的女孩子站起來，并說這是女孩子的集合；接下來，又是白人孩子的集合、黑人孩子的  集合……最后，教師問全班：‘大家是否都懂了?’她得到了肯定的答復(fù)。”

　　顯然，這個教師所采用的教學(xué)方法并沒有什么問題，甚至可以說相當(dāng)不錯。因此，父親就決定用以下的問題作為最后的檢驗：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個集合?”女兒遲疑了一會，最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來！”

基于同樣的認(rèn)識，筆者以為，要小學(xué)生掌握函數(shù)思想、極限思想也有點(diǎn)高不可攀；毋寧說，即使就小學(xué)高年級學(xué)生而言，幫助他們初步理解變化的思想與無限的思想恐怕才真正可行。

　　以下再轉(zhuǎn)向如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思維教學(xué)的問題，特別是如何用思維方法的分析帶動具體知識內(nèi)容的教學(xué)，對此也可先來看一個實例。

【例十一】少年時代的高斯如何很快求得1+2+3+……+99=4950的？

由于缺乏可靠的資料，我們現(xiàn)在已不可能準(zhǔn)確地知道少年時代的高斯究竟是如何很快求得1+2+3+…+99=4950的。但是，通過如下的“方法淪重建”，我們?nèi)匀豢梢赃_(dá)到“化神奇為平凡、化復(fù)雜為簡單”的目的。

以下的解題過程(如圖1)是學(xué)生們較為熟悉的：

　　因此，由簡單的類比我們就可想到：為了求得S=1+2+3+…+99的結(jié)果，我們可以首先去計算：

　　2S=(1+2+3+……+99)+(99+98+97+……+1)=100×99=9900

　　　這樣，我們就可立即獲得最終的結(jié)果：S=4950。

　　顯然，“方法論重建”十分清楚地表明了教學(xué)工作的創(chuàng)造性。而其根本意義在于，通過深入揭示隱藏在具體數(shù)學(xué)知識背后的思維方法，可以把數(shù)學(xué)課真正“講活”“講懂”

　　“講深”：通過方法論的重建，我們可以向?qū)W生展現(xiàn)“活生生的”數(shù)學(xué)研究工作，而不是死的數(shù)學(xué)知識，這就是所謂的“講活”；還可以幫助學(xué)生真正理解有關(guān)教學(xué)內(nèi)容，而不是囫圇吞棗、死記硬背，這就是“講懂”；我們不僅能使學(xué)生掌握具體的數(shù)學(xué)知識，而且也能幫助學(xué)生逐步領(lǐng)會乃至掌握內(nèi)在的思維方法，這也就是所謂的“講深”。

以下的實例則集中地表明了數(shù)學(xué)家在面對問題時是如何進(jìn)行思考和探索的，特別是一些定型的問題和建議更可看成所謂的“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”(或者說“解題策略”)的核心所

在。

【例十二】“幻方”

如何在圖2所示的九個方格中分別填人1-9這九個自然數(shù)，使得每一行、每一列、每條對角線上的數(shù)的和都相等?

圖2

首先，可以考慮這樣一個問題：什么樣的信息可以使得這一問題變得較為容易求解?顯然，如果我們能知道每一行、每一列、每條對角線上的數(shù)的和究竟是多少，這個問題就會變得較為容易求解。從而，我們事實上就用到了這樣一條啟發(fā)性原則：

　　設(shè)立次目標(biāo)：努力求得部分的結(jié)果，并利用它作為出發(fā)點(diǎn)去求取剩余的部分。

　　然而，我們怎樣才能求得所說的和呢?假設(shè)我們已經(jīng)獲得了所要求的答案，我們可以由此去推出答案所必然具有的性質(zhì)。

現(xiàn)假設(shè)所說的和為S，把三列全部加起來，其和顯然為3S。但它同時又等于1～9這九個數(shù)的和，即45，從而就有S=15。

　　在此我們用到了這樣的啟發(fā)性原則：

　　從后往前推：假設(shè)我們已經(jīng)獲得了答案，由此從后往前推以確定它所必然具有的性質(zhì)。

接著，我們再考慮這樣一個問題：在所有九個方格中哪一個最為重要?顯然是正中間的那個。以下就是相應(yīng)的啟發(fā)性原則：

　　關(guān)鍵性原則：集中注意于關(guān)鍵點(diǎn)常常會給你帶來力量。

能否把9放在正中間的方格?不行，因為這時我們就無法放置8了：無論把8放在哪里，我們都必須將9和8加起來，但其和已經(jīng)超過了15，同理，8、7、6這幾個數(shù)顯然也都不能放在中間的方格。1能否放在中間的方格?也不行，因為這時2必然出現(xiàn)在某個地方，而為了使相應(yīng)的行或列或?qū)蔷€上的數(shù)的和為15，就必須加上12，這是不可能的。同理，2、3、4這幾個數(shù)也都不能放在中間的方格。因此，5是放在中間方格的唯一選擇。

上面的推理過程體現(xiàn)了這樣一條啟發(fā)性原則：

　　特殊化原則：首先對特殊的情況進(jìn)行研究。

在確定了5應(yīng)放在中間方格的前提下，再來考慮1應(yīng)當(dāng)放在哪里。容易想到，盡管存在8種可能性，但事實上又可歸結(jié)為這樣的兩類：或者將1放在角的位置上，或者放在四周中間的位置，從而我們只需就圖3所示的這兩種情況進(jìn)行分析就可以了。以下就是相關(guān)的啟發(fā)性原則：

　　對稱性原則：在解題時應(yīng)當(dāng)充分考慮和利用對稱性。

圖3

現(xiàn)假設(shè)把1放在左上角，這時就必須將9放在右下角，這樣才能保證相應(yīng)的對角線上的數(shù)的和為15。進(jìn)而再考慮2的可能位置。同樣依據(jù)對稱性，這時顯然只需考慮如圖4的三種可能性。

圖4

但由仔細(xì)的審視可以看出，這幾種可能性最終都將導(dǎo)致“矛盾”。從而，1必須放在其他的位置。

現(xiàn)假設(shè)把1放在上排中間的位置，這時就必須將9放在下排中間的位置。這時2仍有三種可能的位置(如圖5)。

圖5

現(xiàn)假設(shè)將2放在左上角的位置，容易發(fā)現(xiàn)這時必須在右上角放置12；而如果將2放在中間一行最左邊的位置，則就無法放置3。從而把2放在左下角就是唯一的選擇。

這樣繼續(xù)下去，我們就可獲得最終的答案，如圖6所示。

圖6

上述答案的獲得是否意味著解題活動的結(jié)束?不!我們還應(yīng)繼續(xù)考慮是否有其他的解題方法。

由于原來的問題要把1—9這幾個數(shù)分成這樣的“三數(shù)組”：使其和都等于15。因此，我們也可首先嘗試著把所有這樣的“三數(shù)組”都列舉出來。相應(yīng)的啟發(fā)性原則為：

　　由前往后走：看看利用現(xiàn)有的對象可以得到多少種組合。

例如，以下就是一些可能的組合：(3、5、7)，(8、1、6)，(4、5、6)，(1、5、9)，(7、6、2)，(6、8、1)……

這時是否會出現(xiàn)重復(fù)的情況?顯然，(8、l、6)和(6、8、1)就是這樣的情況，從而就必須去掉一個。另外，我們顯然又應(yīng)防止可能的遺漏。正是基于這樣的考慮，我們就可提出如下的啟發(fā)性原則：

　　系統(tǒng)化原則：系統(tǒng)地去進(jìn)行工作會有很大的幫助。

例如，我們可以按照遞增的次序列舉出所有“三數(shù)組”。以下就是所有可能的“三數(shù)組”：(1、5、9)，  (1、6、8)，  (2、4、9)，(2、5、8)，  (2、6、7)，  (3、4、8)，  (3、5、7)，(4、5、6)。

進(jìn)而，如前面所指出的，中間的方格具有特別的重要性：這一方格中的數(shù)應(yīng)同時包含在4個“三數(shù)組”之中(2條對角線，1條橫行，1條豎列)。對上面所列出的各個數(shù)組進(jìn)行觀察，容易發(fā)現(xiàn)其中只有一個數(shù)同時出現(xiàn)在4個數(shù)組中，這就是5。從而，如果有解的話，中間的數(shù)就一定是5。

那么，角上的數(shù)和四周中間位置的數(shù)又應(yīng)分別是幾呢?顯然，角上的數(shù)將同時包含在3個數(shù)組之中，四周中間位置的數(shù)則將同時屬于2個數(shù)組。由實際觀察可以發(fā)現(xiàn)2、4、6、8這四個數(shù)在上述各個“三數(shù)組”中都出現(xiàn)了3次，1、3、7、9則都出現(xiàn)了2次。從而，如果有解的話，角上的數(shù)就必定是2、4、6、8，四周中間的數(shù)則必定是1、3、7、  9。這樣，上述的問題也就可以立即獲得解決。

由于用不同的方法去求解同一問題不僅可以對已獲得的結(jié)果作出檢驗，通過相互比較我們也可在方法論上實現(xiàn)更大的自覺性，包括實現(xiàn)必要的優(yōu)化。從而，我們就應(yīng)當(dāng)引  出這樣的啟發(fā)性原則：

　　多樣性與優(yōu)化原則：數(shù)學(xué)中往往有不止一種解題方法，我們應(yīng)當(dāng)善于對各種方法加以比較從而實現(xiàn)方法論上更大的自覺性。在筆者看來，上面的論述十分清楚地表明了加強(qiáng)學(xué)習(xí)的重要性，特別是，作為一線數(shù)學(xué)教師我們更應(yīng)加強(qiáng)對于數(shù)學(xué)方法論(更為一般  地說，就是數(shù)學(xué)思維)的學(xué)習(xí)。但是，我們又應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：就所說的學(xué)習(xí)而言，關(guān)鍵不在于“求全”，而是“求用”。這也就是說，我們不應(yīng)將如何能夠無一遺漏地列舉出各種基本的數(shù)學(xué)思維或方法論原則看成這一方面的主要目標(biāo)，我們也不能期望通過閱讀某些專著或聆聽某個專家的報告(特別是，通過將其毫無遺漏地歸結(jié)為甲、乙、丙、丁等幾條)就能很好地把握數(shù)學(xué)思維或數(shù)學(xué)方法論。與單純的理論學(xué)習(xí)相比，我們應(yīng)當(dāng)更加重視自己的切身體會與感悟，并能結(jié)合自己的教學(xué)工作加以應(yīng)用。

例如，在筆者看來，以下的實例就十分清楚地表明了加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法論學(xué)習(xí)的重要性

　　【例十三】“能否少問學(xué)生幾個‘為什么’”《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》　　1999年第10期】

　　　這是源自一位優(yōu)秀教師的一篇教研文章。其核心觀點(diǎn)是：基于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力(更為準(zhǔn)確地說，是培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力、想象能力和直覺能力)的考慮，由于學(xué)生(至少是一部分學(xué)生)對于某些問題能作出很好的猜測，而且，“在數(shù)學(xué)中確實有許多‘只可意會、不可言傳’的東西，要說明為什么有時是很困難的”。因此，“在猜想階段，在不知道結(jié)論是什么的階段，(應(yīng)當(dāng))盡量少問學(xué)生‘為什么‘”。該文作者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)熱情

　　　鼓勵對演繹過程的“跨越”，而“我們的數(shù)學(xué)卻由于教師問了學(xué)生太多的‘為什么’而抑制了這種‘跨越’”。

筆者以為，我們在教學(xué)中當(dāng)然應(yīng)當(dāng)注意保護(hù)學(xué)生的猜想能力和直覺能力。但是，除了這種“保護(hù)”的涵義(這是教學(xué)工作更為重要的一個任務(wù)，即應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識到無論猜想能力或直覺能力都有一個后天的發(fā)展過程)以外，我們還應(yīng)通過教學(xué)幫助學(xué)生去逐步掌握合理的猜想方法，并使他們的直覺不斷得到發(fā)展并趨于精致(特殊地，也只有通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生才會清楚地認(rèn)識證明的必要性及其積極意義)。顯然，從這樣的角度去分析，簡單地認(rèn)定在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)少問學(xué)生幾個“為什么”是不夠妥當(dāng)?shù)?。我們的分析不?yīng)停留于“教師在教學(xué)中多問學(xué)生幾個‘為什么’就可能抑制學(xué)生的猜想和直覺能力”這樣一種認(rèn)識，毋寧說，這里的關(guān)鍵仍然在于課堂提問的“適當(dāng)性”。

　　進(jìn)而，筆者以為盡管“有時(這)是很困難的”，但一個好的猜想(或者說．一個“合理”的猜想)又總是有“道理”可言的。當(dāng)然，“合理”的猜想不能簡單地等同于嚴(yán)格的證明，毋寧說，這主要是指一些啟發(fā)性的原則。特別是，從教學(xué)的角度看，這些啟發(fā)性的原則更可看成集中地體現(xiàn)了用思維方法的分析去指導(dǎo)具體數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的教學(xué)的基本意義，這也就是指，通過“方法論的重建”我們就能較好地實現(xiàn)“化難為易”“化神奇為平凡”。

　　具體地說，或許是一個巧合，上述文章所提及的一個例子恰好就是我們在前面所提到的例十二。這篇文章的作者還提出，在面對上述問題時，有不少學(xué)生憑直覺認(rèn)為應(yīng)首先確定最中間的那個方格里的數(shù)是什么，而且他們往往能正確地猜測出應(yīng)在其中填上5……但是，要想清楚地說明以下這些問題卻是十分困難的：為什么先確定中間位置上的數(shù)?這一位置又為什么填5？為什么對角線上填寫6和4……然而，由上面的分析我們知道：對于這些問題事實上都可從啟發(fā)法的角度說出一定的道理，而且，這種分析對于幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地思維、提高他們的創(chuàng)新能力也是十分有益的。

附：為了更好地體現(xiàn)“學(xué)以致用”，有興趣的讀者不妨嘗試著以數(shù)學(xué)啟發(fā)法為指導(dǎo)去求解下面的這個問題：“紅花映綠葉×春=葉綠映花紅，式中每個漢字分別代表0～9中的某個數(shù)字，不同的漢字代表的數(shù)字也不相同。其中每個漢字分別代表什么數(shù)字?”(相應(yīng)的解答為：21978×4=87912)

　　值得一提的是，這是筆者在閱讀《報刊文摘》(2007年10月31日)時遇到的一個問題。相關(guān)的報道還提及：這是三年級的一道數(shù)學(xué)題，但是為了解開這道數(shù)學(xué)難題，竟然有30名家長圍著題目展開了攻勢，最后甚至將這一問題放到了網(wǎng)上以求網(wǎng)友幫忙。將這樣一個難題作為小學(xué)三年級的數(shù)學(xué)題顯然不恰當(dāng)，但是，筆者在此所關(guān)注的是：作為一名數(shù)學(xué)教師，我們無疑應(yīng)當(dāng)保持一定的“解題胃口”，因此，面對這樣一個挑戰(zhàn)也就應(yīng)當(dāng)“知難而進(jìn)”，特別是，我們是否能夠自覺地以數(shù)學(xué)啟發(fā)法為指導(dǎo)去解決這一問題。