本文所談的正比例函數(shù)是人教版八年級上冊第十一章第二節(jié)的起始內(nèi)容，是函數(shù)概念及其表達(dá)形式后首個具體函數(shù)，在中學(xué)階段函數(shù)學(xué)習(xí)中具有重要地位和作用。本文以課題研討期間所上的研討課為評析對象，談?wù)勛约旱淖疽姡凑埻矢?/span>

反思一：沒有比較就沒有鑒別---關(guān)于正比函數(shù)概念教學(xué)中的反例作用

在學(xué)生自主探究的教學(xué)方式下，正比例函數(shù)概念的形成要經(jīng)歷以下心理過程：

觀察，即觀察相關(guān)的具體事物；分析，即分析每一個具體事物的特征；比較，即對不同事物的特征進(jìn)行橫向比較，也會與頭腦中已有的類似事物的特征進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們的異同點(diǎn)；歸納，即抽象概括不同事物共有特征，從而發(fā)現(xiàn)一類事物的本質(zhì)屬性；表述，即運(yùn)用數(shù)學(xué)語言對這一類事物進(jìn)行描述或刻畫。

觀察是概念形成的起點(diǎn)，所觀察事物的數(shù)量和典型性對概念的形成至關(guān)重要，不僅要提供正面的事物，有時候，還需要提供反面的事物。比如，在本節(jié)課的概念引入環(huán)節(jié)，教師呈現(xiàn)教科書中觀察欄目的問題，依據(jù)已有的知識，學(xué)生順利列出了相應(yīng)關(guān)系式：

生₁：L=2πr。

生₂：m=7.8V。

生₃：T=－3t。

生₄：y=2x。

生₅：y=－2x。

接下來，教師又問道：“觀察以上函數(shù)解析式中的變量L（m，T，y）與自變量r（V，t,x）與有什么關(guān)系？”。

很快，學(xué)生給出了解釋：“y是x的2倍、L是r的2π倍、……。”

看到這樣的解釋，教師放慢語速，進(jìn)一步追問：“那么以上函數(shù)關(guān)系式又有什么共同的地方呢？”

此時，只有少數(shù)學(xué)生有想法，更多學(xué)生眼神中流露出的是疑惑。于是，教師進(jìn)一步補(bǔ)充：“大家沒想明白。我再來舉兩個例子：比如函數(shù)y=2/x ,它們同上面的函數(shù)關(guān)系式有什么不同的地方呢？”稍過片刻，就有學(xué)生說：“都是乘法。”但其他學(xué)生仍舊在思考。

教師進(jìn)一步詢問：“能否再具體一點(diǎn)。”

學(xué)生回答：“常量和自變量都是乘積的關(guān)系。”

從上述師生對話的過程不難看出，盡管學(xué)生對每一個關(guān)系式中x與y的關(guān)系都很清楚了，但是，當(dāng)他們對不同的解析表達(dá)式所具有的共同特征進(jìn)行歸納概括時，還是存在困難。為此，教師及時地進(jìn)行了干預(yù)，即向?qū)W生提供了反例：y=2/x,。不難看出，這種干預(yù)是有效的，在反例的映襯下，學(xué)生迅速找到了正例之間在結(jié)構(gòu)上的共同特征。

事實(shí)上，如果單純觀察某一類具有相同屬性的事物，往往很難觀察到他們的相同屬性，除非觀察著于自己已有的經(jīng)驗(yàn)相比較。在本節(jié)課上，一開始教師只呈現(xiàn)正面的例子，這不足以讓學(xué)生看到它們的共同特征，除非這些例子喚醒了小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的有關(guān)正比例的知識，或想起了非正比例函數(shù)的例子，并能與之比較。這說明，沒有比較就沒有鑒別，認(rèn)識是在比較鑒別的過程發(fā)展的。

反思二：獨(dú)立解決問題----能力發(fā)展的有效途徑

1.關(guān)于發(fā)展觀察、分析、歸納、概括等數(shù)學(xué)思維能力的反思。

從課堂教學(xué)的現(xiàn)場情況看，本節(jié)課有四個環(huán)節(jié)蘊(yùn)含著觀察、分析、比較、歸納、概括等數(shù)學(xué)思維的活動。下面分別加以分析：

第一個環(huán)節(jié)是正比例函數(shù)概念的形成過程。通過對不同的函數(shù)解析式的觀察、分析，再加上反例的映襯（對比），學(xué)生發(fā)現(xiàn)了正比例函數(shù)解析表達(dá)式的基本結(jié)構(gòu)：一個常量與自變量的積（y=kx）。因此，在這一環(huán)節(jié)，教師給學(xué)生提供了自己發(fā)現(xiàn)和解決問題的機(jī)會，較好地發(fā)展了學(xué)生的思維能力。

第二個環(huán)節(jié)是發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)。首先看一看這一環(huán)節(jié)的師生互動過程：

在明晰了正比例函數(shù)概念后，教學(xué)進(jìn)入到學(xué)習(xí)函數(shù)圖象環(huán)節(jié)。教師說道：“函數(shù)的圖象可以清晰、直觀描述函數(shù)的關(guān)系。正比例函數(shù)從形式上具有共同的特性，那么它們的函數(shù)圖象是否也有共同的地方呢？想研究這個問題應(yīng)該怎么辦呀？”

學(xué)生答道：“畫函數(shù)圖象。”

于是，教師進(jìn)一步給出指令：“以y=2x和 y=－2x為例，在坐標(biāo)紙上畫函數(shù)圖象。”同時，說明畫圖的具體要求，并邀請兩名同學(xué)在黑板上畫出圖象。此間，老師巡視指導(dǎo)，幫助學(xué)生解決畫圖中遇到的問題。

看到絕大多數(shù)學(xué)生都完成了任務(wù)。于是，教師提出問題：“觀察你所畫的圖象，他們是什么圖形？”

學(xué)生異口同聲地說：“過原點(diǎn)的直線。”

教師接著問道：“是不是所有的正比例函數(shù)圖象都是過原點(diǎn)的直線呢？”學(xué)生沉默了片刻,有人打破了僵局，說道:“應(yīng)該都是過原點(diǎn)的直線。”看到有些學(xué)生還有些半信半疑，于是老師用多媒體在大屏幕演示幾個正比例函數(shù)圖象。觀察后，學(xué)生進(jìn)一步明確了上述結(jié)論。

從上述過程可以看出，教師只是向?qū)W生提供了觀察的素材---函數(shù)圖象，正比例函數(shù)圖像的特點(diǎn)完全是由學(xué)生自己觀察、分析、歸納概括得到的，因此，這些思維能力在上述過程中得到了發(fā)展。

第三個環(huán)節(jié)是，通過觀察所畫圖像，歸納概括圖形在直角坐標(biāo)系中的位置關(guān)系：k﹥0時，直線y=kx的圖象在一、三象限；k﹤0時，y=kx的圖象在二、四象限。

在學(xué)生發(fā)現(xiàn)了正比例函數(shù)圖像是一條過原點(diǎn)的直線這一結(jié)論后，教師繼續(xù)引導(dǎo)：“大家再看黑板上兩位同學(xué)畫的圖象有什么不同？”

有學(xué)生回答：“y=2x的圖象經(jīng)過一、三象限，y=－2x的圖象經(jīng)過二、四象限。”

教師又問：“是不是存在偶然性？”此時，教師借助幾何畫板，拖動直線繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動，動態(tài)演示k值從正數(shù)到負(fù)數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)圖象。

值得關(guān)注的是，在演示過程中，教師提醒學(xué)生觀察k值正負(fù)與其對應(yīng)圖象之間的關(guān)系，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律：k﹥0時，直線y=kx的圖象經(jīng)歷一、三象限；k﹤0時，y=kx的圖象經(jīng)過二、四象限。

我們知道，通過大量觀察，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)k的正負(fù)值與其對應(yīng)的圖象之間的關(guān)系，這一過程是發(fā)展觀察、分析、比較、歸納概括等思維能力的珍貴資源。但遺憾的是，在教師演示過程中，由于教師的提示，使學(xué)生的思維活動迅速鎖定了方向，從而喪失了上述思維能力發(fā)展的機(jī)會。

第四個環(huán)節(jié)是，借助于函數(shù)圖像，歸納概括出：當(dāng)k﹥0時y隨x的增大而增大；當(dāng)k﹤0時y隨x的增大而減小。

在這一環(huán)節(jié)，教師提出這樣的問題：大家再看看黑板上兩位同學(xué)畫的圖象還有什么不同？看到學(xué)生陷入思考,有的還在小聲研究討論,但沒有結(jié)果，于是，老師提示學(xué)生回顧函數(shù)的概念:“什么叫函數(shù)?”

學(xué)生道:“在一個變化過程中有兩個變量y和x,給定x一個值y有唯一的值與之對應(yīng)且y隨x的變化而變化.”

教師追問:正比例函數(shù)中y如何隨x的變化而變化的？這樣提問再一次指明了觀察和思考的方向。

通過研討，學(xué)生得出結(jié)論：從圖象還可看出k﹥0時y隨x的增大而增大，k﹤0時y隨x的增大而減小。

接下來，教師又問道：“還有別的方法看出來嗎？”

學(xué)生：“看表格也可看出：當(dāng)k﹥0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k﹤0時，y隨x的增大而減小。”

從第四個環(huán)節(jié)師生互動的情況看，通過圖像的走勢，發(fā)現(xiàn)變量之間的變化規(guī)律，這一過程對于配需昂學(xué)生的觀察、分析、歸納概括等數(shù)學(xué)思維能力是十分有價值的。雖然教師追問時所提問題指明了觀察思考的方向，從而壓縮了思考空間，但在一定程度上，仍舊促進(jìn)了上述能力的發(fā)展

總之，通過上述描述與分析，我們看到，上述四個環(huán)節(jié)蘊(yùn)含了豐富的能力訓(xùn)練資源，只要教師引導(dǎo)恰當(dāng)，觀察、分析、歸納、概括等數(shù)學(xué)思維能力就會得到充分發(fā)展的過程中。

在此需要指出的是，除了上述四個環(huán)節(jié)外，總結(jié)反思本節(jié)課研究的節(jié)本思路也是一次很有價值的歸納過程，與前面幾次不同的是，歸納的內(nèi)容不是數(shù)學(xué)的概念，而是數(shù)學(xué)的思想方法。但遺憾的是，這一過程由教師自己簡單地處理了，且處理的過于簡單。教師僅僅總結(jié)到：“我們今天學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)定義和性質(zhì)；正比例函數(shù)圖象的簡單畫法。今后的學(xué)習(xí)中,我們將繼續(xù)這樣的思路來研究各種具體的函數(shù),根據(jù)它們共同的結(jié)構(gòu)給它們?nèi)∶?畫出它們的圖象與研究它們的性質(zhì).”

2.關(guān)于推理能力的反思。

在探索“正比例函數(shù)的圖像是一條過原點(diǎn)的直線”這一命題的過程中，教師不僅要發(fā)展學(xué)生歸納推理能力，即通過觀察有限個正比例函數(shù)圖象，學(xué)生歸納概括出正比例函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，還應(yīng)該適度地要訓(xùn)練邏輯推理能力，即要求學(xué)生說明：為什么正比例函數(shù)的圖像都過原點(diǎn)。通過這個問題，使學(xué)生的思維活動，從基于觀察的感性認(rèn)識提升到數(shù)學(xué)說理的理性認(rèn)識，不僅提高了數(shù)學(xué)思維水平，而且培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力。但遺憾的是，在處理這一問題的過程中，教師僅是通過學(xué)生動手畫圖和計(jì)算機(jī)課件演示的手段，為學(xué)生提供了多個具體函數(shù)圖像的實(shí)例，并由此合情推理得出結(jié)論。因此，喪失了思維提升和能力發(fā)展的機(jī)遇。

當(dāng)然，發(fā)展能力必須尊重學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平。比如，不能提出這樣問題：為什么正比例函數(shù)的圖像是一條直線。雖然但就問題解決而言可提升學(xué)生的理性思維，但解決這個問題要用到相似三角形的知識，超出了學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知能力范圍。所以，本節(jié)課不能依次發(fā)展推理能力。

反思三：授人以漁---關(guān)于函數(shù)研究策略的教學(xué)

1.關(guān)于函數(shù)學(xué)習(xí)基本策略

本節(jié)課是函數(shù)學(xué)習(xí)中遇到的第一個具體函數(shù)，不僅要學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的概念，更好借助正比例函數(shù)的學(xué)習(xí)了解函數(shù)學(xué)習(xí)的基本程序和策略，即在明確某一具體函數(shù)概念之后，接下來就要研究兩個變量之間的變化規(guī)律：通過單調(diào)性、奇偶性、周期性等加以刻畫，為此，研究函數(shù)圖像的特征，以便直觀性分析兩個變量之間的變化規(guī)律。

在本節(jié)課上，我們可以看到教師有意識表述函數(shù)學(xué)習(xí)的基本策略，但強(qiáng)調(diào)不足。教師在課堂總結(jié)時指出了本節(jié)課的研究內(nèi)容，并提出“以后要按這樣的思路來研究其它具體函數(shù)”，但并沒有將研究思路具體化。

“自主探究”是當(dāng)前課程改革積極倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)方式。但是，在日常教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)，面對一個新的問題，學(xué)生常常不知道從哪里著手解決問題，特別是新知識的探究過程。追其根源，主要是缺乏探究問題的基本策略。如果能夠通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解函數(shù)學(xué)習(xí)的基本程序和策略，那么，在今后學(xué)習(xí)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)的時候，或許無需教師提醒學(xué)生就知道如何探究了。

2.關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)

初中階段所見到的函數(shù)都是以解析式定義的，變量之間的關(guān)系也隨著關(guān)系式的復(fù)雜而變得復(fù)雜起來，因此變量之間的變化規(guī)律也越來越難以通過觀察掌握了，但是借助于函數(shù)圖像，使得兩個變量之間的變化規(guī)律一目了然。這種研究問題的思想體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想。這種思想可以在反思本節(jié)課研究流程的過程中得以強(qiáng)化，使學(xué)生形成更為深刻的體驗(yàn)。因此，要在課堂教學(xué)過程中引入反思環(huán)節(jié)，基于學(xué)生反思的機(jī)會。