摘　要：對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)“合情合理”的追求，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)永恒的話題．本文結(jié)合“平行四邊形”概念的教學(xué)，從“概念的引入”、“概念的形成”、“概念的應(yīng)用”出發(fā)，探討數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的“合情合理”，試圖呈現(xiàn)一種“一切盡在情理之中”的境界．

　　關(guān)鍵詞：平行四邊形  概念教學(xué)  合情合理

“情理”的基本解釋是“常情和道理”．如果說(shuō)“合乎情理”是人間至善，那么，對(duì)于數(shù)學(xué)概念教學(xué)“合情合理”的追求，就應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)永恒的話題．本文擬結(jié)合對(duì)義務(wù)教育初中學(xué)段“平行四邊形”概念教學(xué)中“情理交融”的認(rèn)識(shí)，探討數(shù)學(xué)概念教學(xué)的相關(guān)問(wèn)題．

一、關(guān)于概念的引入

1．從實(shí)際應(yīng)用的需要引入

數(shù)學(xué)概念，是人對(duì)客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象，對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，應(yīng)建立在對(duì)一類事物共同屬性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)之上．

教學(xué)“平行四邊形”的概念也不例外．教師通過(guò)出示小區(qū)的伸縮門、庭院的竹籬笆、載重汽車的防護(hù)欄等一組日常生活中的圖片，并從中抽象出幾何基本圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考它們的共同特點(diǎn)，使學(xué)生在這些典型、豐富且合乎實(shí)際的感性材料的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)平行四邊形本質(zhì)屬性的初步認(rèn)識(shí)．

這樣，通過(guò)生活中熟悉的素材，設(shè)置符合“常情”的教學(xué)情境，不僅賦予了“平行四邊形”概念的現(xiàn)實(shí)背景，也使學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)“平行四邊形”概念的必要性，明白了學(xué)習(xí)的“道理”．

2．從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的需要引入

學(xué)習(xí)一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，還應(yīng)該把這個(gè)概念放到相應(yīng)的概念體系中，考察它的“來(lái)龍去脈”，即分析學(xué)習(xí)這一概念需要怎樣的基礎(chǔ)，知道掌握它以后可以做什么．

平行四邊形的定義，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過(guò)，但對(duì)于這個(gè)概念的本質(zhì)屬性，理解的并不深刻．初中學(xué)段的教學(xué)，并不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，而是采用內(nèi)涵定義法，即“種概念+類差=被定義的概念”，這樣的方式，揭示了“平行四邊形”概念的本質(zhì)屬性．在平行四邊形的定義中，大前提是“四邊形（種概念）”，條件是“兩組對(duì)邊分別平行（類差）”．“平行四邊形”的內(nèi)涵包含了“四邊形”所有的內(nèi)涵，而“兩組對(duì)邊分別平行”是平行四邊形獨(dú)有的、用以區(qū)別于一般四邊形的本質(zhì)屬性．因此，教學(xué)中，教師只要抓住種概念（四邊形）的類差（兩組對(duì)邊分別平行），引導(dǎo)學(xué)生思考“一個(gè)四邊形具備了什么特征才是平行四邊形”，就可以自然地使學(xué)生建立起對(duì)新概念（平行四邊形）的本質(zhì)屬性的理解．

另外，學(xué)習(xí)了“平行四邊形”的概念之后，再附加“有一個(gè)角為直角”、“鄰邊相等”，就可以對(duì)應(yīng)得到“矩形”、“菱形”的概念，若兩個(gè)條件同時(shí)滿足，就可以得到“正方形”的概念．“平行四邊形”概念的教學(xué)，為后續(xù)概念的學(xué)習(xí)，奠定了基礎(chǔ)．

可見(jiàn)，從數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的需要出發(fā)，對(duì)“概念體系”進(jìn)行分析，可以了解到概念間的從屬關(guān)系，形成明晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并清晰地認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)“平行四邊形”概念的“合理性”．

二、關(guān)于概念的形成

1．概念的明確

所謂明確概念，實(shí)質(zhì)就是讓學(xué)生理解一類事物的共同本質(zhì)屬性，可以利用學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的概念，以定義的方式直接揭示概念的本質(zhì)特征．

（1）明確概念的內(nèi)涵

概念的內(nèi)涵就是反映在概念中的對(duì)象的本質(zhì)屬性，它說(shuō)明概念所反映的事物是什么樣的．“平行四邊形”的含義是：兩組對(duì)邊分別平行，這就是“平行四邊形”的內(nèi)涵．它揭示了“平行四邊形”與“四邊形”的隸屬關(guān)系，以及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，反映了“平行四邊形“的本質(zhì)屬性．其中的關(guān)鍵詞“兩組對(duì)邊分別平行”，既可以作為平行四邊形的判定方法，又可以是平行四邊形的一個(gè)性質(zhì)．

（2）明確概念的外延

概念的外延就是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象，它說(shuō)明概念所反映的是哪些事物．“平行四邊形”是指矩形、菱形、正方形的全體，這就是“平行四邊形”的外延．它反映的是概念的量的方面，是概念的使用范圍．

教學(xué)中，給“平行四邊形”下定義后，教師不僅要指出符合“平行四邊形”定義的對(duì)象，而且也要讓學(xué)生自己舉出例子來(lái)．這樣，從概念的引入（具體）到明確概念（一般），再到舉出實(shí)例（具體），形成了一個(gè)完整的概念認(rèn)知的過(guò)程．既符合學(xué)生的認(rèn)知需要，又體現(xiàn)了概念形成的特點(diǎn)，“合情合理”．

2．概念的表示

在描述數(shù)學(xué)概念時(shí)，除了上述使用文字語(yǔ)言的方式外，還可以用符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言．

（1）用符號(hào)表示概念

數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)專有的特殊文字，其含義的高度概括和形式的高度濃縮，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明性的特點(diǎn)．在概念教學(xué)中，真正讓學(xué)生掌握概念符號(hào)的意義尤為重要．用符號(hào)語(yǔ)言描述平行四邊形的定義為：在四邊形中，若//，//，則四邊形是平行四邊形，記作．

（2）用圖形表示概念

如圖①，畫(huà)出“兩組對(duì)邊分別平行”的四邊形，即．結(jié)合圖形，可以使學(xué)生對(duì)“平行四邊形”的概念有一個(gè)更加直觀、清晰的認(rèn)識(shí)．

通常情況下，學(xué)習(xí)幾何概念，往往把圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言聯(lián)系在一起．

這里，需要注意的是，應(yīng)盡量排除標(biāo)準(zhǔn)圖形的負(fù)遷移作用，以及防止出現(xiàn)符號(hào)與概念意義的脫節(jié)，避免把個(gè)性特征作為概念的本質(zhì)特征．例如，在中，有“//，//”，而對(duì)于，同樣具有本質(zhì)特征“//，//”．

符號(hào)語(yǔ)言的簡(jiǎn)明性與圖形語(yǔ)言的直觀性，合乎學(xué)生對(duì)“平行四邊形”概念的理解和記憶，符合“人之常情”，教師再適時(shí)地提醒“回到定義中去”，讓學(xué)生始終牢記其中的“道理”，即“兩組對(duì)邊分別平行”，可以很好地實(shí)現(xiàn)“情理交融”．

3．概念的深化

幾何概念，無(wú)外乎從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩個(gè)角度進(jìn)行刻畫(huà)．“平行四邊形”定義中的“兩組對(duì)邊分別平行”，是從“位置關(guān)系”出發(fā)，刻畫(huà)了“邊”的本質(zhì)屬性．如果從“數(shù)量關(guān)系”的角度，再來(lái)研究“平行四邊形”的某些幾何要素“邊”或“角”，自然又可以得到進(jìn)一步的結(jié)論，這是對(duì)“平行四邊形”概念的深化．

在研究平行四邊形“邊”或“角”的數(shù)量關(guān)系時(shí)，教師不妨通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生從平行四邊形的位置關(guān)系“兩組對(duì)邊分別平行”出發(fā)，經(jīng)歷觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、概括直至論證的過(guò)程，一方面，突出合情推理在解決問(wèn)題中的作用，詮釋“實(shí)驗(yàn)幾何”與“論證幾何”相輔相成的關(guān)系；另一方面，可以使學(xué)生對(duì)平行四邊形的概念理解得更加深入，即“平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等”，相對(duì)于定義中的“兩組對(duì)邊分別平行”，是由位置關(guān)系向數(shù)量關(guān)系的一種延伸，“平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等”，相對(duì)于“兩組對(duì)邊分別平行”，是由“相鄰的角互補(bǔ)”產(chǎn)生的思維的一種深化．

三、關(guān)于概念的應(yīng)用

為了更好地理解概念，需要有一個(gè)應(yīng)用概念的過(guò)程，即通過(guò)運(yùn)用概念，去認(rèn)識(shí)同類事物，推進(jìn)對(duì)概念本質(zhì)的理解．這是一個(gè)應(yīng)用與理解同步的過(guò)程，概念的應(yīng)用可以在知覺(jué)水平上進(jìn)行，也可以在思維水平上進(jìn)行．

1．在知覺(jué)水平上的應(yīng)用

在知覺(jué)水平上的應(yīng)用，就是要引導(dǎo)學(xué)生能用概念去判斷面臨的某一事物是否屬于概念反映的具體對(duì)象．

例如，如圖②，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張，形成了一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形是平行四邊形嗎？線段和的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？

本題首先要求學(xué)生判斷一個(gè)四邊形是否為平行四邊形，由于這個(gè)“四邊形”滿

足“兩條對(duì)邊平行”，屬于“平行四邊形”概念所反映的本質(zhì)屬性，因此，學(xué)生只要

可以正確地完成這樣的判斷，我們就認(rèn)為他從知覺(jué)上理解了“平行四邊形”的概念．另外，本題還要求判斷“線段和的長(zhǎng)度有什么關(guān)系”，由于我們已經(jīng)得到了“平行四邊形的兩組對(duì)邊相等”的結(jié)論，學(xué)生已不需要再重復(fù)一系列的認(rèn)識(shí)過(guò)程，可以直接從知覺(jué)上觀察，得到，這是認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有概念在知覺(jué)水平上應(yīng)用的另一種情形．

2．在思維水平上的應(yīng)用

在思維水平上的應(yīng)用，就是需要將“平行四邊形”的概念，納入到原有的概念或命題中，或者在解決復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，與原有的概念或命題重新組合．

例如，如圖③，四邊形是平行四邊形，，平分且交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)，求的大小．

本題要求的大小，一種方法是先求，可借助于，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，這時(shí)就需要利用平行四邊形的“對(duì)邊平行”，有//，得，再由已知“平分”和“”推出的，可以得到；另一種方法是在△中，考慮與相關(guān)的角，需要求及，求時(shí)，需要綜合（平行線的性質(zhì)）、平分（角平分線的性質(zhì)），得到，而求時(shí)，就需要根據(jù)“平行四邊形的對(duì)邊平行”，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“相鄰的角互補(bǔ)”，得，于是，可得．

在上述分析過(guò)程中，我們看到本題主要綜合了“平行線的性質(zhì)”及“角平分線的性質(zhì)”，將“平行四邊形”的概念應(yīng)用其中．將“兩條直線平行，同位角相等”、“兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”、“三角形內(nèi)角和為”與“平行四邊形的對(duì)邊平行”重新組合、整理，使學(xué)生在尋求解題方案的同時(shí)，獲得新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)“平行四邊形”的概念達(dá)到靈活應(yīng)用的水平．

世人常說(shuō)世事應(yīng)遵從“合情合理”，筆者以為，我們的課堂教學(xué)，也應(yīng)該追求一種“合情合理”的境界．當(dāng)我們看到，每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都是那樣的順暢、每一個(gè)問(wèn)題都是那樣的自然、每一個(gè)學(xué)生都是那樣的心領(lǐng)神會(huì)時(shí)，細(xì)細(xì)品味，你會(huì)感覺(jué)到一切已盡在情理之中．

參考文獻(xiàn)：

1 十三院校協(xié)編組.中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法總論.北京:高等教育出版社，1980

2 曹才翰，章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論.北京:北京師范大學(xué)出版集團(tuán)，2008

3 義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè). 北京:人民教育出版社. 2008