第6章 MATLAB數(shù)據(jù)分析與多項(xiàng)式計(jì)算
6.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理
6.2 數(shù)據(jù)插值
6.3 曲線擬合
6.4 離散傅立葉變換
6.5 多項(xiàng)式計(jì)算
6.1 數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理
6.1.1 最大值和最小值
MATLAB提供的求數(shù)據(jù)序列的最大值和最小值的函數(shù)分別為max和min，兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式和操作過程類似。
1．求向量的最大值和最小值
求一個(gè)向量X的最大值的函數(shù)有兩種調(diào)用格式，分別是：
(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。
(2) [y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序號存入I，如果X中包含復(fù)數(shù)元素，則按模取最大值。
求向量X的最小值的函數(shù)是min(X)，用法和max(X)完全相同。
例6-1 求向量x的最大值。
命令如下：
x=[-43,72,9,16,23,47];
y=max(x) %求向量x中的最大值
[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其該元素的位置
2．求矩陣的最大值和最小值
求矩陣A的最大值的函數(shù)有3種調(diào)用格式，分別是：
(1) max(A)：返回一個(gè)行向量，向量的第i個(gè)元素是矩陣A的第i列上的最大值。
(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量記錄A的每列的最大值，U向量記錄每列最大值的行號。
(3) max(A,[],dim)：dim取1或2。dim取1時(shí)，該函數(shù)和max(A)完全相同；dim取2時(shí)，該函數(shù)返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A矩陣的第i行上的最大值。
求最小值的函數(shù)是min，其用法和max完全相同。
例6-2 分別求3×4矩陣x中各列和各行元素中的最大值，并求整個(gè)矩陣的最大值和最小值。
3．兩個(gè)向量或矩陣對應(yīng)元素的比較
函數(shù)max和min還能對兩個(gè)同型的向量或矩陣進(jìn)行比較，調(diào)用格式為：
(1) U=max(A,B)：A,B是兩個(gè)同型的向量或矩陣，結(jié)果U是與A,B同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A,B對應(yīng)元素的較大者。
(2) U=max(A,n)：n是一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果U是與A同型的向量或矩陣，U的每個(gè)元素等于A對應(yīng)元素和n中的較大者。
min函數(shù)的用法和max完全相同。
例6-3 求兩個(gè)2×3矩陣x, y所有同一位置上的較大元素構(gòu)成的新矩陣p。
6.1.2 求和與求積
數(shù)據(jù)序列求和與求積的函數(shù)是sum和prod，其使用方法類似。設(shè)X是一個(gè)向量，A是一個(gè)矩陣，函數(shù)的調(diào)用格式為：
sum(X)：返回向量X各元素的和。
prod(X)：返回向量X各元素的乘積。
sum(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素和。
prod(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的元素乘積。
sum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于sum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素之和。
prod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于prod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的各元素乘積。
例6-4 求矩陣A的每行元素的乘積和全部元素的乘積。
6.1.3 平均值和中值
求數(shù)據(jù)序列平均值的函數(shù)是mean，求數(shù)據(jù)序列中值的函數(shù)是median。兩個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式為：
mean(X)：返回向量X的算術(shù)平均值。
median(X)：返回向量X的中值。
mean(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的算術(shù)平均值。
median(A)：返回一個(gè)行向量，其第i個(gè)元素是A的第i列的中值。
mean(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于mean(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的算術(shù)平均值。
median(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于median(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)列向量，其第i個(gè)元素是A的第i行的中值。
例6-5 分別求向量x與y的平均值和中值。
6.1.4 累加和與累乘積
在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函數(shù)能方便地求得向量和矩陣元素的累加和與累乘積向量，函數(shù)的調(diào)用格式為：
cumsum(X)：返回向量X累加和向量。
cumprod(X)：返回向量X累乘積向量。
cumsum(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累加和向量。
cumprod(A)：返回一個(gè)矩陣，其第i列是A的第i列的累乘積向量。
cumsum(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumsum(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)矩陣，其第i行是A的第i行的累加和向量。
cumprod(A,dim)：當(dāng)dim為1時(shí)，該函數(shù)等同于cumprod(A)；當(dāng)dim為2時(shí)，返回一個(gè)向量，其第i行是A的第i行的累乘積向量。
例6-6 求s的值。
6.1.5 標(biāo)準(zhǔn)方差與相關(guān)系數(shù)
1．求標(biāo)準(zhǔn)方差
在MATLAB中，提供了計(jì)算數(shù)據(jù)序列的標(biāo)準(zhǔn)方差的函數(shù)std。對于向量X，std(X)返回一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方差。對于矩陣A，std(A)返回一個(gè)行向量，它的各個(gè)元素便是矩陣A各列或各行的標(biāo)準(zhǔn)方差。std函數(shù)的一般調(diào)用格式為：
Y=std(A,flag,dim)
其中dim取1或2。當(dāng)dim=1時(shí)，求各列元素的標(biāo)準(zhǔn)方差；當(dāng)dim=2時(shí)，則求各行元素的標(biāo)準(zhǔn)方差。flag取0或1，當(dāng)flag=0時(shí)，按σ1所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差，當(dāng)flag=1時(shí)，按σ2所列公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)方差。缺省flag=0，dim=1。
例6-7 對二維矩陣x，從不同維方向求出其標(biāo)準(zhǔn)方差。
2．相關(guān)系數(shù)
MATLAB提供了corrcoef函數(shù)，可以求出數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。corrcoef函數(shù)的調(diào)用格式為：
corrcoef(X)：返回從矩陣X形成的一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣。此相關(guān)系數(shù)矩陣的大小與矩陣X一樣。它把矩陣X的每列作為一個(gè)變量，然后求它們的相關(guān)系數(shù)。
corrcoef(X,Y)：在這里，X,Y是向量，它們與corrcoef([X,Y])的作用一樣。
例6-8 生成滿足正態(tài)分布的10000×5隨機(jī)矩陣，然后求各列元素的均值和標(biāo)準(zhǔn)方差，再求這5列隨機(jī)數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣。
命令如下：
X=randn(10000,5);
M=mean(X)
D=std(X)
R=corrcoef(X)
6.1.6 排序
MATLAB中對向量X是排序函數(shù)是sort(X)，函數(shù)返回一個(gè)對X中的元素按升序排列的新向量。
sort函數(shù)也可以對矩陣A的各列或各行重新排序，其調(diào)用格式為：
[Y,I]=sort(A,dim)
其中dim指明對A的列還是行進(jìn)行排序。若dim=1，則按列排；若dim=2，則按行排。Y是排序后的矩陣，而I記錄Y中的元素在A中位置。
例6-9 對二維矩陣做各種排序。
6.2 數(shù)據(jù)插值
6.2.1 一維數(shù)據(jù)插值
在MATLAB中，實(shí)現(xiàn)這些插值的函數(shù)是interp1，其調(diào)用格式為：
Y1=interp1(X,Y,X1,'method')
函數(shù)根據(jù)X,Y的值，計(jì)算函數(shù)在X1處的值。X,Y是兩個(gè)等長的已知向量，分別描述采樣點(diǎn)和樣本值，X1是一個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)，Y1是一個(gè)與X1等長的插值結(jié)果。method是插值方法，允許的取值有‘linear’、‘nearest’、‘cubic’、‘spline’。
注意：X1的取值范圍不能超出X的給定范圍，否則，會給出“NaN”錯(cuò)誤。
例6-10 用不同的插值方法計(jì)算在π/2點(diǎn)的值。
MATLAB中有一個(gè)專門的3次樣條插值函數(shù)Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法與函數(shù)Y1=interp1(X,Y,X1,‘spline’)完全相同。
例6-11 某觀測站測得某日6:00時(shí)至18:00時(shí)之間每隔2小時(shí)的室內(nèi)外溫度(℃)，用3次樣條插值分別求得該日室內(nèi)外6:30至17:30時(shí)之間每隔2小時(shí)各點(diǎn)的近似溫度(℃)。
設(shè)時(shí)間變量h為一行向量，溫度變量t為一個(gè)兩列矩陣，其中第一列存放室內(nèi)溫度，第二列儲存室外溫度。命令如下：
h =6:2:18;
t=[18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30]';
XI =6.5:2:17.5
YI=interp1(h,t,XI,‘spline’) %用3次樣條插值計(jì)算
6.2.2 二維數(shù)據(jù)插值
在MATLAB中，提供了解決二維插值問題的函數(shù)interp2，其調(diào)用格式為：
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,'method')
其中X,Y是兩個(gè)向量，分別描述兩個(gè)參數(shù)的采樣點(diǎn)，Z是與參數(shù)采樣點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值，X1,Y1是兩個(gè)向量或標(biāo)量，描述欲插值的點(diǎn)。Z1是根據(jù)相應(yīng)的插值方法得到的插值結(jié)果。 method的取值與一維插值函數(shù)相同。X,Y,Z也可以是矩陣形式。
同樣，X1,Y1的取值范圍不能超出X,Y的給定范圍，否則，會給出“NaN”錯(cuò)誤。
例6-12 設(shè)z=x2+y2，對z函數(shù)在[0,1]×[0,2]區(qū)域內(nèi)進(jìn)行插值。
例6-13 某實(shí)驗(yàn)對一根長10米的鋼軌進(jìn)行熱源的溫度傳播測試。用x表示測量點(diǎn)0:2.5:10(米)，用h表示測量時(shí)間0:30:60(秒)，用T表示測試所得各點(diǎn)的溫度(℃)。試用線性插值求出在一分鐘內(nèi)每隔20秒、鋼軌每隔1米處的溫度TI。
命令如下：
x=0:2.5:10;
h=[0:30:60]';
T=[95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41];
xi=[0:10];
hi=[0:20:60]';
TI=interp2(x,h,T,xi,hi)
6.3 曲線擬合
在MATLAB中，用polyfit函數(shù)來求得最小二乘擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，再用polyval函數(shù)按所得的多項(xiàng)式計(jì)算所給出的點(diǎn)上的函數(shù)近似值。
polyfit函數(shù)的調(diào)用格式為：
[P,S]=polyfit(X,Y,m)
函數(shù)根據(jù)采樣點(diǎn)X和采樣點(diǎn)函數(shù)值Y，產(chǎn)生一個(gè)m次多項(xiàng)式P及其在采樣點(diǎn)的誤差向量S。其中X,Y是兩個(gè)等長的向量，P是一個(gè)長度為m+1的向量，P的元素為多項(xiàng)式系數(shù)。
polyval函數(shù)的功能是按多項(xiàng)式的系數(shù)計(jì)算x點(diǎn)多項(xiàng)式的值，將在6.5.3節(jié)中詳細(xì)介紹。
例6-14 已知數(shù)據(jù)表[t,y]，試求2次擬合多項(xiàng)式p(t)，然后求ti=1,1.5,2,2.5,…,9.5,10各點(diǎn)的函數(shù)近似值。
6.4 離散傅立葉變換
6.4.1 離散傅立葉變換算法簡要
6.4.2 離散傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)
一維離散傅立葉變換函數(shù)，其調(diào)用格式與功能為：
(1) fft(X)：返回向量X的離散傅立葉變換。設(shè)X的長度(即元素個(gè)數(shù))為N，若N為2的冪次，則為以2為基數(shù)的快速傅立葉變換，否則為運(yùn)算速度很慢的非2冪次的算法。對于矩陣X，fft(X)應(yīng)用于矩陣的每一列。
(2) fft(X,N)：計(jì)算N點(diǎn)離散傅立葉變換。它限定向量的長度為N，若X的長度小于N，則不足部分補(bǔ)上零；若大于N，則刪去超出N的那些元素。對于矩陣X，它同樣應(yīng)用于矩陣的每一列，只是限定了向量的長度為N。
(3) fft(X,[],dim)或fft(X,N,dim)：這是對于矩陣而言的函數(shù)調(diào)用格式，前者的功能與FFT(X)基本相同，而后者則與FFT(X,N)基本相同。只是當(dāng)參數(shù)dim=1時(shí)，該函數(shù)作用于X的每一列；當(dāng)dim=2時(shí)，則作用于X的每一行。
值得一提的是，當(dāng)已知給出的樣本數(shù)N0不是2的冪次時(shí)，可以取一個(gè)N使它大于N0且是2的冪次，然后利用函數(shù)格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可進(jìn)行快速傅立葉變換。這樣，計(jì)算速度將大大加快。
相應(yīng)地，一維離散傅立葉逆變換函數(shù)是ifft。ifft(F)返回F的一維離散傅立葉逆變換；ifft(F,N)為N點(diǎn)逆變換；ifft(F,[],dim)或ifft(F,N,dim)則由N或dim確定逆變換的點(diǎn)數(shù)或操作方向。
例6-15 給定數(shù)學(xué)函數(shù)
x(t)=12sin(2π×10t+π/4)+5cos(2π×40t)
取N=128，試對t從0~1秒采樣，用fft作快速傅立葉變換，繪制相應(yīng)的振幅-頻率圖。
在0~1秒時(shí)間范圍內(nèi)采樣128點(diǎn)，從而可以確定采樣周期和采樣頻率。由于離散傅立葉變換時(shí)的下標(biāo)應(yīng)是從0到N-1，故在實(shí)際應(yīng)用時(shí)下標(biāo)應(yīng)該前移1。又考慮到對離散傅立葉變換來說，其振幅| F(k)|是關(guān)于N/2對稱的，故只須使k從0到N/2即可。
程序如下：
N=128; % 采樣點(diǎn)數(shù)
T=1; % 采樣時(shí)間終點(diǎn)
t=linspace(0,T,N); % 給出N個(gè)采樣時(shí)間ti(I=1:N)
x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t); % 求各采樣點(diǎn)樣本值x
dt=t(2)-t(1); % 采樣周期
f=1/dt; % 采樣頻率(Hz)
X=fft(x); % 計(jì)算x的快速傅立葉變換X
F=X(1:N/2+1); % F(k)=X(k)(k=1:N/2+1)
f=f*(0:N/2)/N; % 使頻率軸f從零開始
plot(f,abs(F),'-*') % 繪制振幅-頻率圖
xlabel('Frequency');
ylabel('|F(k)|')
6.5 多項(xiàng)式計(jì)算
6.5.1 多項(xiàng)式的四則運(yùn)算
1．多項(xiàng)式的加減運(yùn)算
2．多項(xiàng)式乘法運(yùn)算
函數(shù)conv(P1,P2)用于求多項(xiàng)式P1和P2的乘積。這里，P1、P2是兩個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)向量。
例6-16 求多項(xiàng)式x4+8x3-10與多項(xiàng)式2x2-x+3的乘積。
3．多項(xiàng)式除法
函數(shù)[Q,r]=deconv(P1,P2)用于對多項(xiàng)式P1和P2作除法運(yùn)算。其中Q返回多項(xiàng)式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。這里，Q和r仍是多項(xiàng)式系數(shù)向量。
deconv是conv的逆函數(shù)，即有P1=conv(P2,Q)+r。
例6-17 求多項(xiàng)式x4+8x3-10除以多項(xiàng)式2x2-x+3的結(jié)果。
6.5.2 多項(xiàng)式的導(dǎo)函數(shù)
對多項(xiàng)式求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是：
p=polyder(P)：求多項(xiàng)式P的導(dǎo)函數(shù)
p=polyder(P,Q)：求P·Q的導(dǎo)函數(shù)
[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)的分子存入p，分母存入q。
上述函數(shù)中，參數(shù)P,Q是多項(xiàng)式的向量表示，結(jié)果p,q也是多項(xiàng)式的向量表示。
例6-18 求有理分式的導(dǎo)數(shù)。
命令如下：
P=[1];
Q=[1,0,5];
[p,q]=polyder(P,Q)
6.5.3 多項(xiàng)式的求值
MATLAB提供了兩種求多項(xiàng)式值的函數(shù)：polyval與polyvalm，它們的輸入?yún)?shù)均為多項(xiàng)式系數(shù)向量P和自變量x。兩者的區(qū)別在于前者是代數(shù)多項(xiàng)式求值，而后者是矩陣多項(xiàng)式求值。
1．代數(shù)多項(xiàng)式求值
polyval函數(shù)用來求代數(shù)多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式為：
Y=polyval(P,x)
若x為一數(shù)值，則求多項(xiàng)式在該點(diǎn)的值；若x為向量或矩陣，則對向量或矩陣中的每個(gè)元素求其多項(xiàng)式的值。
例6-19 已知多項(xiàng)式x4+8x3-10，分別取x=1.2和一個(gè)2×3矩陣為自變量計(jì)算該多項(xiàng)式的值。
2．矩陣多項(xiàng)式求值
polyvalm函數(shù)用來求矩陣多項(xiàng)式的值，其調(diào)用格式與polyval相同，但含義不同。polyvalm函數(shù)要求x為方陣，它以方陣為自變量求多項(xiàng)式的值。設(shè)A為方陣，P代表多項(xiàng)式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含義是：
A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而polyval(P,A)的含義是：
A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))
例6-20 仍以多項(xiàng)式x4+8x3-10為例，取一個(gè)2×2矩陣為自變量分別用polyval和polyvalm計(jì)算該多項(xiàng)式的值。
6.5.4 多項(xiàng)式求根
n次多項(xiàng)式具有n個(gè)根，當(dāng)然這些根可能是實(shí)根，也可能含有若干對共軛復(fù)根。MATLAB提供的roots函數(shù)用于求多項(xiàng)式的全部根，其調(diào)用格式為：
x=roots(P)
其中P為多項(xiàng)式的系數(shù)向量，求得的根賦給向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分別代表多項(xiàng)式的n個(gè)根。
例6-21 求多項(xiàng)式x4+8x3-10的根。
命令如下：
A=[1,8,0,0,-10];
x=roots(A)
若已知多項(xiàng)式的全部根，則可以用poly函數(shù)建立起該多項(xiàng)式，其調(diào)用格式為：
P=poly(x)
若x為具有n個(gè)元素的向量，則poly(x)建立以x為其根的多項(xiàng)式，且將該多項(xiàng)式的系數(shù)賦給向量P。
例6-22 已知 f(x)
(1) 計(jì)算f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程f(x)=0的根構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式g(x)，并與f(x)進(jìn)行對比。
命令如下：
P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
X=roots(P) %求方程f(x)=0的根
G=poly(X) %求多項(xiàng)式g(x)
