所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　

綜上所述，緩和曲線的線形條件，可歸納如表2-5。

表 2-5 緩和曲線線形條件表

順序	符號	始點(diǎn)	終點(diǎn)	始終至終點(diǎn)之間
1	y	0	y0	連續(xù)變化
2	φ	0	φ0
3	K	0	1/R
4		0	0
5		0	0

　　可以看出，表中前兩項(xiàng)是基本的幾何形位要求，而后三項(xiàng)則是由行車平穩(wěn)性形成的力學(xué)條件推導(dǎo)出的幾何形位要求。在行車速度不高的線路上，滿足前三項(xiàng)要求的緩和曲線尚能適應(yīng)列車運(yùn)行的需要，而在速度較高的線路上，緩和曲線的幾何形位就必須考慮后兩項(xiàng)的要求。

三、常用緩和曲線

　　滿足表2-6中前三項(xiàng)要求的緩和曲線，是目前鐵路上最常用的緩和曲線，所以也稱為常用緩和曲線。
　　常用緩和曲線的外軌超高順坡，其基本方程必須滿足的條件為：
　　當(dāng)l=0 時(shí)，K=0 ；當(dāng)l=l0 時(shí)，K=1/R 。
　　由超高與曲率的線性關(guān)系可知，滿足這些條件的基本方程應(yīng)為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2－23）

式中 K--緩和曲線上任意一點(diǎn)的曲率；
　　 l--緩和曲線上某一點(diǎn)離ZH點(diǎn)（或HZ點(diǎn)）的距離；
　　 K0--緩和曲線終點(diǎn)HY點(diǎn)（或YH點(diǎn)）的曲率；
　　 l0--緩和曲線長度。
　　由式（2-12）可見，緩和曲線長度l與其曲率K成正比。符合這一條件的曲線稱為放射螺旋線。
　　緩和曲線的偏角為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－24）

　　在緩和曲線終點(diǎn)處，l=l0,緩和曲線偏角為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－25）
　　由式（2-24）可見，在緩和曲線長度范圍內(nèi)，偏角 數(shù)值較小，可取近似值：

于是可得　　　　　　　　　　　　　　

積分上兩式得

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　?。?－26）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－26）

　　這就是放射螺旋線得近似參變數(shù)方程式，是我國鐵路常用得緩和曲線方程式。如消去上兩式得參變數(shù)l，則得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2－28）

　　這是放射螺旋線得近似直角坐標(biāo)方程式。在曲線半徑較小得鐵路上，采用第一項(xiàng)作為近似式。

四、高次緩和曲線

　　滿足表2-6中前兩項(xiàng)或全部五項(xiàng)要求得緩和曲線稱為高次緩和曲線。高次緩和曲線外軌超高順坡為曲線順坡。這種曲線在列車經(jīng)過時(shí)，各種力得作用不突然產(chǎn)生和消失，適應(yīng)高速行車的需要。
　　求緩和曲線方程的方法，可先確定一個符合條件的基本方程，在逐步推導(dǎo)，最后得出所需求的緩和曲線方程式。
　　表2-6列出可用于高速鐵路的三種高次緩和曲線。

表 2-6 高次緩和曲線

緩和曲線	基本方程	方程式
趙氏七次式
沙氏正弦形
日本高速鐵路半波正弦形

五、緩和曲線的長度

　　緩和曲線長度的確定，受到許多因素影響，其中最主要的是保證行車安全和行車平穩(wěn)兩個條件。
　　1.緩和曲線要保證行車安全，使車輪不致脫軌。
　　機(jī)車車輛行駛在緩和曲線上，若不計(jì)軌道彈性和車輛彈簧作用，則車架一端的兩輪貼著鋼軌頂面；另一端的兩輪，在外軌上的車輪貼著鋼軌頂面，而在內(nèi)軌上的車輪是懸空的。為保證安全，應(yīng)使車輪輪緣不爬越內(nèi)軌頂面。設(shè)外軌超高順坡坡度為i，最大固定軸距為Lmax ，則車輪離開內(nèi)軌頂面的高度為 。當(dāng)懸空高度大于輪緣最小高度 iLmax時(shí)，車輪就有脫軌的危險(xiǎn)。因此必須保證：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （2－29）

式中 　i0-- 外軌超高順坡坡度。
　　緩和曲線長度l0應(yīng)為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(2-30)
式中 h0--圓曲線超高度。
　　對外軌超高順坡為曲線性的緩和曲線，外軌超高順坡的最大坡度也要滿足式（2-29）對i0 的要求。曲線形順坡的坡度由下式計(jì)算：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2－31）

　　《鐵路線路維修規(guī)則》規(guī)定：曲線超高應(yīng)在整個緩和曲線內(nèi)完成，順坡坡度一般不應(yīng)大于1/(9vmax)；困難條件下不得大于1/(7vmax) 。當(dāng)1/(7vmax)大于2‰時(shí)，按2‰設(shè)置。
　　2.緩和曲線長度要保證外輪的升高（或降低）速度不得超過限值，以滿足旅客舒適度要求。
　　車輪在外軌上的升高速度μ由下式計(jì)算：

式中　 h--圓曲線外軌超高，以mm計(jì)；
　　　vmax--通過曲線的最高行車速度，以m／s計(jì)；
　　　　l0--緩和曲線長度，相當(dāng)于直線形順坡緩和曲線長度，以m計(jì)。
為保證旅客舒適度的要求，則緩和曲線長度為：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－32）

式中 　　Vmax--通過曲線的最高行車速度，以km／h計(jì)；
　　　　　1/3.6--換算系數(shù)。
　　我國根據(jù)長期運(yùn)營實(shí)踐，μ０在一般情況下采用32mm／s；困難地段用40mm／s 。
　　運(yùn)營鐵路以實(shí)際最高行車速度及實(shí)設(shè)超高為計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)。一般地段μ０ ＝28mm／s，特別困難地段μ０ ＝40mm／s。則在一般地段應(yīng)取：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－33）

　　計(jì)算結(jié)果取兩項(xiàng)要求中的最大值，并取為10m的整倍數(shù)。《鐵路線路設(shè)備大修規(guī)則》規(guī)定：緩和曲線長度 一般地段：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－34)

特別困難地段

　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?－35)

式中 　l0--緩和曲線長，以m計(jì)；
　　　 h--超高，以m計(jì)；
　　　Vmax--容許最高行車速度。
　　計(jì)算結(jié)果取10m的整倍數(shù)，長度不短于20m。兩緩和曲線間的圓曲線長度不短于20m。
　　緩和曲線長度應(yīng)根據(jù)曲線半徑，路段旅客列車設(shè)計(jì)速度和地形條件按表2-7選用。有條件時(shí)應(yīng)采用較表2-7規(guī)定的更大值。

表 2-7 緩和曲線長度(m)