第九章  因式分解單元教學設計

北京市義務教育課程改革實驗教材（2005版）第14冊

一、本章主要內容：1。因式分解的概念。2。因式分解的基本方法

二、地位與作用：本章內容是在整式運算的基礎上學習的，因式分解與整式乘法為互逆的恒等變形^①，與整式乘法運算有著密切的聯(lián)系。因式分解在今后學習分式化簡（約分和通分）、解方程等知識中有廣泛的應用。

三、教材編寫特點：

1．教材只介紹了最基本的因式分解的方法，即提公因式法和運用公式法，在運用公式法中只涉及了平方差公式、完全平方公式。

2．在教材編寫中，努力滲透了類比思想。比如，類比因數(shù)分解的概念引出因式分解的概念。

3．教材在概念引出的過程中，通過“想一想”、“議一議”等欄目，給學生留出觀察、分析、歸納的空間和時間，以利于培養(yǎng)學生的能力。

4．在方法的得出過程中，也通過“想一想”、“議一議”等欄目，給學生留出觀察、思考、討論的空間和時間，讓學生體驗轉化的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的能力。

5．本教材把分組分解法、十字相乘法等比較靈活的數(shù)學知識設計成“探究與應用”的欄目，供學有余力的學生學習。

6．介紹了利用圖形計算器進行因式分解的方法，以提高學生的興趣，開闊學生的眼界。

四、課程標準的要求：會用提公因式法、公式法（直接用公式不超過二次）進行因式分解（指數(shù)是正整數(shù)）。

五、考試說明的要求：

六、教學目標：

1．基本要求：（面向每一名學生）

（1）了解因式分解的概念

（2）學會用提公因式法、公式法進行因式分解，并能應用因式分解解決一些簡單的數(shù)學問題，提高運算能力

（3）經(jīng)歷公式的幾何背景，體驗數(shù)形結合的思想、體會轉化思想

（4）培養(yǎng)學生嚴謹、認真的學習態(tài)度，增強學習數(shù)學的信心（主要針對學困生）

2．略高要求：（面向中等以上的學生） 

（1）領會乘法公式與因式分解的關系

（2）通過對學生學習方法的指導，提高學生的探究能力與合作精神

（3）練習用換元法進行因式分解

3．較高要求：（針對部分優(yōu)秀生）

（1）了解利用圖形計算器進行因式分解

（2）掌握分組分解法、十字相乘法進行因式分解

設計說明：

1．本教學目標是單元教學目標

2．教學目標的設計從學生不同層次水平出發(fā)，進行有針對性地設計

3．本教學目標設計屬于試驗階段，不妥之處請多指正。

4．分層的界定是個難題。

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七、課時計劃：7課時

八、重點、難點、關鍵

1．重點：因式分解的提公因式法、運用公式法。

教材只介紹了最基本的因式分解的方法，即提公因式法和運用公式法，在運用公式法中只涉及了平方差公式、完全平方公式。

2．難點：在因式分解中，把比較復雜的符號形式通過變形轉化為簡單的公式形勢。

這是教學參考書中的看法，我認為因式分解的概念是難點。

3．關鍵：有效練習。

九、教學建議：

1．要注意因式分解與因數(shù)分解的類比關系。

2．要注意因式分解與整式乘法的互逆關系。

3．要注意因式分解過程中轉化思想的應用。

4．要注意給學生設置問題情景，留出較多的空間和時間，應到學生在觀察、試驗、分析、歸納、類比的參與過程中，體驗和領會蘊涵其中的數(shù)學思想方法。

5．在上面的過程中，培養(yǎng)學生學會有條理的思考，組織學生開展交流與討論。

6．在因式分解的教學過程中，通過因式分解的訓練，培養(yǎng)學生言之有理，落筆有據(jù)，明白算理，嚴謹認真的習慣。

7．要避免過于繁瑣的計算，避免過分追求題目的數(shù)量和難度。

8．從整體和較高層次上把握本章的知識內容，提高學習能力和綜合素質。

十、計劃研究的幾個問題：

1．因式分解與密碼設置的關系

2．提高練習效率。練習題采取題組的形式出現(xiàn)。要安排出層次。

3．本章內容看著簡單，做起來很難，需要與做哪些準備。

4．本章與第七章《整式的運算》關系密切，而教材沒有直接安排，中間插入了《觀察、猜想與證明》一章。估計編者是出于整式的運算，有一部分學生需要進一步練習的原因。另外，在學習因式分解的同時可以練習鞏固《證明》。在學習第十章《數(shù)據(jù)的收集與表示》這一章時，進一步鞏固練習因式分解。

①恒等變形：把一個數(shù)學式子變成另一個和它恒等的式子,叫做恒等變形。恒等變形常用的辦法是通分,去括號,添括號,分解因式,合并同類項或同類根式,有理化分母,應用運算律和已知的恒等式...  

恒等變形

　　恒等概念是對兩個代數(shù)式而言，如果兩個代數(shù)式里的字母換成任意的數(shù)值，這兩個代數(shù)式的值都相等，就說這兩個代數(shù)式恒等．

　　表示兩個代數(shù)式恒等的等式叫做恒等式．

　　如：a＋b＝b＋a；2x＋5x＝7x都是恒等式．而t2＋6＝5t，x＋7＝4都不是恒等式．以前學過的運算律都是恒等式．

　　將一個代數(shù)式換成另一個和它恒等的代數(shù)式，叫做恒等變形(或恒等變換)．

　　以恒等變形的意義來看，它不過是將一個代數(shù)式，從一種形式變?yōu)榱硪环N形式，但有一個條件，要求變形前和變形后的兩個代數(shù)式是恒等的，就是“形”變“值”不變．

　　如何判斷一個等式是否是恒等式，通常有以下兩種判斷多項式恒等的方法．

　　1．如果兩個多項式的同次項的系數(shù)都相等，那么這兩個多項式是恒等的．

　　如2x2＋3x－4和3x－4＋2x2當然恒等，因為這兩個多項式就是同一個．

　　反之，如果兩個多項式恒等，那么它們的同次項的系數(shù)也都相等(兩個多項的常數(shù)項也看作是同次項)．

　　2．通過一系列的恒等變形，證明兩個多項式是恒等的．

　　如：如果ax2＋bx＋c＝px2＋qx＋r是恒等式，那么必有：a＝p，b＝q，c＝r

　　例：求b、c的值，使下面的恒等成立．

　　x2＋3x＋2＝(x－1)2＋b(x－1)＋c ①

　　解一：∵①是恒等式，對x的任意數(shù)值，等式都成立

　　設x＝1，代入①，得

　　12＋3×1＋2＝(1－1)2＋b(1－1)＋c

　　c＝6

　　再設x＝2，代入①，由于已得c＝6，故有

　　22＋3×2＋2＝(2－1)2＋b(2－1)＋6

　　b＝5

　　∴x2＋3x＋2＝(x－1)2＋5(x－1)＋6

　　解二：將右邊展開

　　x2＋3x＋2＝(x－1)2＋b(x－1)＋c

　?。?/span>x2－2x＋1＋bx－b＋c

　　＝x2＋(b－2)x＋(1－b＋c)

　　比較兩邊同次項的系數(shù)，得

　　由②得b＝5

　　將b＝5代入③得

　　1－5＋c＝2

　　c＝6

　　∴x2＋3x＋2＝(x－1)2＋5(x－1)＋6

　　這個問題為依照x－1的冪展開多項式x2＋3x＋2，這個解題方法叫做待定系數(shù)法，它是先假定一個恒等式，其中含有待定的系數(shù)，如上例的b、c，然后根據(jù)恒等的意義或性質，列出b、c應適合的條件，然后求出待定系數(shù)值．