對(duì)于一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，只要抓住要點(diǎn)，家長(zhǎng)鼓勵(lì)協(xié)同，熟練圖形結(jié)合思維，效果自然顯現(xiàn)。

一次函數(shù)是函數(shù)中的一種，一般形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，k≠0），其中x是

自變量

正比例函數(shù)

一次函數(shù)及其圖象是

初中代數(shù)

函數(shù)的定義：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有惟一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。

表示方法

一次函數(shù)有三種表示方法，如下：

解析式法:

一次函數(shù)的解析式為：

其中m是

斜率

常數(shù)

基本性質(zhì):

函數(shù)性質(zhì)

1. y的變化值與對(duì)應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k，b為常數(shù)）。

2. 當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的交點(diǎn)，坐標(biāo)為(0,b)。

當(dāng)y=0時(shí)，該函數(shù)圖象在x軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/k，0）。

3. k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率，k=tanθ(角θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角，θ≠90°)。

4. 當(dāng)b=0時(shí)(即 y=kx)，一次函數(shù)圖象變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。

5. 函數(shù)圖象性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行；

當(dāng)k不同，且b相等，圖象相交于Y軸；

當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩直線垂直。

6. 平移時(shí)：上加下減在末尾，左加右減在中間。

圖像性質(zhì):

1. 作法與圖形：通過(guò)如下3個(gè)步驟：

（1）列表：每確定自變量x的一個(gè)值，求出因變量y的一個(gè)值，并列表；

（2）描點(diǎn)：一般取兩個(gè)點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理，即在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)。

一般地，y=kx+b（k≠0）的圖象過(guò)(0, b)和(-b/k, 0)兩點(diǎn)即可畫(huà)出。

正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的一條直線，一般取(0, 0)和(1, k)兩點(diǎn)畫(huà)出。

（3）連線：可以作出一次函數(shù)的圖象——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖象只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。（通常找函數(shù)圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是與（ a ，0），（0，b））

2. 性質(zhì)：（1）在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P（x，y），都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是（0，b)，與x軸總是交于（ a，0）正比例函數(shù)的圖象都是過(guò)原點(diǎn)。

3. 函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。

4. k，b與函數(shù)圖象所在象限：

y=kx時(shí)（即b等于0，y與x成正比，此時(shí)的圖象是一條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線)

當(dāng)k>0時(shí)，直線必通過(guò)一、三象限，y隨x的增大而增大；

當(dāng)k<>

y=kx+b（k,b為常數(shù)，k≠0）時(shí)：

當(dāng) k>0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，三象限；

當(dāng) k>0,b<0,>

當(dāng) k<0,b>0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)一，二，四象限；

當(dāng) k<><0,>

當(dāng)b>0時(shí)，直線必通過(guò)一、二象限；

當(dāng)b<>

特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過(guò)原點(diǎn)O（0，0）表示的是正比例函數(shù)的圖象。

這時(shí)，當(dāng)k>0時(shí)，直線只通過(guò)一、三象限，不會(huì)通過(guò)二、四象限。當(dāng)k<>

5. 特殊位置關(guān)系

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值（即一次項(xiàng)系數(shù)）相等。

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)。

6. 直線y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：

k>0,b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、三象限

k>0,b<>

k>0,b=0：經(jīng)過(guò)第一、三象限（經(jīng)過(guò)原點(diǎn)）

結(jié)論：k>0時(shí)，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。

k<0,b>0：經(jīng)過(guò)第一、二、四象限

k<><>

k<>

結(jié)論：k<>

7. 將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b-n，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k(x+n)+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k(x-n)+b。

位置關(guān)系:

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中k的值（即一次項(xiàng)系數(shù)）相等；

當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中k的值互為相反數(shù)。

關(guān)于平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為相反數(shù)的證明：

如圖，這2個(gè)函數(shù)互相垂直，但若直接證明，存在困難，不易理解，如果平移平面直角坐標(biāo)系，使這2個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)交于原點(diǎn)，就會(huì)更簡(jiǎn)單。就像這一樣，可以設(shè)這2個(gè)函數(shù)的表達(dá)式分別為；

y=ax, y=bx。

在x正半軸上取一點(diǎn)（z,0)（便于計(jì)算），做與y軸平行的直線，如圖，可知OC=z，AC=a*z，BC=b*z，由勾股定理可得：

OA=√z^2+(a*z)^2

OB=√z^2+(b^z)^2

又有OA^2+OB^2=AB^2，得

z^2+(az)^2+z^2+(bz)^2=(az-bz)^2 (因?yàn)閎小于0，故為az-bz）

化簡(jiǎn)得：

z^2+a^2*z^2+z^2+b^2*z^2=a^2*z^2-2ab*z^2+b^2*z^2

2z^2=-2ab*z^2

ab=-1

即k=-1

所以兩個(gè)K值的乘積為-1。

注意：與y軸平行的直線沒(méi)有函數(shù)解析式，與x軸平行的直線的解析式為常函數(shù)，故上述性質(zhì)中這兩種直線除外。

另補(bǔ)一次函數(shù)圖形結(jié)合思維圖: