第一節(jié)    三角函數(shù)前后的定義、對應法則不能不一致

角度的定義：兩條相交直線之間的夾角就是角度。一個圓周角定義為360⁰，角度值范圍為0~360，量綱為度（⁰），規(guī)定圓心角的周期為360⁰，角度值就可以推廣到任意值。

弧度的定義：弧度=弧長/半徑，一個圓周的弧度是2，弧度值范圍為0~2（為圓周率），量綱為弧度，規(guī)定弧度的周期為2弧度，弧度值就可以推廣到任意值。

設圓的半徑為r，表達同一圓心角的角度值為x、弧度值為h，圓心角所對應的弧長為l，則存在同圓、同圓心角、同弧長的關(guān)系，即l=hr=r，h=*x，即同一圓心角或同角的角度值和弧度值之間存在一個固定比例：弧度值=*角度值。

三角函數(shù)的定義：直角三角形的銳角值與其邊長比之間的映射或?qū)▌t，其自變量的定義域為角度值，量綱為角度。在銳角的極限值定義為三角函數(shù)的特殊值后，三角函數(shù)就適用任意角。

特別指出：任意函數(shù)y=f（x），函數(shù)y值都是自變量x值的某一種對應法則或映射或公式f，這里x、y都是實數(shù)，用平面直角坐標系表達就在x軸、y軸上，x軸、y軸可以表達不同物理量綱值。一個具體的函數(shù)有對應法則、值域、定義域、物理量綱值，它們之間存在固定關(guān)系或規(guī)律，將不可改變。

設變量x為角度值，其對應弧度值為h，三角函數(shù)為sjhs（x），因角度值和弧度值之間存在一個固定比例，則存在關(guān)系式：h=，其中π為圓周率。由于目前初等教育在數(shù)學課本上已定義了三角函數(shù)y=sjhs（x），因此高等教育在數(shù)學教材上就不能再直接定義三角函數(shù)y=sjhs（h），而僅有且唯一存在y=sjhs（*h），即三角函數(shù)已定義直接使用角度值而不能再直接使用弧度值，三角函數(shù)如果要使用弧度值，也必須要先把弧度值轉(zhuǎn)換為角度值后才能使用，即弧度變量只能是復合型的，而不能再直接被三角函數(shù)使用，例如函數(shù)y=sin（x），其中x只能直接使用角度值，而不能直接使用弧度值，要使用弧度值，也只能這樣使用y=sin（*h），也可以寫成一般形式：y=sin（*x），其中x為弧度值，x軸是弧度數(shù)軸。即一個具體的三角函數(shù)有對應法則、值域、定義域、物理量綱，它們之間存在固定關(guān)系或規(guī)律，將不可改變。由此可見，目前高等教育的三角函數(shù)定義就否定了初等教育的三角函數(shù)定義，其前后定義、對應法則將產(chǎn)生自相矛盾邏輯，這是任何語言文字都不允許發(fā)生的事情，因此高等教育的三角函數(shù)定義是非法定義，必須堅決、立即廢除。

第二節(jié)    證明極限定理

極限定理：=（x為角度值）

設O為圓心，OA、OB為半徑r，

AB為圓的弦，E為圓弧AB的中點，

CD為過E點的切線，交OA、OB與C、D，<AOB=x，顯然

?AOB的面積<扇形AOB的面積<?COD的面積

即<π<

利用<π得：

 < ，取極限得：

   ……（1）

利用π< 得：

 > ，兩邊取極限得：

 ≥ ，令t=，則

≥，換成一般寫法亦有：

≥    ……（2）

由（1）、（2）及兩面夾定理可得：

=（x為角度值）  ……（3）

極限定理得證。

在（3）式中令x=h，h為弧度值，則

=，

即=（h為弧度值）  ……（4）

目前在高等數(shù)學中，

 = =  （這里特別說明三角函數(shù)不能直接用弧度值計算，只能直接使用角度值計算），

  =  （h為弧度值），寫成一般形式：

   =  （x為弧度值） ……（5）

因此高等數(shù)學的三角函數(shù)寫法、微積分公式都是錯誤的，

導數(shù)（sinx）’ ≠ cos（x），（cosx）’ ≠ -sinx,這里x為角度值。

由（3）可得導數(shù)公式：

（sinx）’ = cos（x）（x為角度值）    ……（6）

（cosx）’ = sin（x）（x為角度值）   ……（7）

在（6）、（7）中令x=h，h為弧度值，則

（sin（））’ = cos（）（h為弧度值）

（cos）’ = sin（）（h為弧度值）

寫成一般形式：

（sin（））’ = cos（）（x為弧度值）      ……（8）

（cos）’ = sin（）（x為弧度值）……（9）

（3）~（9）式都是三角函數(shù)微積分的基本公式，目前高等數(shù)學的三角函數(shù)微積分公式將被取代或修改。

第三節(jié)  證明目前高等教育數(shù)學的三角函數(shù)微積分公式是錯誤的

假設y=cosx，x軸為角度數(shù)軸，在區(qū)間（0,90）上的定積分為：

sinx│₀⁹⁰=≈57.3，而不是1，目前在高等數(shù)學上，沒有給出三角函數(shù)角度定積分的計算方法。由于三角函數(shù)只能直接使用角度值進行運算，而不能直接使用弧度值進行運算，三角函數(shù)必須使用角度值進行微積分運算，這是微積分理論存在的不完善部分，因此微積分理論，必須增加三角函數(shù)的角度微積分公式。

又假設y=cosx，x軸為弧度數(shù)軸，在區(qū)間（0，）上的定積分為目前高等數(shù)學上的計算方法為：

=sinx│₀⁹⁰=sin=1，由于x為弧度值，令x=，t為角度值，由于

==，這里利用了極限定理（3），

≠ 1，因此導數(shù)（sinx）’≠cosx，高等數(shù)學計算結(jié)果是錯誤的，正確的計算方法是： t軸為角度數(shù)軸，t在區(qū)間（0,90）上變動，則有

=

          =

         =sin（）│₀⁹⁰  (利用導數(shù)公式

（sin（））’=(cos（）)

         =sin

         ≈sin1.57

          ≈1.569

由于定積分值是唯一定值，≠1，從而證明目前高等數(shù)學的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的微積分公式是錯誤的，與其相關(guān)的計算結(jié)果也是錯誤的。同理可證，目前大學里的其他三角函數(shù)的微積分公式都是錯誤的。也就是說，目前大學課本上，三角函數(shù)直接使用弧度值，而直接否定了初等教育的三角函數(shù)定義、對應法則，造成了理解混亂、前后定義自相矛盾邏輯、三角函數(shù)微積分公式錯誤，嚴重阻礙了高等數(shù)學、物理學等等領(lǐng)域的科學發(fā)展，這個重大微積分錯誤世界各國都必須立即給予糾正。

第四節(jié)  某些函數(shù)y= f(x) 在點 x0取0 的泰勒展開式

令f（x）=sin（x*180/π），x0取0，x軸是弧度數(shù)軸，則

sin（x*180/π）=x-x^3/3！+…+（-1）^（n+1）*x^（2n-1）/（2n-1）！+….

令f（x）=cos（x*180/π），x0取0，x軸為弧度數(shù)軸，則

cos（x*180/π）=1-x^2/2！+…+（-1）^（n+1）*x^（2n-2）/（2n-2）！+…

令f（x）=sinx，x0取0，x軸為角度數(shù)軸，則

sinx=px-（px）^3/3！+（-1）^（n+1）*（px）^（2n-1）/（2n-1）！+…，其中p=π/180，π為圓周率。

令f（x）=cos（x），x0取0，x軸為角度數(shù)軸，則

cos（x）=1-（px）^2/2！+…+（-1）^（n+1）*（px）^（2n-2）/（2n-2）！+…，其中p=π/180，π為圓周率（純數(shù)值）。