很多人學(xué)不好微分幾何，不是因?yàn)閿?shù)學(xué)不行，而是選錯(cuò)了路徑?；A(chǔ)打得不牢，書選得不對(duì)，教材啃得太早，概念跳過太多，最后只能淺嘗輒止。結(jié)局只有一個(gè)：半懂不懂。

第一件事，別急著動(dòng)手做題，先搞清楚“你要學(xué)的東西”是什么。微分幾何不是單純的幾何，它是“微積分+幾何”的混合體，本質(zhì)是用微積分的方法研究光滑空間的局部結(jié)構(gòu)，說白了，是研究“彎曲”。

搞不懂“彎曲”，別談微分幾何。

第二件事，先補(bǔ)好三門功課：微積分、線性代數(shù)、實(shí)分析。光滑流形上所有的分析操作，基本都靠這三科打地基。

特別提醒：沒有實(shí)分析的訓(xùn)練，做不來證明；沒有線性代數(shù)的掌握，理解不了切空間；沒有多元微積分，根本跟不上計(jì)算。

第三件事，不要一上來就啃主流教材。太早讀Spivak、do Carmo、Lee，不是拉開差距，是提前放棄。

先回頭讀歷史。Greenberg的《Euclidean and Non-Euclidean Geometries》，從歐幾里得到黎曼，把幾何的演化路徑講清楚。這不是副本任務(wù)，這是正主入門。你連平行公設(shè)的爭(zhēng)論都沒看懂，怎么理解高維空間的局部結(jié)構(gòu)？

第四件事，搞清楚“流形”和“曲面”不是一碼事。前者抽象，后者具體，前者是概念空間，后者是例子世界。真正要入門微分幾何，不能繞過“曲面”。

推薦三本書，Marco do Carmo《Differential Geometry of Curves and Surfaces》、Barrett O'Neill《Elementary Differential Geometry》、Andrew Pressley《Elementary Differential Geometry》。只選一本，不要貪多，吃透。

第五件事，開始攻“流形”概念。別急著看Spivak的五卷套，太早。先看John M. Lee《Introduction to Smooth Manifolds》或Loring Tu的《An Introduction to Manifolds》。兩本都是“上得了研究生，下得了本科生”的好書。

別被術(shù)語嚇退。什么Chart、Atlas、Homeomorphism，翻幾頁就習(xí)慣了。最重要的是看圖，動(dòng)手畫，眼睛不信，手會(huì)信。

第六件事，記住這幾個(gè)詞：切空間、向量場(chǎng)、微分形式、黎曼度量、測(cè)地線、協(xié)變導(dǎo)數(shù)。這是微分幾何的基本操作，一項(xiàng)都不能漏。它們不光是定義，而是工具，是你理解流形結(jié)構(gòu)的抓手。

第七件事，搞清楚“平滑”是啥意思。光滑函數(shù)，是可以無限次求導(dǎo)的函數(shù)。平滑流形，是可以拼接出一整套無限可導(dǎo)坐標(biāo)圖的空間。沒有這套語言體系，所有的黎曼度量、測(cè)地線方程都無從下筆。

別犯錯(cuò)。微分幾何不講“大局”，只講“局部”。是局部研究的藝術(shù)。研究每個(gè)點(diǎn)的鄰域，看它像不像歐幾里得空間。能貼坐標(biāo)，就能動(dòng)微分；不能貼，就只能干瞪眼。

別被拓?fù)鋰樛?。真正?shí)用的微分幾何，不依賴于高深的點(diǎn)集拓?fù)?。?huì)開圖，會(huì)換坐標(biāo)，會(huì)算導(dǎo)數(shù)，你就能學(xué)。MIT、Notre Dame、Radboud 三個(gè)大學(xué)的公開課，講得明明白白。

最后，別亂買書。現(xiàn)在的最大問題不是資料太少，而是太多。書太多是災(zāi)難，視頻太多是混亂。一次只讀一本，視頻只看一個(gè)系列，路徑選對(duì)，時(shí)間才不會(huì)被浪費(fèi)。

選書之前，先看目錄，看是不是從“曲線”講起，是不是避免用了代數(shù)拓?fù)?，是不是全書配圖詳細(xì)，有沒有練習(xí)題。能滿足這幾點(diǎn)，才是合適的第一本書。

搞懂這些，微分幾何就不是難事。它不拒絕你，但會(huì)試探你。你走對(duì)第一步，后面才能走得穩(wěn)。

差不多就這些了。你該動(dòng)手了。