除了正方體拼搭過程中表面積發(fā)生變化，長方體也會發(fā)生。而現(xiàn)實(shí)生活中的“包裝問題”和“分割”問題就和表面積的變化有關(guān)。

問題一 包裝問題

例題：要將兩盒相同的巧克力（長3分米，寬2分米、高1分米）用包裝紙包裝在一起。怎樣包裝才能使包裝紙用的最少？（不計(jì)損耗和接縫）

有幾種包裝方法，取決于長方體的特征。一般長方體有3組不同的面，就有三種不同的拼法。

那到底哪一種拼法表面積最??？或者說拼完后的表面積如何計(jì)算呢？

方法一：利用拼后長方體公式計(jì)算

（1）將上下兩個(gè)面重疊

（2）將左右兩個(gè)面重疊

（3）將前后兩個(gè)面重疊

所以，采用第一種包裝用紙最少。

方法二：利用表面積變化去計(jì)算

由于這個(gè)長方體有三組不同的面，所以有三種不同的拼法。每一次拼后就會消失兩個(gè)面。當(dāng)然拼走的面越大，剩下的面積就越少。

所以利用原來2個(gè)長方體表面積之和—消失的兩個(gè)面面積等于現(xiàn)在長方體的表面積。這里的“2”不要遺漏。

方法三：利用長方體面的特點(diǎn)去計(jì)算

兩個(gè)長方體應(yīng)該有4個(gè)上下面，4個(gè)前后面，4個(gè)左右面。每種拼法都會消失兩個(gè)面。

（1）上下面重疊：新組成的長方體就有2個(gè)原來長方體的上下面，4個(gè)前后面，4個(gè)左右面。

（2）左右面重疊：新組成的長方體就有4個(gè)原來長方體的上下面，4個(gè)前后面，2個(gè)左右面。

（3）前后面重疊：新組成的長方體就有4個(gè)原來長方體的上下面，2個(gè)前后面，4個(gè)左右面。

小結(jié)：兩個(gè)長方體不管怎樣重疊，每次都會減少兩個(gè)面，重疊的面越大，拼成的長方體的表面積就越?。恢丿B的面越小，拼成的長方體的表面積就越大。

三種不同的計(jì)算方法，思考的方式是不同的。

那如果是個(gè)“特殊”的長方體（有兩個(gè)面是正方形），還是有三種拼法嗎？

顯然這里只有兩種情況，因?yàn)榇藭r(shí)長方體只有兩種長方形的面。此時(shí)學(xué)生依然可以用剛才的三種思考方法之一求求它們的表面積。

反過來，如果將一個(gè)長方體進(jìn)行切割，每割一次，就增加2個(gè)面，沿著不同的方向割，增加的兩個(gè)面的面積是不一樣的。

通過每次增加的面積，分別求出左右、前后、上下兩個(gè)面的面積，這樣就能求出原來長方體的表面積了。也就是增加的面積其實(shí)就是原來長方體的表面積。

當(dāng)然，每切割一次，就增加2個(gè)大正方形的面，那切割了3次，就相當(dāng)于增加了上下、前后、左右6個(gè)面。所以切割后的8小正方體表面積之和比原來大正方體的表面積增加的面積，就是原來這個(gè)大正方體的表面積。

所以不管是正方體、長方體，只要拼在一起，面有重疊，并且重疊的越多，表面積就會變小。比如這三個(gè)正方體拼成一個(gè)組合體，顯然第2種的拼法組合體的表面積更小。

問題二 分割問題

從長方體中分割出一塊以后的立體圖形面積

例1：從一個(gè)棱長為8的正方體角上挖去一個(gè)長寬高分別為a、b、c的小長方體(a、b、c都小于8)，求所得新幾何體的表面積。

解：表面積=8×8×6=384，表面積不變。

之前已經(jīng)探究過挖走正方體的情況。除了從角上挖去以外，還可能是從棱上挖，或者從面上挖，另外挖的時(shí)候是否穿透，解題時(shí)需根據(jù)不同情況分別對待。

下面三幅圖分別表示了未穿透的三種情況。

假設(shè)原來正方體的棱長都是8，挖去的都是2×3×4的小長方體。上述例題即圖1所示，減少的面均得到彌補(bǔ)，所以表面積與未挖時(shí)一樣。

        圖1                       圖2                           圖3

?由圖2可知，挖去后新幾何體中有兩組面彌補(bǔ)了原圖形表面積，但還有一組面是多出來的，即ABFE和CDGH。因此，新幾何體的表面積總體來說比原來正方體的總面積多兩個(gè) ABFE 的面積。

表面積 = 8×8×6+(2×3)×2=396

?由圖3可知，挖去后新幾何體比原來正方體的總面積多出了上下左右四個(gè)面的面積。

表面積 =  8×8×6+(2×3)×2+(2×4)×2=412

那如果穿透呢？

如上圖，分別從棱長為8的正方體角上、棱上、面上挖去一個(gè)2×4×8的長方體，求新幾何體的表面積。

（1）由圖1可知，新幾何體的前后兩個(gè)面比原來的正方體前后面共少了2個(gè)AEHD面，表面積 = 8×8×6－(2×4)×2=368。

（2）由圖2可知，新幾何體的前后兩個(gè)面比原來的正方體前后面也是共少了2個(gè)AEHD面，而左右面共多了2個(gè)AEFB 面。表面積 = 8×8×6-(2×4)×2+(2×8)×2=400。

（3）由圖3可知，新幾何體的前后兩個(gè)面比原來的正方體前后面也是共少了2個(gè)AEHD面，而左右面共多了2個(gè)AEFB面，上下面也多了2個(gè)EHGF面。

表面積= 8×8×6-（2×4）×2 +（2×8）×2 +（4×8）×2 = 464.

關(guān)于表面積變化的問題有很多。不管是上面的包裝問題，還是切割問題，只要清楚地知道面是如何變化的，就不難理解。在借助于學(xué)具的演示或信息技術(shù)的基礎(chǔ)上，還需要自己的想象，更容易發(fā)現(xiàn)變化的情況。