這篇短文簡(jiǎn)單聊一聊平面中的漸開(kāi)線齒輪，這種簡(jiǎn)單機(jī)械的意義似乎超過(guò)了很多更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。

齒輪的功能是將旋轉(zhuǎn)從機(jī)械的一部分傳遞到另一部分。雖然看上去簡(jiǎn)單，但如果想獲得穩(wěn)定的傳動(dòng)，即使對(duì)平面齒輪來(lái)說(shuō)，齒廓曲線的設(shè)計(jì)也不是一件隨便的事。例如下面這個(gè)（Algodoo中的原裝齒輪）便無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)：

考慮一對(duì)具有光滑齒廓曲線的剛性平面齒輪, 其轉(zhuǎn)軸固定于A和B點(diǎn), 假設(shè)這兩個(gè)齒輪正相切于P點(diǎn)：在分析這個(gè)問(wèn)題之前，首先來(lái)復(fù)習(xí)一下如何描述平面中一根棒的轉(zhuǎn)動(dòng)。建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，將這根棒的一端固定于點(diǎn)，另一端的坐標(biāo)記為，現(xiàn)在將這根棒繞垂直于該平面的z軸以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。如果我們生活在三維空間中，的平面運(yùn)動(dòng)可以用三維矢量的外積簡(jiǎn)單地描述為, 其中 , ，然后取前兩個(gè)維度的坐標(biāo).

對(duì)于一個(gè)孤立的剛體來(lái)說(shuō)，并不能區(qū)分這樣的轉(zhuǎn)動(dòng)是'主動(dòng)'（即在坐標(biāo)系固定的情況下，旋轉(zhuǎn)剛體）還是'被動(dòng)'（即在剛體固定的情況下，旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系）的。實(shí)際上這正是'剛體'的定義：在旋轉(zhuǎn)下不變！如果坐標(biāo)系固定，剛體的狀態(tài)在旋轉(zhuǎn)下當(dāng)然會(huì)改變，但這樣的旋轉(zhuǎn)總是可以被某個(gè)全局的坐標(biāo)變換所抵消。不過(guò)當(dāng)剛體多于一個(gè)的時(shí)候，被動(dòng)旋轉(zhuǎn)的形式就相當(dāng)特殊了：每個(gè)剛體的旋轉(zhuǎn)中心相同（如果只進(jìn)行這種形式的旋轉(zhuǎn)，說(shuō)明它們是同一個(gè)剛體）。齒輪所致力于傳遞的正是主動(dòng)旋轉(zhuǎn)。

現(xiàn)在可以描述兩個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)了，讓我們聚焦于在此刻相切的P點(diǎn)。在齒輪A上，該點(diǎn)處的速度為：，而在齒輪B上，該點(diǎn)處的速度為：。要使兩個(gè)齒輪持續(xù)嚙合（滿足此條件的兩個(gè)齒廓曲線稱為一對(duì)'共軛曲線'），它們的相對(duì)速度需要平行于公切線(設(shè)切線方向?yàn)?/span>；其垂直方向記為)：

也即 和 平行（或者說(shuō)， ），否則下一刻齒輪A上P處的點(diǎn)會(huì)進(jìn)入齒輪B中...同時(shí)我們希望獲得穩(wěn)定的傳動(dòng)比，即保持為常數(shù)。為了滿足這兩點(diǎn)要求，(簡(jiǎn)記 )需要為常數(shù)。

過(guò)P點(diǎn)作一條和公切線垂直的直線L（按上述要求，這條線不可能和AB重合），將它和AB連線的交點(diǎn)記為Q。然而，，所以Q在AB上的位置決定了（這被稱為'齒廓嚙合基本定理'）。因此穩(wěn)定的傳動(dòng)比要求是AB上的定點(diǎn)。

如何實(shí)現(xiàn)呢？一種聰明的設(shè)計(jì)是：采用以A/B為圓心的某個(gè)圓A/B的漸開(kāi)線 (involute or evolvent；注意漸屈線是evolute) 作為齒輪A/B的齒廓曲線。和剛體的理論一樣，這也是Euler的作品。實(shí)際上有無(wú)數(shù)種齒廓曲線滿足穩(wěn)定傳動(dòng)的要求，但只有這種設(shè)計(jì)可以讓兩個(gè)齒輪的公切線和直線AB的夾角（稱為'嚙合角'）始終保持不變。對(duì)于圓來(lái)說(shuō)，其漸開(kāi)線的切線的垂線和該圓相切，所以過(guò)P點(diǎn)的直線L和圓A,B均相切——這樣的直線當(dāng)然只有一條，它和AB連線的交點(diǎn)Q便是一個(gè)固定點(diǎn)（而傳動(dòng)比等于這兩個(gè)生成圓的半徑之比）。

自從愛(ài)因斯坦洞察了時(shí)間和空間的聯(lián)系，時(shí)間很難再被視為孤立的變量。時(shí)間和空間當(dāng)然不是對(duì)稱的（它們的起源或許并不相同），但將時(shí)空看作一個(gè)整體的對(duì)稱性似乎如此基本，且至今都沒(méi)有錯(cuò)誤的跡象（相比之下，另一些理所當(dāng)然的事，例如（局域慣性系中）空間反演、甚至CP變換下的對(duì)稱性，則被發(fā)現(xiàn)并不總是成立）。（局域慣性系中）基本物理定律在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下的不變只是這個(gè)對(duì)稱性的一部分，另一個(gè)部分則涉及洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng) (boost)。

和空間轉(zhuǎn)動(dòng)（或歐氏轉(zhuǎn)動(dòng)）不同，洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)一般不被認(rèn)為具有真正的物理意義，而只是一種坐標(biāo)變換。但或許可以想象某種剛體的運(yùn)動(dòng)并非時(shí)空中的平動(dòng)和空間轉(zhuǎn)動(dòng)，而是平動(dòng)和洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)——這些剛體在洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)下是不變的！它們或許用某個(gè)空間維度來(lái)測(cè)量洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)的速度，因此難以理解空間轉(zhuǎn)動(dòng)（對(duì)它們來(lái)說(shuō)沒(méi)有真正的物理意義）為什么可以回到起點(diǎn)，就像我們無(wú)法理解時(shí)間之矢。雖然這種宏觀剛體的運(yùn)動(dòng)未必反映了支配它們的基本物理定律，這些物理一定擺脫了我們眼中的因果律，因?yàn)檫@些剛體可以肆意穿梭時(shí)間，雖然被某個(gè)空間維度所束縛。

當(dāng)然，也不是非得成為這類實(shí)體才能感受洛倫茲對(duì)稱性，只是需要暫時(shí)放棄三維空間中的某些習(xí)慣（例如只考慮在空間轉(zhuǎn)動(dòng)下'不變'的那些對(duì)象）。實(shí)際上，即使在空間轉(zhuǎn)動(dòng)中也能看到洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)的影子，它們并非毫無(wú)關(guān)聯(lián)。

因此，二維平直時(shí)空中的齒輪傳動(dòng)就成了一個(gè)自然的問(wèn)題。但（和所有問(wèn)題一樣）首先需要將它投射到歐氏空間中。因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系，一種簡(jiǎn)單的做法是令時(shí)空坐標(biāo)（事實(shí)上這組坐標(biāo)對(duì)下面的討論也是最為合適的）?，F(xiàn)在考慮一個(gè)點(diǎn)，假設(shè)。容易驗(yàn)證，關(guān)于點(diǎn)的正向（）洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)可以描述為：, 其中 , ，然后取的前兩個(gè)維度的坐標(biāo)。這里需要把矢量的外積規(guī)則修改為：

從而其結(jié)果垂直于和。

為了滿足穩(wěn)定傳動(dòng)的需求，出于和前面相似的理由，Q應(yīng)該是AB上的定點(diǎn)。為此可以采用以A/B為圓心的某個(gè)圓A/B的閔氏漸開(kāi)線作為齒輪A/B的齒廓曲線。需要注意的是，這里的''圓''滿足，因而從歐幾里得的角度看是一條雙曲線。某些均速的洛倫茲轉(zhuǎn)動(dòng)或許正由這樣的齒輪所傳遞著。