【原】電流密度矢量

cosmos2062 2025-04-18 發(fā)布于廣東

展開全文

引入電流密度矢量的概念，由此寫出電荷守恒定律的微分方程；用電流密度矢量重新表述載流導(dǎo)線中的電流元矢量，并將其推廣到分布于空間中的電流系統(tǒng)。

靜止的帶電體能夠激發(fā)靜電場，而運動的帶電體則激發(fā)隨時間變化的電場。不僅如此，運動的帶電體還能夠以電流的方式按照畢奧—薩伐爾定律激發(fā)磁場。

為了以一種一般的方式寫出運動電荷激發(fā)的磁場，引入電流密度矢量的概念描寫電荷的分布和運動： $\begin{equation}\notag \vec{j}=\rho\vec{v} \end{equation}$ 它的物理意義是：在與電荷運動方向垂直的面上，單位時間內(nèi)通過單位面積截面的電量。而電流強度則被定義為：在與電流流動(電荷運動)方向垂直的面上，單位時間內(nèi)通過的電量： $\begin{equation}\notag I=\int\limits_S\vec{j}\cdot{\rm d}\vec{\sigma} \end{equation}$ 在電流區(qū)內(nèi)任取一個封閉曲面，由于電荷必須守恒，因此，某一段時間間隔中流入該封閉曲面的電量應(yīng)該等于這段時間間隔中曲面內(nèi)電量的增量： $\begin{equation}\notag -\oint\limits_S\vec{j}\cdot{\rm d}\vec{\sigma}=\int\limits_V\frac{\partial\rho}{\partial t}{\rm d}\tau \end{equation}$ 這是電荷守恒方程的積分形式。由于約定封閉曲面朝外為正向，因此，等號左邊的負號表示流入該封閉曲面的電量；等號的右邊顯示，封閉曲面內(nèi)電荷密度的改變導(dǎo)致面內(nèi)電量的改變。

利用矢量場論中的奧—高公式可以得到電荷守恒方程的微分形式： $\begin{equation}\notag \oint\limits_S\vec{j}\cdot{\rm d}\vec{\sigma}=\int\limits_V\left(\nabla\cdot\vec{j}\right){\rm d}\tau=-\int\limits_V\frac{\partial\rho}{\partial t}{\rm d}\tau \end{equation}$ 由于封閉曲面的任意性，等式中的兩個體積分內(nèi)的被積函數(shù)必須相等： $\begin{equation}\notag \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0 \end{equation}$ 這正是電荷守恒方程的微分形式。電荷守恒方程也被稱為電流連續(xù)性方程。如果電荷密度與電流密度均不隨時間改變，則電流是穩(wěn)定的。于是，穩(wěn)定電流的條件是： $\begin{equation}\notag \nabla\cdot\vec{j}=0 \end{equation}$ 由于電流密度矢量反映了電荷的分布和運動，因而也就反映了空間中電流的分布狀況。有了電流的分布狀況，它激發(fā)的磁場的空間分布就可以確定下來。

在普通物理學(xué)的電磁學(xué)課程中，電流是沿著導(dǎo)線分布的。假定流過一根導(dǎo)線的電流強度為 $I$ ，則導(dǎo)線上任一小段長度為 ${\rm d}l$ 的線元就構(gòu)成一個電流元 $I{\rm d}\vec{l}$ ，其中 ${\rm d}\vec{l}$ 的方向指向電流流動的方向。有了一段電流元的表達式，根據(jù)畢奧—薩伐爾定律就可以求出這段電流元激發(fā)的磁感應(yīng)強度。

不過，為了對問題做一般性的理論探討，需要對電流元的概念加以推廣，以適應(yīng)分布于空間中的電流系統(tǒng)。

對由載流導(dǎo)線構(gòu)成的電流系統(tǒng)而言，導(dǎo)線的橫截面的線度遠小于導(dǎo)線本身的長度，通過導(dǎo)線上某處橫截面上的電流密度矢量可以近似地被看作常矢量。如果用 ${\rm d}\sigma$ 表示導(dǎo)線的橫截面積，根據(jù)前面有關(guān)電流強度和電流密度矢量之間的關(guān)系，通過導(dǎo)線的電流強度 $\begin{equation}\notag I=\vec{j}\cdot{\rm d}\vec{\sigma}=j{\rm d}\sigma \end{equation}$ 其中橫截面面元矢量 ${\rm d}\vec{\sigma}$ 的方向指向電流的流動方向。于是，任意一小段長度為 ${\rm d}l$ 的載流導(dǎo)線構(gòu)成的電流元矢量就可以寫成 $\begin{equation}\notag I{\rm d}\vec{l}=(\vec{j}\cdot{\rm d}\vec{\sigma}){\rm d}\vec{l} \end{equation}$ 另一方面，對于一段載流線元而言，上式中的三個矢量同向，由此立刻可以得到 $\begin{equation}\notag I{\rm d}\vec{l}=\vec{j}{\rm d}\sigma{\rm d}l=\vec{j}{\rm d}\tau \end{equation}$ 其中 ${\rm d}\tau$ 是這一段線元的體積。