已知在Rt△ABC中，∠C=90°，點E在線段AB上，點F在線段BC上，且E、F均不在線段端點處，連接EF,點D在線段CA的延長線上，連接DF交AB于點N

(1)如圖1，若點N恰為DF中點，AD=EF，∠B=25°，求∠EFB的度數(shù)；(2)如圖2，在△BEF內(nèi)有一點Q，連接FQ、EQ、NQ，若AD=CF，BF=CD且FQ⊥NQ，∠EFB-∠ENF=∠D，猜想FQ、EQ、NQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3，延長DC至G，使CG=2CD=4，連接BG，若BC=3，在△BCG內(nèi)且一點P，連接PB、PC、PG，當(dāng)3PC+4PB+5PG最小時，在線段DG上截取DH使得DH=，將點H繞點D旋轉(zhuǎn)，連接BH，點M為線段BH的中點，將點M繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點M′，連接CM′，當(dāng)CM′最大時，請直接寫出△BCM′的面積.

解：(1)過點F作FQ||CD交AB于點Q，

N為DF的中點知ND=DF，同時∠AND=∠FNQ，∠D=∠NFQ，得△AND≌△QNF，得QF=AD，又AD=EF得QF=EF，∠FQE=90°-∠B=90°-25°=65°，于是∠FEQ=65°，得∠EFB=40°；

(1)方法一：過點D作DH||AB，過點B作BH⊥BC交于點H，易知ABHD為平行四邊形，BH=AD，又BF=DC，故△DCF≌△FBH，得DF=FH且∠DFH=90°，故∠FDH=45°得∠FNB=45°；

同時∠AND=∠ENF，∠BAC=∠CDF+∠AND=∠CDF+∠ENF，又∠EFB=∠ENF+∠CDF，得∠EFB=∠CAB,

而∠CAB+∠ABC=90°，得∠EFB+∠EBF=90°，即有∠FEN=90°；

在NQ上截取NH=FQ，由EN=EF,∠ENH=∠EFQ，得△ENH≌△FEQ，有∠HEN=∠FEQ，故∠HEQ=90°，于是HQ=EQ于是QN=QF+QE

方法二：過點F作FI⊥BC且FI=AD，連接AI,易知ADFI為平行四邊形，同時△CDF≌△FBI，DF=BI且∠AIB=90°，于是∠BAI=∠ENF=45°，

同時∠AND=∠ENF，∠BAC=∠CDF+∠AND=∠CDF+∠ENF，又∠EFB=∠ENF+∠CDF，得∠EFB=∠CAB,

而∠CAB+∠ABC=90°，得∠EFB+∠EBF=90°，即有∠FEN=90°；

在NQ上截取NH=FQ，由EN=EF,∠ENH=∠EFQ，得△ENH≌△FEQ，有∠HEN=∠FEQ，故∠HEQ=90°，于是HQ=EQ于是QN=QF+QE

方法三：過點A作AS⊥CD使AS=CD，連接SF，易知△ADS≌△CFD，DS=DF且DS⊥DF，故∠DFS=45°；而BF=CD，得AS=BF，有ASFB為平行四邊形，SF||BN,∠FNE=∠DFS=45°,

同時∠AND=∠ENF，∠BAC=∠CDF+∠AND=∠CDF+∠ENF，又∠EFB=∠ENF+∠CDF，得∠EFB=∠CAB,

而∠CAB+∠ABC=90°，得∠EFB+∠EBF=90，即有∠FEN=90°；

在NQ上截取NH=FQ，由EN=EF,∠ENH=∠EFQ，得△ENH≌△FEQ，有∠HEN=∠FEQ，故∠HEQ=90°，于是HQ=EQ于是QN=QF+QE

方法四：過點D作DT⊥CD且使DT=CD，易知△ADT≌△FCD，∠ATD=∠CDF，而∠ATD+∠DAT=90°故∠CDF+∠DAT=90°,即AT⊥DF，易知DFBT為平行四邊形，故DF||BT得∠ATB=90°，TB=DF，AT=DF得TA=TB，△TAB為等腰直角三角形，故∠TAB=45°，于是∠ENF=45°，

同時∠AND=∠ENF，∠BAC=∠CDF+∠AND=∠CDF+∠ENF，又∠EFB=∠ENF+∠CDF，得∠EFB=∠CAB,

而∠CAB+∠ABC=90°，得∠EFB+∠EBF=90°，即有∠FEN=90°；

在NQ上截取NH=FQ，由EN=EF,∠ENH=∠EFQ，得△ENH≌△FEQ，有∠HEN=∠FEQ，故∠HEQ=90°，于是HQ=EQ于是QN=QF+QE

(3)將△GPB繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90°至△GNQ且使PG：GN=3：4，則有PN=
5/5PG，NQ=4/3PB,3PC+4PB+5PG=3(PC+5/3PB+4/3PG)=3(PC+PN+NQ)，當(dāng)點C、P、N、Q共線時，取最小值，如下右圖，作NT⊥CG于點T,GQ=20/3，GT=4,TQ=16/3，得CQ=，故(3PC+4PB+5PG)min=8

此時DH==1，故點H以點D為圓心，1為半徑的圓上運動，BD的中點O，OM=0.5，故點M在以O為圓心，半徑為0.5的圓上運動，同理知點M′在以O′為圓心，半徑為0.5的圓上運動，當(dāng)點C、O′、M′共線時，CM′取最大值，如下右圖，

作OJ⊥BC于點J，O′I⊥BC于點I，知OJ=BI=1，O′I=BJ=1.5，得CO′=，O′I||M′K得
得M′K=

點評：題目第(2)問的輔助線方法不唯一，都圍繞著角度關(guān)系和線段關(guān)系，轉(zhuǎn)化為全等三角形，而線段和差關(guān)系并不難，屬于常規(guī)操作，混雜在一起有一定的難度.

第三問則在作圖、計算上有較大難度，考查的知識與技巧較多，如加權(quán)線段和差最值問題、瓜豆原理，數(shù)據(jù)上屬于比較難算的類型.

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