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伽羅瓦（évariste Galois）僅僅學了5年數(shù)學，就完成了歐拉、高斯和拉格朗日等大神窮其一生都沒能解決的問題，年僅二十歲開創(chuàng)了現(xiàn)代代數(shù)學的先河，這是數(shù)學史上的奇跡。數(shù)學史上絕無僅有的奇才——埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）今天就用通俗的語言，來談談他開創(chuàng)的究竟是什么神奇理論。伽羅瓦在探索五次方程求解問題時，提出的“群論”（Group Theory），當時沒人能理解，直到他死后14年，這一理論才被數(shù)學界接受。簡而言之，群論就是對數(shù)學的再一次抽象，是抽象代數(shù)的基礎。抽象的目的是為了發(fā)現(xiàn)更本質的數(shù)學結構，但也讓難度陡然增加。不過別擔心，今天我們用小學數(shù)學知識來解釋它。首先，“群”是一個跳出普通計算的概念，在這里，加法、乘法、圖形的旋轉、開關的開閉，都可以當成是計算，被稱為二元運算，群論就是要發(fā)現(xiàn)這些運算背后的共性——對稱。 所謂的封閉性，就是構成群的元素，來自一個集合，經(jīng)過運算，結果還得在原集合內。 舉個例子：一個班的學生排隊來到操場，讓他們自由活動，然后突然讓他們就近再排成一排。這樣雖然順序變了，但人沒多也沒少，這就是運算的封閉性。只是在隊伍里，可能小帥與小美的位置互換了；也可能小紅占了小藍的位置，小藍占了小明的位置，而小明又占了小紅的位置，形成了輪換，這些通過一定的變換，還能看上去和之前一樣，就是對稱。只要群運算是封閉的，就會具有對稱性。
不同的對稱，意味著不同的結構。 而且如果構成群的元素是有限的，那么這種對稱結構也很有限，掌握它們就意味著掌握了萬物的運算法則。大部分群論入門書，會一下子冒出很多專業(yè)術語，非常不友好，比如：子群、商群、陪集、正規(guī)子群、直積、半直積、正規(guī)化子、同態(tài)、同構……一疊加，徹底暈了。有時候數(shù)學并不是邏輯有多難，而是新冒出來的概念和已有的知識沒有鏈接，所以思維沒法跟上。其實只要用一個不太嚴謹?shù)念惐?，?/span>就能瞬間明白數(shù)學家整出這些名詞到底為了啥。 一句話，“群”就像小學算術中的分解質因數(shù)。每一個數(shù)字都能分解成質數(shù)相乘的形式。群也一樣，它也能被分解成更小的更基本的群，這就是子群。這些小群“相乘”，能構成復雜的大群。這里的“相乘”就是直積或者半直積。小群各有各的對稱性，“相乘”后會蘊含在大群中，群論就是通過分解小群來研究這種結構。群論在二十世紀大放異彩，現(xiàn)代物理學家認為宇宙中的物質和相互作用，整體上就是一個大群。在強力、弱力、電磁力和引力4個層面，微觀粒子因其對稱性的差異形成了不同的群，然后這些群“相乘”又能構建出更大的群，大群將包含全部的微觀粒子，這就是規(guī)范場論的思想。目前只差引力還沒能納入進去，物理學家們希望能找到引力所蘊含的群結構，并與之前的群“相乘”，以完成物理學上的大統(tǒng)一。目前規(guī)范場論已經(jīng)用群論的形式統(tǒng)一了強力、弱力與電磁力，就差找到引力的群結構明白了這個道理，再看專業(yè)術語，是不是友好了很多。
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