多項(xiàng)式，又稱整式，是一類很常見的代數(shù)形式，具有良好的運(yùn)算封閉性：兩個(gè)多項(xiàng)式相加、相減、相乘仍是多項(xiàng)式。

一、多項(xiàng)式的概念

1.一般式與零點(diǎn)式

二次式有如下三種形式

（1）一般式：

（2）兩根式：

（3）頂點(diǎn)式：

其中頂點(diǎn)式是源自于拋物線形態(tài)，而前兩種形式是各種多項(xiàng)式共有的。兩根式中的兩個(gè)根也是多項(xiàng)式的零點(diǎn)，因此也可稱為“零點(diǎn)式”。

由此推廣可得任意的多項(xiàng)式有兩種形式：

（1）一般式：

（2）零點(diǎn)式：

顯然，零點(diǎn)式拆括號(hào)即可得到一般式，而一般式因式分解得到零點(diǎn)式。

2.多項(xiàng)式的因式與根

在零點(diǎn)式中，每一個(gè)形如  的式子稱為多項(xiàng)式的一個(gè)因式。 多項(xiàng)式  的每一個(gè)因式代表了方程  的一個(gè)根。

例如二次方程  的兩根為 . 而三次方程  認(rèn)為有三個(gè)根 ，其中 2 為重根.

之所以要將其規(guī)定為重根，而不是1個(gè)根，是因?yàn)樵谥馗囊?guī)定下可以有一個(gè)很重要的結(jié)論：

代數(shù)基本定理：n次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有n個(gè)根。

這是一個(gè)非常偉大的定理，給多項(xiàng)式的研究指明了方向。那么這n個(gè)根的分布有何規(guī)律？見下面定理。

定理1：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式（即各項(xiàng)系數(shù)都是實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式），的根或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)橐粚?duì)共軛復(fù)數(shù).

證：根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的規(guī)律（這部分請(qǐng)讀者自行嘗試證明）可知，對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式（其中x為復(fù)數(shù)）,有 .

因此，若  是多項(xiàng)式  的根，則  也是多項(xiàng)式  的根.

故此結(jié)論成立.

在零點(diǎn)式中，實(shí)根  對(duì)應(yīng)一次因式 ；一對(duì)共軛復(fù)根  與  對(duì)應(yīng)因式 ，這是一個(gè)判別式  的二次因式.

因此可以說任何一個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都可以在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)分解成若干個(gè)一次式與二次式的乘積.

示例：因式分解 

解： 不妨設(shè)其可以分解成兩個(gè)二次式的乘積：注意到乘積的各項(xiàng)系數(shù)是對(duì)稱的，因此猜測兩個(gè)二項(xiàng)式的系數(shù)各自對(duì)稱，或相互對(duì)稱。這兩種情況都指向 .

因此其因式分解為 

對(duì)比各項(xiàng)系數(shù)可以列出如下方程組（只需對(duì)比一次項(xiàng)和二次項(xiàng)）

解得（下列解中兩個(gè)未知數(shù)的取值也可調(diào)換順序）

因此其因式分解為

經(jīng)驗(yàn)證，上述兩個(gè)二次式均滿足判別式 ，即不能在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)一步因式分解.

二、多項(xiàng)式運(yùn)算

多項(xiàng)式的加法、減法與乘法運(yùn)算是很顯然，本文不多做贅述。主要講多項(xiàng)式的除法運(yùn)算。

1.多項(xiàng)式的整除

首先回顧整數(shù)的除法，我們希望將其推廣至整式（即多項(xiàng)式）的除法：

對(duì)于整數(shù) ，若存在整數(shù)  使 ，則稱  被  整除，商為 .

定義：對(duì)于多項(xiàng)式 ，若存在多項(xiàng)式  使 ，則稱  被  整除，商式為 .

命題：多項(xiàng)式  被  整除，當(dāng)且僅當(dāng)  的所有根都是  的根

（證明略，請(qǐng)讀者從下面例子中體會(huì)）

示例：設(shè)，，試判斷  能否被  整除?

因式分解得 ，其根為 1,2.，其根為 . 的根全部是  的根.

，因此  能被  整除，商式為 

2.多項(xiàng)式的帶余除法

在整數(shù)的除法中，有不整除的情景。首先回顧整數(shù)帶余除法的定義：

對(duì)于正整數(shù) ，若非負(fù)整數(shù)  滿足 ，其中  ，則稱  除以  商  余 .

將上述定義遷移到多項(xiàng)式中，則有：

定義：對(duì)于多項(xiàng)式 ，若存在多項(xiàng)式  以及次數(shù)嚴(yán)格低于  的多項(xiàng)式  ，使 ，則稱  被  除，商 ，余 .

示例： 已知 ，，現(xiàn)希望將  表示為  的形式，其中  為余式，次數(shù)為 ，即為常數(shù)項(xiàng)。

對(duì)  做如下改造：

因此商式為 ，余式為 .

上例中的除法也可反映成豎式形式，如下圖所示

3.有理式

在數(shù)字中有“有理數(shù)”這一概念：可以寫成兩個(gè)整數(shù)相除的數(shù)稱為有理數(shù)?，F(xiàn)在希望將這一概念推廣至“有理式”。

定義：若  為多項(xiàng)式，則形如  的式子稱為有理式.

有些有理式的分子與分母是可以約分的。我們只研究不可約分的情況。

分?jǐn)?shù)分為真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，而假分?jǐn)?shù)還可以寫成帶分?jǐn)?shù)。現(xiàn)將這三個(gè)概念推廣到多項(xiàng)式中：

定義：

(1) 形如  的分式當(dāng)  的次數(shù)嚴(yán)格低于  時(shí)稱為真分式；當(dāng)  的次數(shù)不低于  時(shí)稱為假分式。

(2) 形如  的式子，(其中 為真分式），稱為帶分式。

分子次數(shù)不小于分母的分式可以寫成假分式或帶分式兩種形式，這兩種形式各有其好處，下面兩個(gè)例子展現(xiàn)了兩種形式各自的好處。

例1：求解不等式 

解： 將上式化為假分式可得

兩式相除為正，等價(jià)于兩式同號(hào)，又等價(jià)于兩式相乘為正.于是原不等式可等價(jià)轉(zhuǎn)化為三次不等式 因式分解為 ，可解得  ,如下圖所示[圖片]

例2：求函數(shù)  的值域

解:

該形式可由對(duì)勾函數(shù)平移得到： 上移1、右移3.

值域?yàn)?/span>，的值域在此基礎(chǔ)上，為.

有理式具有比多項(xiàng)式更好的運(yùn)算封閉性：兩個(gè)有理式相除仍是有理式（請(qǐng)讀者自行證明）。

結(jié)語

多項(xiàng)式作為比較簡單的一類函數(shù)，實(shí)則暗藏很多玄機(jī)。求二次多項(xiàng)式的根時(shí)，很容易通過配方法得到求根公式；求三次多項(xiàng)式的根卻困擾了人類近千年，才最終由達(dá)達(dá)利亞求得并由其好友卡爾達(dá)諾在《大術(shù)》中發(fā)表。解出三次方程之后，人們把目光投向了四次方程以及更高次方程。又是百余年來，歐洲各國數(shù)學(xué)家前赴后繼。

享年21歲的天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦在研究高次方程組時(shí)開創(chuàng)了全新的理論，在他死后多年才被劉維爾、若爾當(dāng)?shù)葦?shù)學(xué)家發(fā)掘并據(jù)此建立了現(xiàn)在的群論。伽羅瓦究竟對(duì)高次方程進(jìn)行了怎樣的研究我對(duì)此知之甚少，但我堅(jiān)信那是一段奇妙的冒險(xiǎn)。