經由前文《19世紀末的數(shù)學高峰：龐加萊的自守函數(shù)研究》，我們重溫了龐加萊（Henri Poincaré，1854-1912）在自守函數(shù)領域的創(chuàng)造性突破。龐加萊和克萊因（Felix Klein，1849-1925）的自守函數(shù)研究，在19世紀末一統(tǒng)分析、代數(shù)和幾何等數(shù)學幾大領域，展現(xiàn)了數(shù)學在多樣性背后的統(tǒng)一性（參考文獻見[1]-[15]）。而在此基礎上，又涌現(xiàn)出諸多豐富多彩的問題和理論。

在此文中，筆者將不揣淺陋，初步地梳理和介紹其中的幾個有代表性的方向。由此管中窺豹，我們可以欣賞到如下的圖景。首先，在龐加萊的數(shù)學交響曲中，自守函數(shù)這一核心“動機”在20世紀初的單值化定理中完成初步的展開。此后，它并未止步于古典形式，而是通過現(xiàn)代數(shù)學的復調演繹——從數(shù)論中神秘的千古之謎（費馬大定理）和大統(tǒng)一（朗蘭茲）綱領，到多復變函數(shù)論和數(shù)學物理中的迷人應用，再到三維流形理論中拓撲與幾何的對位共鳴——不斷獲得新的演進維度。

正如音樂動機在不同樂章中的變奏與再生，自守函數(shù)“動機”在20世紀數(shù)學的各個領域中持續(xù)演繹發(fā)展并多重奏鳴，呈現(xiàn)出理論數(shù)學優(yōu)美而宏偉的時空結構。

單值化定理起源于對復變函數(shù)中“隱函數(shù)”的參數(shù)化。例如，對代數(shù)函數(shù)??(??, ??) = ??² + ??²?1，其所對應的黎曼面為Σ = {(??, ??)|??² + ??² = 1}（即實數(shù)平面上單位圓周的“復化”）。這個黎曼面至少可以用以下兩種方式參數(shù)化：第一種是令；第二種是令?? =cos ??, ?? = sin ??（但是這種參數(shù)化方式并不能較好地容納無窮遠點，只能將其作為本性奇點）。無論如何，方程??(??, ??) = 0給出的是??作為??的“隱函數(shù)”，而將其變?yōu)椤皡?shù)方程”?? = ??(??),?? = ??(??) 的形式，即將其參數(shù)化，就是“單值化”（uniformization）一詞最早的含義。在此例中，??(??, ??)分別被有理函數(shù)和三角函數(shù)所“單值化”。

這種單值化過程相當于給出了從參數(shù)化映射的定義域到函數(shù)/方程??的黎曼面Σ的全純映射。其大致邏輯是：首先，參數(shù)化給出映射，因為滿足限制條件??(??, ??) = 0，所以這個映射的象在Σ上，故??₁可以看成?? → Σ的映射，而考慮到??₁有時存在的周期性（如上一段中的第二種參數(shù)化方式，以2π為周期），如果Γ是這個周期對應的群，它離散地作用在??上，則最終我們得到了一個映射??₂:??/Γ → Σ。一般而言，??₂往往是解析同胚。

如果去掉黎曼面是“代數(shù)的”這個條件，而從更加幾何和拓撲的觀點出發(fā)，我們需要考慮其萬有覆疊空間，則有覆疊映射，它是共形映射。

綜上所述，我們實際得到了圖2的交換圖表。其中是??的萬有覆疊空間，是黎曼面Σ的萬有覆疊空間，映射??和π分別是各自的萬有覆疊映射。上下兩行中的兩個映射??與，前者由單連通情形下的單值化定理給出，后者則對應之前圖1中的??₂，它們都是共形等價。這對應一般情況下的單值化定理：

任意連通黎曼面Σ，必定共形等價于以下三種情形之一：

（1）擴充復平面；

（2）復平面?，或復平面?去掉零點（等價于?/?），或?在一個格點群Λ離散作用下的商空間；

（3），其中為復平面上單位圓盤（雙曲圓盤），Γ是雙曲圓盤等距群的離散子群，它自由地作用在上，即我們的老朋友“富克斯群”。

根據(jù)拓撲學中的曲面分類定理，任何緊可定向曲面都同胚于有限虧格、有限個邊界的閉曲面。而單值化定理實際上指出：如果考慮復結構，則任意（有限類型的）復曲線不僅是同胚于，而且必共形等價于作為“標準復空間”（）在群作用下的商曲面。

此處的“模形式”，實際是上文《19世紀末的數(shù)學高峰》“序曲”部分所述模函數(shù)的推廣，是指在上半復平面上定義的全純或亞純函數(shù)，滿足和一個分析條件（在虛軸的無窮遠點處全純），其中的整數(shù)??稱為模形式的“權”。我們曾在上文見到過這個條件，其中權為0的亞純模形式就是經典的模函數(shù)。而所謂一條（有理數(shù)域上的）橢圓曲線??: ??² = ????³ + ????² + ???? + ??被模曲線參數(shù)化，其陳述形式之一是存在權相同的模曲線??(??)和??(??)，使得：??(??)² = ????(??)³ + ????(??)² + ????(??) + ??，這等價于橢圓曲線??與該模函數(shù)具有相同的狄里克萊??級數(shù)展開。讀者可以看到，此處的“參數(shù)化“實質上又是上文中的”單值化”。

費馬大定理是著名的“朗蘭茲綱領”所揭示的更廣闊圖景的一部分。首先，根據(jù)軌道-穩(wěn)定子定理，雙曲上半平面可以看成是商空間，而模群作用于其上，故每個權為??的模形式??可以給出到的表示，定義為（此處i為虛數(shù)單位），如果??還是所謂的“尖點形式”，那么??_??還屬于平方可積函數(shù)空間，這樣就給出了到的一個群表示。如果這里把群對換為更加一般的李群及其離散子群給出的群對Γ < ??，那么可以類似地得到右正則表示，其子表示稱為自守表示，是分析學（如調和分析）所研究的對象。由此可見，自守表示是自守函數(shù)的推廣。而朗蘭茲綱領指出，來源于數(shù)論、分析、（代數(shù)）幾何的三種對象：伽羅瓦表示、自守表示和代數(shù)簇的上同調理論，在本質上是統(tǒng)一的[體現(xiàn)為阿廷??函數(shù)、自守??函數(shù)和哈塞（Hasse）—韋伊??函數(shù)的統(tǒng)一性]。它被稱為數(shù)學的“大統(tǒng)一理論”。

龐加萊經過一系列的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，事實上和之后的庫辛（Pierre Cousin，1867-1933）、哈托格斯（Friedrich Hartogs，1874-1943）等人開創(chuàng)了多復變函數(shù)這個數(shù)學領域。尤其是1907年龐加萊發(fā)現(xiàn)，二維復空間中的雙圓柱不共形等價于單位球，這個結論相當于指出黎曼映射定理對二維復空間不成立，這也說明在多復變函數(shù)領域中沒有與單復變中單位圓完全相當?shù)膮^(qū)域；與之最相近的區(qū)域稱為“典型域”，是不可分解對稱有界域在全純等價下分類的標準域。

在二維世界中，由于單值化定理和高斯-博內定理等，曲面為代數(shù)-球幾何/歐氏幾何/雙曲幾何—復幾何—拓撲這幾種觀點提供了共同的舞臺，它們在此處交相輝映，五光十色。拓撲學家嘗試將這種二維的美妙情景推廣到高維。同時，龐加萊本人也是三維流形拓撲學和代數(shù)拓撲學的早期開創(chuàng)者。由此，現(xiàn)在數(shù)學家要解決的問題是：

第一個方面與泰希米勒（Oswald Teichmüller，1913-1943）空間相關。所謂泰希米勒空間，是指在給定虧格的曲面上，所有“帶標記的”復結構或雙曲結構（的同痕類）構成的空間。一個虧格為??的雙曲曲面，其泰希米勒空間同胚于，或者6?? ? 6維的開單位球。瑟斯頓考察了泰希米勒空間的球面邊界，證明其邊界上的點可以視為原雙曲曲面上的一種有時十分復雜的曲線 [即所謂“賦測度片層” (measured lamination）]，由此可以將泰希米勒空間緊化。之后他將此觀點用于研究映射類群（mapping class group），并以此證明了曲面自映射的尼爾森（Jakob Nielsen, 1890-1959）—瑟斯頓分類定理。該定理指出曲面自映射分為三類，分別為周期的、可約的和偽阿諾索夫 (pseudo Anosov) 的，其中偽阿諾索夫映射在三維流形理論中扮演了重要角色。他還用雙曲幾何觀點定義了泰希米勒空間上的度量，后來沃爾珀特（Scott A. Wolpert）證明與韋伊-彼得森（Weil-Petersson）度量一致（1986）。

第二個方面是所謂幾何化定理，它可以被直接地看成單值化定理的直接三維推廣。首先，安德烈耶夫（E. M. Andreev）在1970年給出了用銳角四面體剖分給出有限體積雙曲流形的方式。此后萊利（Robert Riley，1935-2000）和約根森（Troels J?rgonsen）在1975年發(fā)現(xiàn)了八字結補空間的基本群到三維雙曲空間的等距群有離散忠實表示。在這些工作的基礎上，瑟斯頓用四面體剖分具體構造了八字結補空間上的完備雙曲結構（1979年），并由此猜測雙曲結構在三維流形中是普遍存在的，并在20世紀70-80年代分別證明在大部分紐結（即非環(huán)面、非衛(wèi)星紐結）的補空間和由偽阿諾索夫映射誘導的圓周的曲面叢上，都有完備且有限體積的雙曲結構。進一步地，他提出了一系列猜想，其中最重要的是所謂的幾何化猜想，即每個閉的素三維流形都可以沿環(huán)面（唯一地）切開成一些塊，使得每塊上有（有限體積的）八種齊性幾何之一。這八種幾何是二維情形下三種齊性幾何的類似物，包括球幾何、歐氏幾何、雙曲幾何的三維版本、或其低維版本的乘積，此外還有三種來自于李群。

致謝：

本文感謝劉辛味編輯的支持鼓勵。在撰寫過程中，作者得到了北京大學北京國際數(shù)學研究中心劉毅教授、清華大學丘成桐數(shù)學科學中心林劍鋒副教授的大力幫助，特此致謝。