【原】無窮遠點的洛朗展開

cosmos2062 2025-04-11 發(fā)布于廣東

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簡單地討論了在無窮遠點的鄰域做洛朗展開的問題，并對無窮遠點的奇異性質(zhì)給出了實例說明。

我們已經(jīng)詳細地討論過在解析函數(shù)的奇點的鄰域做洛朗展開這個問題。但是，在這些討論中，作為展開點的奇點都位于復平面的有限遠處。如果無窮遠點是函數(shù)的奇點，而函數(shù)在無窮遠點的空心鄰域內(nèi)解析，也可以把無窮遠點當展開點做洛朗展開。

與泰勒展開的情況相似，在無窮遠點對解析函數(shù)做洛朗展開，要先對自變量做變換 $z=1/t$ ，把函數(shù)改寫成以 $t$ 為自變量的形式： $g(t)=f(1/t)$ ，將變換后的函數(shù)在 $t=0$ 處做洛朗展開，然后再把自變量由 $t$ 變回 $z$ ，這些步驟與泰勒展開是相同的。

由于 $t=0$ 是函數(shù)的奇點，其展開式必定是這樣的： $\begin{equation}\notag g(t)=f(\frac{1}{t})=\sum_{n=-\infty}^\infty a_nt^n\ ,\ 0<|t|<r \end{equation}$ 公式中的展開系數(shù) $\begin{equation}\notag a_n=\frac{1}{2\pi{\rm i}}\oint\limits_{C}\frac{g(\zeta)}{\zeta^{n+1}}{\rm d}\zeta\notag \end{equation}$ 其中 $C$ 是圍繞 $t=0$ 的任意一條閉合曲線，在該閉合曲線內(nèi)沒有別的奇點。于是，得到了原來的函數(shù)在無窮遠點的洛朗展開： $\begin{equation}\notag f(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_{-k}z^k\ ,\ \frac{1}{r}<|z|<0 \end{equation}$ 結果發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在無窮遠點的洛朗展開在形式上與原點處的展開完全相同，只是收斂范圍的表達式不一樣。

我們看到，無論是泰勒展開還是洛朗展開，對于無窮遠點，當我們把解析函數(shù)的自變量做了變換 $z=1/t$ ，使函數(shù)的形式從 $f(z)$ 變成 $g(t)=f(1/t)$ 后，對 $g(t)$ 做展開的方法與對 $f(z)$ 做展開的方法是相同的。由于這個原因，在無窮遠點的級數(shù)展開并不是一個新的問題，我們將不再贅述。

既然在對自變量做了變換 $z=1/t$ 后，無窮遠點與一個普通的點沒有區(qū)別，那么，作為一個奇點，對它的奇異性質(zhì)的討論自然與別的有限遠處的奇點一樣了。

一個簡單的例子是討論函數(shù) $\begin{equation}\notag f(z)=\frac{1}{1+z}\end{equation}$ 在無窮遠處的行為。為了解決這個問題，先對自變量做變換 $z=1/t$ ，將函數(shù)改寫成以 $t$ 為自變量的函數(shù)：
$\begin{equation}\notag g(t)=f(\frac{1}{t})=\frac{1}{1+\frac{1}{t}}\end{equation}$ 顯然， $t=0$ 是這個函數(shù)的奇點。把變換后的式子稍作整理并展開成冪級數(shù)： $\begin{align}g(t)&=\frac{t}{1+t}=t\cdot\sum_{n=0}^\infty(-t)^n\notag\\&=\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{n+1}\notag\end{align}$ 我們看到， $t=0$ 處的奇異性已經(jīng)消失。因此，無窮遠點是這個函數(shù)的可去奇點。

再來看下面這個函數(shù)： $\begin{equation}\notag f(z)=1+z^2 \end{equation}$ 對自變量做變換 $z=1/t$ ，函數(shù)被改寫成 $\begin{equation}\notag g(t)=f(\frac{1}{t})=1+\frac{1}{t^2} \end{equation}$ 結果發(fā)現(xiàn)， $t=0$ ，或者說無窮遠點是該函數(shù)的二階極點。

對 ${\rm e}$ 指數(shù)函數(shù)，無窮遠點則是第三類奇點的代表： $\begin{equation}\notag {\rm e}^z={\rm e}^{\frac{1}{t}}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\frac{1}{t^n} \end{equation}$ 這個函數(shù)在 $t=0$ 處是奇異的，并且展開式有無窮個負冪項，無窮遠點是這個函數(shù)的本性奇點。