冰塊在水中融化，最后只剩一顆微小的晶點(diǎn)，這是物理常識(shí)。但要把這個(gè)過(guò)程寫(xiě)進(jìn)數(shù)學(xué)，寫(xiě)成一套可計(jì)算、可演繹、可預(yù)測(cè)的邏輯模型，難得難以想象。現(xiàn)在，一道橫亙近三十年的數(shù)學(xué)高墻，被攻克了。

一切都圍繞一個(gè)看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題展開(kāi)：一個(gè)表面在不斷自我收縮、變得越來(lái)越光滑，最終消失的過(guò)程中，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)法處理的“奇點(diǎn)”？更準(zhǔn)確說(shuō)，是不是所有這種收縮演化中的“突變點(diǎn)”——數(shù)學(xué)上叫“奇點(diǎn)”——都不會(huì)太復(fù)雜，能繼續(xù)演算下去，不至于讓整套模型宕機(jī)？這個(gè)問(wèn)題，被稱(chēng)為“Multiplicity-One猜想”。

最早提出這點(diǎn)的是Tom Ilmanen，1995年。他覺(jué)得無(wú)論表面怎么演化，其間出現(xiàn)的奇點(diǎn)如果只是“單重”的，也就是說(shuō)，在這些點(diǎn)上，表面沒(méi)有疊在一起、沒(méi)有奇怪的復(fù)合結(jié)構(gòu)，那么后續(xù)計(jì)算還能繼續(xù)。如果這個(gè)假設(shè)成立，數(shù)學(xué)家就可以對(duì)這類(lèi)演化做徹底的分析，哪怕途中出現(xiàn)了斷點(diǎn)。

問(wèn)題是，這個(gè)猜想沒(méi)法輕松驗(yàn)證。哪怕是一個(gè)形如“啞鈴”的表面，中間細(xì)、兩頭鼓，那細(xì)脖子收縮成一點(diǎn)的時(shí)候，方程就炸了——因?yàn)榍授吔鼰o(wú)窮。但如果你強(qiáng)行忽略這個(gè)奇點(diǎn)，剩下的兩個(gè)鼓包還是可以各自繼續(xù)演化成兩個(gè)球。這給人一種錯(cuò)覺(jué)：也許這些奇點(diǎn)本質(zhì)上只是“小事故”，不影響大局。

可這只是理想情況。真正麻煩的，是所謂“疊加態(tài)”——多個(gè)表面在某區(qū)域“重疊”，像一摞紙片。這時(shí)候，你根本無(wú)法斷定哪個(gè)片層在上，哪個(gè)在下。曲率定義不了，流動(dòng)方向也搞不清。整個(gè)方程體系就像高速公路中途塌了一節(jié)橋梁，無(wú)法通車(chē)。

幾十年來(lái)，大量關(guān)于“平均曲率流”（mean curvature flow）的成果，都只能加一句前提：“在Multiplicity-One猜想成立的前提下……”這其實(shí)是一種集體押寶。如果這個(gè)前提錯(cuò)了，整個(gè)研究方向可能都要重來(lái)。

直到2024年，Richard Bamler和Bruce Kleiner兩人，正式宣布完成了證明。這不是他們第一次在幾何分析領(lǐng)域出手，但這次，是壓軸之作。

他們不是用蠻力。他們先設(shè)定了一個(gè)“惡意卡塔諾體”（evil catenoid），也就是兩個(gè)球面由細(xì)細(xì)的脖子相連的奇形怪狀體。他們想象這個(gè)脖子越來(lái)越細(xì)，兩個(gè)球慢慢靠近，如果最終合并，就出現(xiàn)了“災(zāi)難性奇點(diǎn)”。

他們的策略，是構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，去計(jì)算任意一點(diǎn)與“最近的鄰層”的距離，然后跟蹤這個(gè)“間距”隨時(shí)間的變化。邏輯核心是：只要這個(gè)距離始終不為零，那就代表不同層之間不會(huì)真正“粘連”，不會(huì)發(fā)生堆疊態(tài)。

結(jié)果是，那個(gè)間距始終存在。再細(xì)的脖子，也拉不動(dòng)兩個(gè)區(qū)域重疊。這意味著，“災(zāi)難性奇點(diǎn)”壓根不可能發(fā)生。

而這只是開(kāi)始。因?yàn)檎鎸?shí)世界中的表面可能遠(yuǎn)比“惡意卡塔諾體”更奇怪，結(jié)構(gòu)更復(fù)雜。Bamler和Kleiner接著證明：所有這種復(fù)雜區(qū)域的影響都“極度局部”，對(duì)整個(gè)演化過(guò)程影響幾乎可以忽略。他們用的是類(lèi)似“邊界效應(yīng)”的處理方式：再?gòu)?fù)雜的角落，控制住它的小范圍爆炸行為，整體依然平穩(wěn)演化。

最后，他們給出了結(jié)論：平均曲率流下的閉合表面，在奇點(diǎn)處要么變成球體收縮為點(diǎn)，要么變成圓柱體塌陷為線段。除此之外的奇點(diǎn)幾乎不存在，即使存在，也極不穩(wěn)定，一點(diǎn)擾動(dòng)就會(huì)崩塌消失。

所有復(fù)雜情況，全部排除。三十年后的今天，猜想被實(shí)錘。

這條證明線路不只是優(yōu)雅，它干脆利落地清空了一類(lèi)幾何分析中最讓人頭疼的“例外情況”。

過(guò)去，主流研究集中在Ricci流。這種幾何流以Perelman證明龐加萊猜想而名聲大噪。它的強(qiáng)項(xiàng)在于重塑空間結(jié)構(gòu)，提純拓?fù)涔羌?。而平均曲率流，更像是雕塑師的刻刀，它直接?duì)“面”的局部彎曲度動(dòng)手，強(qiáng)制讓表面收縮、光滑、簡(jiǎn)化，最終歸于無(wú)。

但因?yàn)槠纥c(diǎn)行為難控，平均曲率流在很多領(lǐng)域不如Ricci流“安全”?，F(xiàn)在，這個(gè)短板被補(bǔ)上。它將擁有新的“通用鑰匙”，可以在更復(fù)雜空間中作業(yè)。

Bamler和Kleiner說(shuō)，他們接下來(lái)要研究三維曲面在四維空間中如何演化。這等于是將現(xiàn)在的工具，從三維的水杯冰塊問(wèn)題，擴(kuò)展到四維空間的高等拓?fù)鋯?wèn)題。

接下來(lái)的目標(biāo)，甚至包括重新證明Smale猜想——一個(gè)關(guān)于高維球體對(duì)稱(chēng)群結(jié)構(gòu)的著名問(wèn)題。這個(gè)猜想早已被證明過(guò)，但過(guò)程復(fù)雜。而用平均曲率流來(lái)“再證明一次”，有望更加通透。

這是最像物理的一種數(shù)學(xué)流。

冰塊不會(huì)突然跳成兩塊，球不會(huì)憑空裂出兩層，幾何的演化也終于有了確定的邊界。所有流向混亂的路徑，最后都會(huì)歸于秩序。這種確定性，在數(shù)學(xué)界，是一種罕見(jiàn)的奢侈。