武漢中考題型總結(jié) 之 二次函數(shù)綜合壓軸

相關(guān)組織：武漢經(jīng)開外國(guó)語(yǔ)學(xué)校908天鯤之家

制作人員：肖子軒，詹若揚(yáng)，徐斯盛，李泓哲，盧宣竹，姜居政

審核人員：肖子軒，詹若揚(yáng)，劉睿熙

隨著春節(jié)的到來(lái)，中考的腳步也越來(lái)越近。今天，就讓我們由點(diǎn)到線到面，一起探究武漢中考數(shù)學(xué)24題的題型和方法，搞定壓軸題。

（聲明：二次函數(shù)題有很多題型和做法，我們只是總結(jié)一下最常見的類型，做題時(shí)要根據(jù)條件隨機(jī)應(yīng)變）

一、基礎(chǔ)：如何設(shè)參

審?fù)觐}后第一步也是最重要的一步就是設(shè)參，一般設(shè)點(diǎn)參或線參。其實(shí)一般兩種設(shè)法都可以做，只是簡(jiǎn)單和復(fù)雜的問(wèn)題。為了找到簡(jiǎn)便做法，下面是適用場(chǎng)景。

點(diǎn)參：大部分題目都設(shè)點(diǎn)參（一定要設(shè)二次函數(shù)上的點(diǎn)！）（設(shè)點(diǎn)時(shí)，不同點(diǎn)的主                                               次要分清，一般有兩個(gè)主點(diǎn)）

線參：當(dāng)題目條件少，二次函數(shù)解析式帶有未知數(shù)時(shí)設(shè)（如對(duì)稱型問(wèn)題）

二、拋物線與線

這是最常見的題型，一定會(huì)用到韋達(dá)定理，有以下幾種常見情況。

1、線段長(zhǎng)度及關(guān)系

求線段長(zhǎng)度時(shí)，如果是橫平豎直的線段直接加減即可，斜線段一般有以下幾種方法：

下面看幾道例題（不需要看參考答案，會(huì)下面寫的思路即可，有時(shí)答案方法不一樣）

（1）只看第二問(wèn)

這里既可以用k,也可以利用45度化斜為直，但兩種方法都要帶絕對(duì)值?。ǚ诸愑懻摚?/span>

（2）只看第二問(wèn)

求BE用勾股定理，求DF是由于k已知?jiǎng)t直接用k算

（3）2022中考24（2）（3）

第二問(wèn)最好轉(zhuǎn)化為三角形ABC和ACD面積相等，這樣只用帶絕對(duì)值算一次。

第三問(wèn)，A，B已知，則先設(shè)C，E(m和n),由于P(b)是要求的點(diǎn)，且在兩直線上，所以可通過(guò)韋達(dá)定理用b表示m,n,再求出F

（4）2018中考24（3）

有點(diǎn)難度，大家可以先自己做一遍，這次要好好看參考答案了。

文字說(shuō)明暗示要分類討論。這里都是橫平豎直的線直接算即可，但第二種情況特別容易漏。

（5）2017中考24（3）

先利用45度化斜為直，再用k算兩線段長(zhǎng)，記得帶絕對(duì)值。

2、對(duì)稱

對(duì)稱題型一般拋物線解析式是有未知數(shù)的，所以用線參，步驟如下：

（1）設(shè)線：設(shè)拋物線上公共點(diǎn)與兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)所連的兩條線

（2）兩條直線與拋物線聯(lián)立

（3）算韋達(dá)，看需求，湊答案

下面看一道例題（2016中考24（3））

3、定點(diǎn)&軌跡

（1）直線過(guò)定點(diǎn)

把未知數(shù)（一個(gè)）提取出來(lái)，即可找到定點(diǎn)

例題：2020中考（3）

這題第三問(wèn)不難，但第二問(wèn)要分類討論，等腰直角三角形記得按順時(shí)針和逆時(shí)針來(lái)討論喲

（2）動(dòng)點(diǎn)定軌跡

把定點(diǎn)的x,y表示出來(lái)求關(guān)系，有時(shí)x或y是定的

求關(guān)系這一步，有時(shí)也會(huì)難倒一大片，比如下面這道題（2023中考24（3））

這里最后一步用到的方法是待定系數(shù)法或分離常數(shù)法，大家有沒(méi)有什么啟發(fā)？

已知P（a,b)求軌跡：

①a,b為一次：直接加減消元

②a為一次，b為二次（或多個(gè)未知數(shù)）：

I一次函數(shù)：待定系數(shù)法y=kx+b(多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)相等）

II二次函數(shù)：代入消元（未知數(shù)都換為x)

③a,b為分式：待定系數(shù)法/分離常數(shù)法

4、平行

核心只有兩點(diǎn)：

①

記得四個(gè)點(diǎn)一定都要在二次函數(shù)上！

②平行得相似

下面看一道例題，只看第三問(wèn)

這題完美結(jié)合了兩個(gè)結(jié)論，可以積累積累

5、切線

無(wú)切點(diǎn)：設(shè)切線為y=kx+b,通過(guò)德爾塔將b用k表示；或設(shè)切點(diǎn)，后同有切點(diǎn)做法

有切點(diǎn)：（1）設(shè)切點(diǎn)（2）點(diǎn)斜式設(shè)切線（3）聯(lián)立得韋達(dá)（4）將k用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示

先看一道無(wú)切點(diǎn)的例題（2021中考24（2））

最后一步算法可以用三角函數(shù)也可以用k

再看一道有切點(diǎn)的例題（2019中考24（3））

其實(shí)MNE是一個(gè)阿基米德三角形，對(duì)于任意拋物線都有Xe=(Xm+Xn)/2

二、拋物線與特殊角

常見題型有三種：

1、45度：構(gòu)等腰直角三角形，三垂直

2、90度:（1）勾股死算

（2）取斜邊中點(diǎn)得三等腰

（3）在長(zhǎng)直角邊上截取與短直角邊相等的線段，三垂直（可用相似代替）

（4）斜率相乘等于-1（直接寫出時(shí)用，一般用相似代替）

（5）相似（推薦&常用）

3、倍角：（1）等角

（2）二倍角：作等腰

（3）三倍角：轉(zhuǎn)化為二倍角

有時(shí)需要用平行把特殊角轉(zhuǎn)到已知點(diǎn)上

先看一道45度角的例題

如圖，已知拋物線y= ax2+bx+4 (a≠0) 與x軸交于 點(diǎn)A (1, 0)和B，與y軸交 于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線x=2.5 (1) 求拋物線的解析式; (2) 點(diǎn)N坐標(biāo)為(0, 2)，點(diǎn)M在拋物線上，且∠NBM=45°，直接寫出點(diǎn)M坐標(biāo);

同樣要按順逆分類討論

下面再來(lái)一道90度的題目（2024中考24（3））

開頭已經(jīng)說(shuō)過(guò)設(shè)參分清主次很重要，因?yàn)檫@里E，F都在y=kx上，所以設(shè)E，F為X1，X2（主），G為t（次）看得更清楚

三、拋物線與面積

方法就三種：1、鉛錘法（橫&豎)2、平行轉(zhuǎn)化3、割補(bǔ)法

直接看兩道例題：

再來(lái)看看2018中考24（2）

定點(diǎn)很明顯地提示了怎么做鉛錘

四、拋物線與平行四邊形

分類依據(jù)：對(duì)角線

下面是兩道例題

1、

參考答案上分類討論的依據(jù)本質(zhì)上還是對(duì)角線

2、2021中考24（2）

求面積時(shí)無(wú)需按照答案的梯形算，直接ACE=6鉛錘即可（鉛錘已構(gòu)好）

補(bǔ)充：拋物線與相似可能用邊可能用角，如：（最后一題自己做）

不知不覺(jué)，我們已經(jīng)搞定了中考?jí)狠S題的常見考法和近九年的真題。希望大家能在這不到半年的時(shí)間中反復(fù)訓(xùn)練并熟練運(yùn)用。當(dāng)然，適合自己的方法才是最好的方法，且一定要學(xué)會(huì)根據(jù)題目條件隨機(jī)應(yīng)變。

最后，祝大家蛇年快樂(lè)，金榜題名！