【原】一道可以從七年級(jí)做到九年級(jí)的壓軸題(2025金山一模25題及其變式)
妍小青
2025-02-14
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解法分析：2025金山一模25題的問(wèn)題背景是共頂點(diǎn)的兩個(gè)三角形產(chǎn)生的一系列問(wèn)題。本題的第(1)問(wèn)和第(2)問(wèn)是共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的全等三角形模型(問(wèn)題1在八年級(jí)學(xué)完勾股定理后可以完成，問(wèn)題2在七年級(jí)學(xué)完全等三角形的判定和性質(zhì)后可以完成)，本題的第(3)問(wèn)圍繞著相似三角形的存在性問(wèn)題展開(kāi)，通過(guò)解三角形助力問(wèn)題解決。
本題的第(1)問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)在于D、E、C三點(diǎn)共線，因此可以利用等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理，通過(guò)過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線，求解AC的長(zhǎng)度，從而求得兩個(gè)正三角形的面積比。
本題的第(2)問(wèn)先證明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，同時(shí)借助三角形的外角性質(zhì)，通過(guò)角的和差關(guān)系進(jìn)行證明，本題需要延長(zhǎng)AE，進(jìn)而構(gòu)造外角。
本題的第(3)問(wèn)是相似三角形的存在性問(wèn)題，先確定等角，再進(jìn)行分類(lèi)討論。
當(dāng)∠1=∠2時(shí)，結(jié)合已知條件可以證明AF=DF，進(jìn)而根據(jù)∠ADF=∠ABH，得到△ADF是一個(gè)三邊長(zhǎng)度比為5:5:6的等腰三角形。進(jìn)而結(jié)合△ABD∽△DBF，從而得到BF的長(zhǎng)。題目需要求EH的長(zhǎng)度，可以構(gòu)造A型基本圖形，結(jié)合解三角形(含CF的直角三角形)求解。
當(dāng)∠1=∠4時(shí)，這種情況不存在。此時(shí)相似的兩個(gè)三角形變?yōu)槿鹊奶厥馇闆r，此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)H重合，因此EH=0，不符合題意。
解法分析：變式問(wèn)題1在原題組問(wèn)題1的基礎(chǔ)上進(jìn)行改變，增加了∠BEC=110°的條件，去掉了D、E、C三點(diǎn)共線的條件，討論△BDE為等腰三角形時(shí)求∠AEC的度數(shù)。本題需要分類(lèi)討論，可以設(shè)∠AEC=α，然后用含α的代數(shù)式表示∠BDE的所有內(nèi)角。同時(shí)需要根據(jù)△ABD和△AEC全等，得到∠ADB=∠AEC，從而進(jìn)一步求解。（問(wèn)題4在七年級(jí)學(xué)完等邊三角形的判定和性質(zhì)后可以完成）
解法分析：變式問(wèn)題2在原問(wèn)題的基礎(chǔ)上去掉了點(diǎn)D、E在同側(cè)的條件，增加了△ABC和△CDE是共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的相似三角形，進(jìn)而開(kāi)展問(wèn)題變式。（這道題適用于九年級(jí)學(xué)三銳角三角比后）(具體解答可以點(diǎn)擊上方圖片跳轉(zhuǎn))
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