一般來(lái)說(shuō)高一的第一學(xué)期大家都會(huì)向前稍稍搶些教學(xué)進(jìn)度出來(lái)，抓住主線講一講，但是不過(guò)多深挖，然后在第二個(gè)學(xué)期開始的時(shí)候把細(xì)節(jié)老老實(shí)實(shí)地砸一砸。比如運(yùn)動(dòng)的合成與分解，除了小船渡河，可能還會(huì)挖一挖繩端、桿端、接觸點(diǎn)、交叉點(diǎn)的速度合成與分解，也就是一些競(jìng)賽小冊(cè)子里會(huì)把它稱為“關(guān)聯(lián)速度”。

制造“關(guān)聯(lián)速度”這種新詞兒，往往會(huì)把學(xué)生搞暈。我覺(jué)得不如老老實(shí)實(shí)抓基本概念。前兩天順手做到這個(gè)題，某某網(wǎng)上的材料，帶著解析。做完了題之后，掃一眼它的“解析”，心下以為不妥：這種解析學(xué)生能看懂嗎？

這個(gè)題出現(xiàn)的時(shí)間很早很早。這個(gè)解析里面講的是“隨半圓柱體一起運(yùn)動(dòng)”，可是桿水平方向運(yùn)動(dòng)了么？沒(méi)有。測(cè)試它一下：把它發(fā)給一個(gè)挺厲害的孩子，問(wèn)，看懂了嗎？答，沒(méi)有。我也沒(méi)看懂，但知道寫解析這個(gè)人心里是怎么想的。

高一到了結(jié)束第一學(xué)期和開始第二學(xué)期的時(shí)候，數(shù)學(xué)雖然進(jìn)度不同，但好像有的講完了三角函數(shù)和差化積公式，有的講完了向量，所以這個(gè)題可以有這樣三種比較好明白、能說(shuō)清楚道理、盡量不碰微積分的解法：1、純物理的變換參考系解法；2、數(shù)理結(jié)合的矢量加減法；3、和差化積加近似計(jì)算的微元解析解法。

一、變換參考系

因?yàn)闂U只能向上運(yùn)動(dòng)、只有豎直速度，因此以圓柱體為參考系時(shí)，并不影響其豎直速度。此時(shí)觀察者將看到桿與圓柱體接觸點(diǎn)沿圓弧方向運(yùn)動(dòng)，以這一速度為對(duì)角線，兩鄰邊上的分運(yùn)動(dòng)互不影響，則應(yīng)互相垂直，則速度關(guān)系如圖，有。

二、向量加減法

其實(shí)從變換參考系方法上就能看出來(lái)了，這些向量的腳標(biāo)之間是有關(guān)系的，即， 也就是A對(duì)C的速度，等于A對(duì)B的速度（矢量）加上B對(duì)C的速度，就好像你和張三借了10塊錢，張三借了李四10塊錢，那你就直接把10塊錢還李四就行了。

是，是，如果再找到，就有關(guān)系。是桿以圓柱體為參考系的圓周運(yùn)動(dòng)速度，沿圓弧切線，這就是它原解析的圖示含義，但不要把說(shuō)成是“桿隨半圓柱體一起運(yùn)動(dòng)的速度”。

當(dāng)然，直接使用三角形法則更便捷。

二、微元解析法

現(xiàn)在把所有的物理量都考慮成帶正負(fù)號(hào)的代數(shù)量，在豎直方向上，桿原來(lái)的豎直高度

后來(lái)

則

由三角公式并考慮，，有

……①

上面這個(gè)式子，實(shí)際從弧度的定義式出發(fā)也能得到。

在水平方向是，設(shè)桿初始時(shí)在地面上，則

后來(lái)

兩式做差，由三角公式和近似計(jì)算，有

……②

在①、②式中替換掉，得到

。