一條漫長(zhǎng)而曲折的路--關(guān)于振蕩器噪聲A Long, Winding RoadAlfred Riddle 關(guān)于振蕩器噪聲的文獻(xiàn)浩如煙海。振蕩器噪聲問(wèn)題已被從直觀到數(shù)學(xué)上復(fù)雜精細(xì)的不同角度進(jìn)行過(guò)探討。近年來(lái)，對(duì)振蕩器噪聲的處理主要集中在那些更易于使用或在非線性與噪聲源描述上更為全面的方程上。振蕩器噪聲分析已達(dá)到一定的精細(xì)程度，使得能夠構(gòu)建出幾種一般理論。本文是對(duì)振蕩器噪聲分析歷史的一次回顧，不會(huì)詳細(xì)討論任何一種方法。它提供了關(guān)于振蕩器噪聲的簡(jiǎn)短教程，并對(duì)許多有助于我們當(dāng)前理解的論文進(jìn)行了綜述。由于許多作者采用了不同的方法和符號(hào)，因此將展示許多不同的方程，而不涉及推導(dǎo)過(guò)程。引用的各種方程將詳細(xì)描述它們?nèi)绾斡兄诶斫庹袷幤髟肼?，并鼓?lì)讀者查閱原始論文以獲取詳細(xì)討論?！皻v史”部分將呈現(xiàn)振蕩器噪聲的家族譜系，而“現(xiàn)有模型”部分將回顧一些更具開(kāi)創(chuàng)性的論文。關(guān)于相位噪聲的教程可以在手冊(cè)[1]和本文的參考文獻(xiàn)中找到。請(qǐng)查閱“振蕩器噪聲基礎(chǔ)”以獲取關(guān)于振蕩和噪聲的背景信息。 在過(guò)去80年的電子發(fā)展中，振蕩器噪聲分析的目標(biāo)理所當(dāng)然地發(fā)生了變化。最初的論文基于微分方程，關(guān)注穩(wěn)定振蕩的增益飽和機(jī)制。兩端器件和可調(diào)諧振蕩器的使用促使人們進(jìn)行了大量關(guān)于器件穩(wěn)定性以及噪聲輸出的研究。并非每個(gè)調(diào)諧點(diǎn)都是穩(wěn)定的調(diào)諧點(diǎn)，而且振蕩器經(jīng)常會(huì)跳到意料之外的工作頻率。能夠在數(shù)十GHz下工作的三端器件（晶體管）允許工程師使用許多不同的振蕩器電路結(jié)構(gòu)，例如帶有介質(zhì)諧振器的反饋振蕩器，并擴(kuò)大低頻設(shè)計(jì)。特殊諧振器，如釔鐵石榴石（YIG, Yttrium iron garnet）球體，需要獨(dú)特的振蕩器電路結(jié)構(gòu)。不同的器件具有不同的噪聲特性，主要在區(qū)域，這促使了器件噪聲研究，探討低頻噪聲如何調(diào)制到最終的振蕩器輸出。隨著微波頻率下集成電路和相位鎖定環(huán)（PLL, Phase-locked loop）的設(shè)計(jì)，微波振蕩器噪聲分析已經(jīng)利用時(shí)域分析，深入探討了與更集成化的振蕩器（如耦合差分對(duì)(coupled differential pairs)、環(huán)形振蕩器(ring oscillators)和弛豫振蕩器(relaxation oscillators)）相關(guān)的噪聲細(xì)節(jié)[2]，[34]，[45]。
歷史噪聲振蕩器的分析結(jié)合了非線性微分方程和線性系統(tǒng)分析。圖1是描述微波振蕩器噪聲分析的大部分重要貢獻(xiàn)的圖表。圖表從上到下大致按時(shí)間順序排列，并在相關(guān)技術(shù)之間建立了聯(lián)系。圖1中最早的參考文獻(xiàn)屬于瑞利(Rayleigh)勛爵（見(jiàn)圖2）。由于瑞利在聲學(xué)方面的研究，他在1883年發(fā)表了一個(gè)非線性微分方程，描述了振蕩的維持情況[4]。瑞利認(rèn)識(shí)到，限制機(jī)制（非線性）是實(shí)用振蕩器的重要組成部分，因?yàn)橄拗茩C(jī)制為信號(hào)中的任何擾動(dòng)提供了一種使其被迫回到標(biāo)稱工作點(diǎn)，從而形成穩(wěn)定的振蕩的方式。 1920年，范德波爾(van der Pol)在研究真空管振蕩器時(shí)，發(fā)明了一個(gè)類似的非線性微分方程[5]。他對(duì)微分方程的分析使他能夠計(jì)算出振蕩器的輸出功率，并解釋了注入鎖定、振幅跳躍和諧波引起的振蕩器頻率變化。雖然范德波爾的方程最初是用一個(gè)由一般冪級(jí)數(shù)建模的非線性電阻來(lái)表示的，但通常歸因于范德波爾的方程如（1）所示，僅包含一個(gè)三次非線性項(xiàng)。 在（1）中， 是電壓， 是振幅限制的因子， 決定了振蕩頻率， 是時(shí)間。當(dāng)正弦振蕩達(dá)到的平方平均值等于1的振幅時(shí)，（1）中描述了一個(gè)穩(wěn)態(tài)振蕩，導(dǎo)致第二項(xiàng)抵消，因此不再發(fā)生變化。信號(hào)在（1）中可能從右側(cè)的脈沖函數(shù)開(kāi)始。這個(gè)脈沖將通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的相互作用被濾波成一個(gè)小的正弦波。（1）中的第二項(xiàng)使信號(hào)增長(zhǎng)，直到變得如此之大，以至于第二項(xiàng)的平均值為零，這使得信號(hào)增長(zhǎng)停止并允許穩(wěn)定的振蕩。項(xiàng)被稱為限制項(xiàng)，因?yàn)樗拗屏苏袷幍恼穹?/p> 實(shí)際的振蕩器并非像（1）所描述的那么簡(jiǎn)單，但范德波爾方程為分析提供了一個(gè)很好的起點(diǎn)。因?yàn)榉兜虏柗匠贪粋€(gè)振幅飽和機(jī)制和一個(gè)用于頻率固定的二階導(dǎo)數(shù)，（1）是可能振蕩器的最簡(jiǎn)單情況。一個(gè)實(shí)用的振蕩器必須具有一個(gè)啟動(dòng)機(jī)制（如脈沖或隨機(jī)噪聲），以及頻率固定和振幅限制機(jī)制。1938年，Berstein通過(guò)在范德波爾的方程中使用噪聲作為強(qiáng)迫函數(shù)來(lái)分析振蕩器噪聲[6]。Berstein使用Fokker-Planck方程來(lái)獲得振蕩器噪聲的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，以便可以計(jì)算振幅和相位的方差。噪聲的微小和振蕩器振幅的幾乎恒定，允許使用擾動(dòng)技術(shù)和線性化微分方程在振蕩器噪聲分析中變得普遍。如果假設(shè)輸入噪聲是高斯的，那么這些假設(shè)將導(dǎo)致振蕩器噪聲的高斯分布。Krylov在線性化微分方程和諧波平衡方面的工作使人們能夠處理更一般的振蕩器非線性[7]。這些基礎(chǔ)性工作直接導(dǎo)致了描述振蕩頻率下由電路噪聲引起的振蕩器噪聲的工作[8]-[11]。
圖 1. 振蕩器噪聲和穩(wěn)定性的文獻(xiàn)調(diào)研
圖 2. 瑞利勛爵（由 Emilio Segre 提供） 反饋理論的發(fā)展在振蕩器分析和設(shè)計(jì)中發(fā)揮了重要作用反饋理論的發(fā)展在振蕩器分析和設(shè)計(jì)中發(fā)揮了重要作用。這可以追溯到巴克豪森準(zhǔn)則(Barkhausen criteria)[12]。巴克豪森是第一個(gè)認(rèn)識(shí)到穩(wěn)定振蕩需要反饋環(huán)的凈放大倍數(shù)等于1且相位移動(dòng)為的人，即： 其中振蕩器被分為兩個(gè)功能，一個(gè)是增益，另一個(gè)是頻率選擇單元。乘積構(gòu)成了振蕩器的傳遞函數(shù)。是（振蕩幅度）的函數(shù)，并描述了飽和機(jī)制。是弧度頻率的函數(shù)。在許多實(shí)際情況下，將由給定（諧振頻率除以帶寬）的帶通諧振器或網(wǎng)絡(luò)組成[9]，[40]。大多數(shù)振蕩器并沒(méi)有明確分為增益和頻率選擇功能，但這簡(jiǎn)化了分析并容易深入了解問(wèn)題。此外，大多數(shù)振蕩器確實(shí)具有有源器件和頻率選擇元件，因此式(2)中的分離是近似的。 圖3顯示了一個(gè)由放大器和頻率選擇元件組成的振蕩器。
圖3 帶有放大器和濾波器的經(jīng)典反饋振蕩器 雖然巴克豪森準(zhǔn)則可以作為一個(gè)有用的近似值，但它會(huì)導(dǎo)致某種悖論。只有在完全沒(méi)有噪聲的電路受到?jīng)_擊激勵(lì)的情況下，巴克豪森準(zhǔn)則才成立（在時(shí)間接近無(wú)窮大時(shí)）。然而，實(shí)際電路總是包含噪聲。式(2)的幅度飽和用于預(yù)測(cè)振蕩器的輸出幅度，而滿足式(2)的頻率則定義了振蕩的頻率。然而，式(2)的含義是振蕩器的極點(diǎn)位于軸上，從而在一個(gè)實(shí)際頻率上產(chǎn)生無(wú)限增益。這種理想情況需要振蕩器中所有組件都完全沒(méi)有噪聲，并且振蕩器不是從噪聲開(kāi)始的，而是從提供振蕩器偏置時(shí)發(fā)生的沖擊或開(kāi)啟瞬態(tài)開(kāi)始的。 將振蕩器建模為具有噪聲作為其輸入信號(hào)的放大器是Spaelti在1948年[13]和Lerner在1951年[14]分別獨(dú)立提出的。這些分析都將放大器視為窄帶、高增益濾波器。雖然高增益放大器方法非常直觀，但由于未能充分考慮系統(tǒng)非線性和噪聲特性，這兩種處理方法都將噪聲帶寬高估了兩倍。振蕩器噪聲的更數(shù)學(xué)化處理方法基于非線性系統(tǒng)的等效線性化。Krylov給出了關(guān)于等效線性化方法的第一個(gè)詳細(xì)說(shuō)明[7]。使用等效線性化對(duì)振蕩器噪聲分析有很大幫助，因?yàn)樗试S應(yīng)用線性微分方程和傳遞函數(shù)技術(shù)。等效線性化過(guò)程可以通過(guò)使用描述函數(shù)（describing function）、諧波平衡（harmonic balancing）或最優(yōu)線性算子（optimal linear operators）方法來(lái)完成。在20世紀(jì)50年代和60年代初，幾位作者發(fā)表了關(guān)于“表現(xiàn)良好”的振蕩器的幅度和相位噪聲的報(bào)告[8]-[10]，15]。一個(gè)表現(xiàn)良好的振蕩器會(huì)將其所有諧波通過(guò)其諧振器進(jìn)行濾波，并且其幅度波動(dòng)不會(huì)影響其工作頻率，反之亦然。這些簡(jiǎn)單的理論能夠很好地預(yù)測(cè)白噪聲激勵(lì)下振蕩器噪聲的頻譜。然而，振蕩器展示了一些這些問(wèn)題無(wú)法通過(guò)這些簡(jiǎn)單的處理方法來(lái)解釋。許多振蕩器在調(diào)諧特性中具有滯后性。此外，在相位噪聲中觀察到與成比例的噪聲邊帶，而不是預(yù)測(cè)的。最后，相位噪聲經(jīng)常在調(diào)諧范圍內(nèi)發(fā)生顯著變化——通常在接近頻率不連續(xù)點(diǎn)時(shí)迅速增加。 通過(guò)使用非線性伺服機(jī)構(gòu)理論的結(jié)果，解決了調(diào)諧遲滯和跳頻的問(wèn)題。對(duì)穩(wěn)定電話中繼器的需求促使奈奎斯特在1932年解決了線性伺服機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性問(wèn)題[16]。二戰(zhàn)期間，火炮控制和跟蹤雷達(dá)的發(fā)展引起了人們對(duì)非線性伺服機(jī)構(gòu)的極大興趣。通過(guò)使用等效線性化，奈奎斯特的方法被擴(kuò)展到非線性伺服機(jī)構(gòu)上[10]，[17]。Loeb推導(dǎo)出了反饋系統(tǒng)中穩(wěn)定振蕩的判據(jù)，即 公式（3）使用了與（2）中反饋系統(tǒng)相同的符號(hào)。（3）中的第一組項(xiàng)表示振蕩器增益隨振幅變化以及振蕩器相位隨頻率變化。第二組項(xiàng)表示與幅度到相位調(diào)制（AM-PM）和相位到幅度調(diào)制（PM-AM）交叉轉(zhuǎn)換機(jī)制相關(guān)的副作用?？梢钥闯?，如果這些交叉轉(zhuǎn)換機(jī)制很大，振蕩器的穩(wěn)定性就會(huì)受到威脅，而且，即使交叉轉(zhuǎn)換機(jī)制很小，振蕩器也無(wú)法穩(wěn)定地鎖定在傳遞函數(shù)的實(shí)部隨振幅減小而虛部隨頻率增大的點(diǎn)上。 這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)由斯萊特（Slater）以圖形方式提出[18]。20世紀(jì)40年代，斯萊特在貝爾實(shí)驗(yàn)室研究磁控管時(shí)，提出了他的圖形標(biāo)準(zhǔn)。斯萊特的分析集中在兩端器件上，因此在以下分析中，等效于，而等效于。圖4中器件和負(fù)載之間的交叉角可以表示為與（3）等價(jià)的穩(wěn)定性判據(jù)。在這種情況下，器件和負(fù)載被描述為阻抗，其中是電流振幅。圖4中的棕色負(fù)載線具有阻抗的實(shí)部和虛部，它們隨（弧度頻率）變化。圖4中的有源器件負(fù)載線具有阻抗的實(shí)部和虛部，它們隨電流振幅變化。器件和負(fù)載線的所有交叉點(diǎn)都是可能的振蕩點(diǎn)，但只有交叉角在08和1808之間的交叉點(diǎn)是穩(wěn)定的。圖4顯示了用綠色圈出的穩(wěn)定交叉點(diǎn)和用紅色圈出的不穩(wěn)定交叉點(diǎn)。在某種情況擾動(dòng)振蕩器到不穩(wěn)定交叉點(diǎn)的情況下，頻率將跳轉(zhuǎn)到其中一個(gè)穩(wěn)定交叉點(diǎn)。改變負(fù)載阻抗會(huì)使負(fù)載線上下移動(dòng)，從而改變交叉角和交叉頻率。振蕩的頻率會(huì)平穩(wěn)地增加或減少，直到它變得不穩(wěn)定并被迫跳轉(zhuǎn)到穩(wěn)定的交叉點(diǎn)或消失。
圖4 器件與負(fù)載線的阻抗平面圖。指示了穩(wěn)定和不穩(wěn)定的工作點(diǎn) 實(shí)際振蕩器中的噪聲描述必須包含所有噪聲源，盡管某些噪聲源在某些區(qū)域占主導(dǎo)地位，但仍可以做出許多近似處理洛布（Loeb）的等效線性化中使用的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)在很多方面都得到了驗(yàn)證，確實(shí)很有用。在20世紀(jì)60年代，雪崩渡越時(shí)間二極管（IMPATT）和耿氏二極管振蕩器成為高頻信號(hào)的主要固態(tài)源。由于IMPATT二極管噪聲很大，因此采用注入鎖定技術(shù)來(lái)減小振蕩器的頻譜寬度。在貝爾實(shí)驗(yàn)室，黑川（Kurokawa）（圖5）使用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)線性化噪聲和注入鎖定振蕩器的非線性微分方程[11]。該分析從阻抗的角度描述了電路，并允許器件具有任意的非線性。黑川發(fā)現(xiàn)，振蕩器的穩(wěn)定性程度（交叉角度與90°的接近程度）對(duì)振蕩器噪聲有直接影響。黑川的分析之所以經(jīng)久不衰，是因?yàn)樗治隽藛?wèn)題的一般性質(zhì)、考慮了穩(wěn)定性因素，還使用了微波工程師可用的變量。在許多方面，黑川的分析為描述所有振蕩器中的噪聲提供了基石。黑川將更復(fù)雜振蕩器電路的研究、諧波對(duì)操作的影響、對(duì)貢獻(xiàn)的理解、大信號(hào)器件操作如何影響器件內(nèi)部噪聲源和參數(shù)調(diào)制以及振蕩器測(cè)量技術(shù)的研究留給了其他人。
圖5. 黑川兼之(Kaneyuki Kurokawa) 低頻噪聲可以通過(guò)兩種方式影響振蕩器的噪聲頻譜格羅斯科夫斯基（Groszkowski）在1933年[19]和范德波爾（van der Pol）在1934年[5]分別討論了諧波對(duì)振蕩頻率的影響。格羅斯科夫斯基使用的諧波平衡方法特別優(yōu)雅。諧波也可能影響振蕩器的穩(wěn)定性，即振蕩器具有穩(wěn)定的頻率，并且在受到擾動(dòng)時(shí)不會(huì)跳到另一個(gè)頻率。振蕩器穩(wěn)定性可能意味著許多不同的事情，它可能意味著振蕩器在溫度變化時(shí)（一種擾動(dòng)類型）保持在一個(gè)頻率而不跳到另一個(gè)頻率，它可能意味著短期內(nèi)的低相位噪聲穩(wěn)定性，或者它可能意味著在幾分鐘和幾天內(nèi)振蕩頻率的最小變化。在這種情況下，振蕩器頻率穩(wěn)定性是指圍繞圖4的討論。器件與負(fù)載線的交叉角度得出的振蕩器穩(wěn)定性也對(duì)振蕩器相位噪聲（短期穩(wěn)定性）產(chǎn)生重大影響。等式（3）和圖4都表明，當(dāng)器件與負(fù)載線之間的交叉垂直時(shí)，相位噪聲最小化。盡管可能已經(jīng)使用多輸入描述函數(shù)制定了具有諧波的振蕩器的穩(wěn)定性因子，但本作者僅知道貝茨（Bates）和卡恩（Kahn）在1984年給出的公式[20]。不出所料，具有諧波的振蕩器的穩(wěn)定性方程具有矩陣的（3）形式。 實(shí)際振蕩器中的噪聲必須包含所有噪聲源，盡管某些噪聲源在某些區(qū)域占主導(dǎo)地位，但仍可以做出許多近似處理。器件和諧振器中存在的噪聲對(duì)低噪聲振蕩器設(shè)計(jì)提出了很大的挑戰(zhàn)[21]，[22]。振蕩器噪聲形成邊帶，當(dāng)噪聲以白噪聲為主時(shí)，邊帶在載波附近具有的頻譜密度，但當(dāng)噪聲影響噪聲邊帶時(shí)，它們呈現(xiàn)出的特性。由于白噪聲在振蕩頻率處引起的振蕩器頻譜寬度有時(shí)被稱為自然頻譜寬度(natural spectrum width)，而由于低頻調(diào)制引起的頻譜寬度可能被稱為儀器寬度(instrumental width)[23]。如今，通常將載波頻率處的振蕩器噪聲源稱為加性噪聲源，而將低頻產(chǎn)生的噪聲源稱為調(diào)制噪聲源，因?yàn)檫@就是它們影響振蕩器噪聲的原因。然而，許多工程師對(duì)振蕩器噪聲的看法因其振蕩器應(yīng)用和設(shè)計(jì)技術(shù)而異。鼓勵(lì)每位工程師盡可能多地閱讀和研究文獻(xiàn)。 低頻噪聲可能影響振蕩器噪聲頻譜的方式有兩種。低頻噪聲可能會(huì)調(diào)制振蕩器的電阻或電抗器件，從而產(chǎn)生幅度或相位調(diào)制[11]。由于低頻噪聲會(huì)產(chǎn)生非常小的偏置變化，偏置電壓的變化會(huì)改變器件電容，這就足以產(chǎn)生相位噪聲。振蕩器內(nèi)的AM-PM和PM-AM轉(zhuǎn)換允許這些調(diào)制相互耦合，因此即使是增益變化也可能變成相位變化。調(diào)制效應(yīng)的分析最早由Theodorchick于1948年完成[24]。Kurokawa[11]和Thaler、Ulrich和Weidmann[25]在振蕩器噪聲分析中同時(shí)考慮了加性和調(diào)制噪聲源。后者的研究既強(qiáng)調(diào)理論又強(qiáng)調(diào)測(cè)量。20世紀(jì)80年代，人們使用時(shí)間域分析程序來(lái)計(jì)算微波場(chǎng)效應(yīng)晶體管振蕩器的調(diào)制靈敏度[26]。得出的結(jié)論是，通過(guò)電容Cgs的電抗調(diào)制在當(dāng)前場(chǎng)效應(yīng)晶體管振蕩器的噪聲中占主導(dǎo)地位[27]，[28]。對(duì)GaAs場(chǎng)效應(yīng)晶體管振蕩器的重視是受到GaAs場(chǎng)效應(yīng)晶體管放大器在4-40GHz范圍內(nèi)取得成功而推動(dòng)。盡管GaAs場(chǎng)效應(yīng)晶體管作為放大器顯示出較低的噪聲系數(shù)和更高的帶寬，但當(dāng)GaAs場(chǎng)效應(yīng)晶體管用于振蕩器時(shí)，它們的噪聲比雙極晶體管高5-15dB。盡管一些作者已經(jīng)計(jì)算了在沒(méi)有AM-PM轉(zhuǎn)換的振蕩器中，通過(guò)純電阻機(jī)制將噪聲轉(zhuǎn)換為相位噪聲的情況[29]，[30]，但很容易證明，在沒(méi)有AM-PM轉(zhuǎn)換的振蕩器中，電阻上轉(zhuǎn)換僅會(huì)產(chǎn)生幅度噪聲。 人性對(duì)簡(jiǎn)潔和優(yōu)雅有著天然的喜愛(ài)。1966年，Leeson提出了一個(gè)與觀測(cè)數(shù)據(jù)非常吻合且極其簡(jiǎn)單的振蕩器相位噪聲啟發(fā)式模型[31]。Leeson的模型在低頻振蕩器工程師中非常受歡迎，原因有幾個(gè)。該模型確定了振蕩器相位噪聲中的大多數(shù)主要因素，并使用了系統(tǒng)概念。該模型在定性上是正確的，并且很容易適應(yīng)復(fù)雜的振蕩器電路結(jié)構(gòu)。然而，Leeson的模型是一個(gè)線性模型，因此噪聲方程中不包括穩(wěn)定性項(xiàng)。因?yàn)長(zhǎng)eeson的模型是理想化的，所以其應(yīng)用必須使用有效參數(shù)值而非實(shí)際值。Takaoka和Ura在1980年引入了一種特別有洞察力的振蕩器噪聲分析方法[32]。他們的方法使用調(diào)制傳遞矩陣來(lái)描述加性噪聲通過(guò)振蕩器環(huán)路中器件的傳遞。這些矩陣允許分析非常復(fù)雜的振蕩器和系統(tǒng)，因?yàn)檫@些矩陣在電路中線性傳遞幅度和相位調(diào)制。最初，人們認(rèn)為這種方法與負(fù)阻振蕩器不兼容，也無(wú)法處理調(diào)制噪聲，但這一點(diǎn)在[33]中得到了擴(kuò)展。 隨著微波工程從波導(dǎo)和兩端器件向三端器件和集成電路的轉(zhuǎn)變，振蕩器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也發(fā)生了變化。時(shí)域仿真和時(shí)域分析變得越來(lái)越普遍。此外，具有更強(qiáng)非線性的振蕩器，如環(huán)形振蕩器和電阻-電容（RC）振蕩器，與正弦振蕩器有很大不同。幾位作者為時(shí)域方法做出了貢獻(xiàn)[2]，[34]，[35]。Suarez在[36]中對(duì)時(shí)域和頻域方法進(jìn)行了比較。Demir的方法使用了狀態(tài)空間技術(shù)，該技術(shù)可以追溯到Floquet方法和Fokker-Planck方程[34]。Demir的方法以時(shí)域和頻域形式呈現(xiàn)。Demir和Hajimiri的工作都計(jì)算了描述擾動(dòng)如何影響振蕩器相位的函數(shù)。Hajimiri開(kāi)發(fā)了沖激靈敏度函數(shù)（ISV）的概念來(lái)描述擾動(dòng)到相位的轉(zhuǎn)換。這些ISV的圖或Demir分析中的“c”以及振蕩器波形圖，有助于設(shè)計(jì)人員獲得靈感，并使現(xiàn)代設(shè)計(jì)人員在試圖最小化調(diào)制時(shí)，清楚地了解波形對(duì)稱性的重要性。多年來(lái)，已經(jīng)出版了一些關(guān)于低噪聲振蕩器設(shè)計(jì)的優(yōu)秀指南[2]，[37-[39]。 現(xiàn)有模型隨著微波工程從波導(dǎo)和兩端器件發(fā)展到三端器件和集成電路，振蕩器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)也發(fā)生了變化本節(jié)將概述振蕩器噪聲分析中的一些更重要的思想。1960年，埃德森(Edson)開(kāi)始分析通過(guò)濾波器并分組為正弦和余弦分量的噪聲脈沖的振蕩器噪聲[9]。然后，這些噪聲脈沖被用作正反饋電路的輸入。噪聲脈沖的增長(zhǎng)最終導(dǎo)致反饋電路飽和。埃德森將振蕩器的輸出建模為通過(guò)非常高諧振器的噪聲。通過(guò)認(rèn)識(shí)到反饋回路中放大器的飽和將減少噪聲脈沖對(duì)振蕩幅度的影響，埃德森推導(dǎo)出（4）作為雙邊帶幅度噪聲譜密度，用于圖6中的振蕩器。
圖6. 帶有噪聲源的埃德森振蕩器電路 圖6中的振蕩器由負(fù)載阻抗或頻率相關(guān)諧振器（棕色顯示）和有源器件阻抗（藍(lán)色顯示）組成。有源器件阻抗將包含一個(gè)負(fù)實(shí)部，該實(shí)部將抵消并允許熱噪聲電流輸入產(chǎn)生一個(gè)增長(zhǎng)的正弦波，類似于（1）中所討論的。隨著正弦波幅度的增加，有源器件阻抗（藍(lán)色）的實(shí)部將受到限制，直到它剛好抵消并形成穩(wěn)定的振蕩 其中是有效噪聲溫度（通常接近環(huán)境溫度），是玻爾茲曼常數(shù)，是調(diào)制頻率，是傳遞到的功率，是飽和因子。有效溫度和玻爾茲曼常數(shù)作為熱噪聲的來(lái)源輸入。如果將圖6的模型應(yīng)用于具有多個(gè)損耗元件的振蕩器，則所有的熱噪聲生成項(xiàng)都將集中到中（這可能會(huì)使遠(yuǎn)高于環(huán)境溫度）。另外，我們測(cè)量振蕩器輸出功率的振蕩器負(fù)載電阻被集中到中。在最簡(jiǎn)單的情況下，圖6中（6）的計(jì)算應(yīng)僅使用和的值。在最簡(jiǎn)單的情況下，僅代表有效的負(fù)電導(dǎo)，因此不屬于計(jì)算。通常，關(guān)于的討論涉及加載和未加載諧振器[40]。這里的所有等式都考慮了加載諧振器，這意味著整個(gè)電路的負(fù)載都包含在計(jì)算中。諧振器的空載是指諧振器沒(méi)有與其他任何電路耦合的情況。等式（4）可以看作是信噪比，后跟一個(gè)頻率選擇濾波函數(shù)，該函數(shù)描述了輸出頻譜。 振蕩器分析的范圍從非線性時(shí)變分析到基于線性化模型和噪聲與振蕩信號(hào)相比較小的假設(shè)的擾動(dòng)分析埃德森給出了總幅度噪聲功率（即所有頻率上的功率積分）為 這比實(shí)際高出兩倍，因?yàn)樗牡仁?9假定所有的噪聲功率都變成幅度噪聲[10]。然而，埃德森方程的形式是正確的，并且他從起始脈沖推導(dǎo)振蕩器噪聲的過(guò)程提供了大量的深刻見(jiàn)解。埃德森指出，累積相位誤差取決于測(cè)量時(shí)間的平方根，因?yàn)橄辔辉肼暿且粋€(gè)隨機(jī)游走過(guò)程[10]。通過(guò)對(duì)受相位噪聲干擾的振蕩器的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換，埃德森得出了相位噪聲譜密度 從（6）中，我們得出了振蕩器的正確頻譜寬度 我們可以看到，隨著變大，幅度噪聲和相位噪聲譜密度變得相等。在載波附近，相位噪聲主導(dǎo)幅度噪聲，因?yàn)椋?）中的項(xiàng)大約等于1，而（6）分母中的左項(xiàng)相對(duì)于1來(lái)說(shuō)非常小。當(dāng)變小時(shí)，變?yōu)?span role='presentation' data-formula='8 k T_{e} / P' data-formula-type='inline-equation'>，而繼續(xù)以的速度增加，直到分母中的項(xiàng)大致相等。布拉奎爾(Blaquiere)關(guān)于振蕩器噪聲的研究包括使用?？?普朗克方程(Fokker-Planck equation)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)以及對(duì)其他方法的回顧[10]。布拉奎爾的工作不如埃德森的工作直觀，但給出的方程沒(méi)有錯(cuò)誤的2倍因子。埃德森工作的重要性在于他使用小噪聲脈沖的積累推導(dǎo)出簡(jiǎn)單振蕩器的幅度噪聲和相位噪聲。埃德森的分析方法是正確的，然而，埃德森的分析沒(méi)有解釋實(shí)際振蕩器的幾個(gè)特性。實(shí)際振蕩器在載波附近的一些頻率范圍內(nèi)具有與成比例的相位噪聲邊帶、頻率相關(guān)的非線性、與諧振器頻率不同的輸出頻率以及輸出譜中的諧波。完整的振蕩器分析理論應(yīng)包括上述所有效應(yīng)。值得澄清的一個(gè)振蕩器噪聲方面是相位噪聲邊帶和以及邊帶。圖7(a)顯示了可能在頻譜分析儀上看到的頻率為的振蕩器。圖7(b)顯示了將該信號(hào)參考到振蕩器中心頻率后，平均并繪制在對(duì)數(shù)頻率尺度上的相同信號(hào)。在圖7(b)中，可以看到幾個(gè)噪聲區(qū)域：在大偏移頻率處的平坦區(qū)域，其中振蕩器放大了寬帶噪聲基底；在振蕩器環(huán)路帶寬內(nèi)的區(qū)域，其中振蕩器環(huán)路增益放大了相位噪聲；以及區(qū)域，其中低頻器件（以及可能的諧振器）的噪聲調(diào)制電路相位，產(chǎn)生增加得更快的噪聲。此時(shí)，大多數(shù)工程師都會(huì)好奇，當(dāng)邊帶頻率接近時(shí)出現(xiàn)的明顯奇異性。必須記住，這些邊帶代表相位變化，它們將通過(guò)與頻率調(diào)制分析相關(guān)的貝塞爾函數(shù)來(lái)描述，因?yàn)樗鼈兘咏?span role='presentation' data-formula='f_{0}' data-formula-type='inline-equation'>。
圖7(a) 頻譜分析儀上看到的振蕩器頻譜和(b)如果參考到中心頻率、平均并繪制在對(duì)數(shù)頻率尺度上的情況 Leeson的模型將邊帶納入了振蕩器的相位噪聲中。盡管Leeson沒(méi)有在數(shù)學(xué)上證明在相位噪聲方程中插入這個(gè)項(xiàng)的合理性，但它可以很好地?cái)M合觀測(cè)結(jié)果[31]。Leeson的相位噪聲模型來(lái)源于具有低通濾波器特性的線性反饋系統(tǒng)，如圖8所示。然而，任何推導(dǎo)圖8中方程的人都必須意識(shí)到，該系統(tǒng)是相對(duì)于振蕩器載波推導(dǎo)的，就好像信號(hào)是相位邊帶一樣。這使得帶通諧振器變成了濾波器傳遞函數(shù)的低通濾波器方程。這也使得增益單元看起來(lái)像是一個(gè)線性單位增益單元，因?yàn)樗袇?shù)值都是相對(duì)于載波而言的。最后，圖8中沒(méi)有幅度依賴性，因?yàn)樵肼曔厧欠€(wěn)態(tài)（線性化）振蕩器的一種擾動(dòng)。Leeson的方程是 其中是的平方，是放大器噪聲系數(shù)，是振蕩器輸出譜中觀察到的噪聲拐角頻率。通常是Leeson方程中寫(xiě)的項(xiàng)，定義為在弧度頻率下帶寬內(nèi)的功率，然后除以振蕩器的總輸出功率。Leeson模型中的項(xiàng)指的是調(diào)制頻率，即偏離振蕩器載波頻率的頻率，因此是相對(duì)于振蕩器中心頻率出現(xiàn)的低頻調(diào)制的頻率。在（8）中使用是為了與本文其余部分的方程更加一致。如埃德森所示，電路越大，在任何給定的下振蕩器的相位噪聲就越低。Leeson方程的關(guān)鍵要素是，當(dāng)小于時(shí)，譜以的速度增加，而當(dāng)也小于時(shí)，譜以的速度增加，后者幾乎總是小于測(cè)量器件的拐角頻率，因?yàn)檎{(diào)制轉(zhuǎn)換不會(huì)將噪聲提高到熱噪聲基底以上。此外，由于器件在非線性模式下工作且很少進(jìn)行噪聲匹配，因此最終成為L(zhǎng)eeson方程中的一個(gè)擬合因子。
圖8. Leeson振蕩器相位噪聲模型 振蕩器噪聲涉及隨機(jī)過(guò)程、非線性以及可能看似違反直覺(jué)的結(jié)果，這使得它成為一個(gè)迷人且困難的主題由于放大器的噪聲系數(shù)用于反映輸入端的總噪聲，Leeson模型低估了振蕩器的相位噪聲，因?yàn)檎袷幤髟谳斎腚娐分胁⑽雌ヅ湟詫?shí)現(xiàn)最大功率傳輸。在（8）式的最后一項(xiàng)中不存在單位因子，這在大多數(shù)振蕩器噪聲推導(dǎo)中都不存在。這一項(xiàng)解釋了觀察到的振蕩器噪聲基底，并歸因于諧振器位于電路的反饋環(huán)中（圖8）。如果諧振器位于前向路徑中，則這一項(xiàng)將不存在，并且（8）將與（6）非常相似。Leeson模型還假設(shè)振蕩器在諧振器的中心頻率下工作。實(shí)際上這種情況很少滿足，尤其是在高頻下。在諧振器的中心頻率以外的頻率下工作會(huì)降低傳遞函數(shù)的相位斜率（群延遲），從而增加振蕩器的相位噪聲。這將在后面通過(guò)黑川的方程進(jìn)行證明。由于Leeson模型基于線性電路，因此它無(wú)法解釋幅度噪聲或AM-PM和PM-AM轉(zhuǎn)換的不穩(wěn)定效應(yīng)。在頻譜分析儀上觀察到的邊帶不對(duì)稱性只能通過(guò)幅度噪聲和相位噪聲的存在來(lái)解釋。最后，Leeson模型僅能近似處理如弛豫振蕩器和環(huán)形振蕩器。這是因?yàn)榄h(huán)形振蕩器和弛豫振蕩器具有有源器件的開(kāi)關(guān)操作，而不僅僅是信號(hào)電平增加到一定程度后增益受到限制（減?。?。這種開(kāi)關(guān)操作確實(shí)需要時(shí)變分析[35]。振蕩器分析的范圍從非線性時(shí)變（NLTV）分析（如（1）和[26]）到基于線性化模型和假設(shè)的擾動(dòng)分析，這些假設(shè)認(rèn)為被分析的噪聲相對(duì)于振蕩信號(hào)來(lái)說(shuō)很小[9]、[31]。擾動(dòng)分析通常被稱為線性時(shí)不變（LTI）分析[2]。通常，工程師會(huì)使用最簡(jiǎn)單的振蕩器噪聲模型來(lái)獲得準(zhǔn)確的結(jié)果，這導(dǎo)致了諸如線性時(shí)變（LTV）等模型的出現(xiàn)，這些模型介于NLTV和LTI之間，以及NLTV和LTI模型[2]、[34]、[35]。Leeson模型確實(shí)為設(shè)計(jì)低噪聲振蕩器提供了極好的定性指導(dǎo)。此外，Leeson模型的簡(jiǎn)單性使其可用于表征大型系統(tǒng)。 自1968年引入以來(lái)，黑川的振蕩器噪聲理論已被微波工程師廣泛使用[11]。圖9顯示了黑川使用的負(fù)阻振蕩器電路。盡管這個(gè)電路相當(dāng)簡(jiǎn)單，但它被用來(lái)解釋由于載波頻率噪聲、注入鎖定噪聲特性以及微波源的滯后調(diào)諧曲線引起的振蕩器噪聲。黑川關(guān)于加性幅度噪聲和相位噪聲的方程為 其中，點(diǎn)和叉乘是矢量運(yùn)算，是平均振蕩電流幅度。
圖9. 黑川的振蕩器模型 如本文開(kāi)頭所述，我們必須親自研究振蕩器噪聲分析，才能真正理解它再次強(qiáng)調(diào)，是器件阻抗，而是負(fù)載阻抗。對(duì)于表現(xiàn)良好的電路，黑川的方程可以簡(jiǎn)化為埃德森方程（將埃德森方程除以2）。方程（9）和（10）中的叉乘項(xiàng)是定義在（3）中的穩(wěn)定性因子。顯然，這個(gè)因子會(huì)影響振蕩器的噪聲。如果器件隨幅度的變化與負(fù)載隨頻率的變化垂直，那么（10）中的點(diǎn)乘項(xiàng)將為零，而（9）和（10）中的叉乘項(xiàng)將最大化。因此，圖4中的交叉角將最小化振蕩器的幅度和相位噪聲。黑川工作的主要限制是沒(méi)有考慮諧波、測(cè)量方法以及對(duì)器件噪聲源的非線性效應(yīng)。黑川確實(shí)考慮了噪聲的影響，即噪聲如何調(diào)制器件參數(shù)。 關(guān)于噪聲和其他調(diào)制的譜展寬的嚴(yán)格方法在[10]、[11]和[28]中給出。Rohdin、Su和Stolte的工作[28]僅考慮反射系數(shù)振蕩器設(shè)計(jì)，并專注于測(cè)量最終振蕩器的調(diào)制系數(shù)，而不是表征單個(gè)組件對(duì)調(diào)制系數(shù)的貢獻(xiàn)。Sautereau等人專注于通過(guò)時(shí)域分析程序計(jì)算調(diào)制系數(shù)[26]。這種方法的實(shí)用性取決于程序的速度和深入了解單個(gè)振蕩器組件對(duì)調(diào)制的影響的難易程度。 Hajimiri的分析導(dǎo)出了一個(gè)與振蕩器波形相關(guān)的周期函數(shù)，描述了振蕩器任何節(jié)點(diǎn)上的電荷注入如何影響振蕩器相位[2]。如圖10所示，波形零交叉點(diǎn)將具有最大的相位敏感性，接近方波的波形將在轉(zhuǎn)換處具有局部敏感性。
圖10：Hajimiri振蕩器波形和脈沖敏感函數(shù)，。(a) 正弦波振蕩器和(b) 限幅振蕩器。改編自[2] 應(yīng)該注意的是，振蕩器與脈沖敏感度縮放綁定在一起，并沒(méi)有明確出現(xiàn)。此外，調(diào)制來(lái)自ISV（）中的常數(shù)項(xiàng)或直流偏移。Hajimiri計(jì)算如（11）所示的相位擾動(dòng)，其中是注入到電路節(jié)點(diǎn)的噪聲電流，是節(jié)點(diǎn)電容上的最大電荷位移。對(duì)（11）中的取自相關(guān)并進(jìn)行傅里葉變換，得到本文其他部分給出的譜密度函數(shù) Demir也主要通過(guò)狀態(tài)空間分析采用時(shí)域方法[34]。Demir定義了一個(gè)相位敏感度變量，它可以與單個(gè)噪聲源相關(guān)聯(lián)，并在波形周期內(nèi)積分以生成一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)代表相位噪聲貢獻(xiàn)和振蕩器。如（12）所示，這個(gè)常數(shù)很容易與振蕩器抖動(dòng)和振蕩器相位噪聲相關(guān)聯(lián)。Demir的分析可以通過(guò)諧波平衡在時(shí)域或頻域中進(jìn)行。Hajimiri和Demir的分析有很多相似之處，直覺(jué)傾向于Hajimiri的中間傳遞函數(shù)結(jié)果，而嚴(yán)謹(jǐn)性和靈活性則傾向于Demir的方法。請(qǐng)注意，Demir的（12）和埃德森的方程（6）都沒(méi)有在Leeson的（8）中找到的相位噪聲奇異性 總結(jié)振蕩器噪聲涉及隨機(jī)過(guò)程、非線性以及可能看似違反直覺(jué)的結(jié)果，這使得它成為一個(gè)迷人且困難的主題。本文并未涉及所有問(wèn)題，但希望它能作為一扇門(mén)，讓我們了解之前的工作以及在哪里可以找到堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。正如本文開(kāi)頭所引用的那句話所說(shuō)，在真正理解之前，我們必須親自研究振蕩器噪聲分析。 這里引用的所有論文都提供了一些新的視角，并經(jīng)常為相位噪聲分析所涉及的大量問(wèn)題中的另一層問(wèn)題提供了解決方案，但2009年MTT微波研討會(huì)上的一個(gè)工作坊使用了Leeson模型，并且有一屋子的人都在構(gòu)建和測(cè)量振蕩器，并取得了滿意的結(jié)果，這一事實(shí)應(yīng)該讓人們意識(shí)到，很多人對(duì)相位噪聲有非常深入的理解，并且已經(jīng)持續(xù)了很長(zhǎng)時(shí)間。 致謝作者感謝所有為這一迷人且重要的主題做出貢獻(xiàn)的研究人員。有很多重要的論文沒(méi)有包含在以下簡(jiǎn)短的參考文獻(xiàn)列表中，作者感謝那些將振蕩器噪聲作為他們生活研究很大一部分的人的理解，盡管他們沒(méi)有被引用。此外，作者還要感謝所有審稿人的見(jiàn)解、時(shí)間和努力，使本文更加有用。最后，作者要感謝IEEE微波雜志的所有人以及R.J. Trew博士對(duì)振蕩器和噪聲研究的建議。 10. 參考[1] M. Golio, The RF and Microwave Handbook. Danvers, MA: CRC, 2000. 作者簡(jiǎn)介來(lái)自https://ieeexplore./author/37086079334
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來(lái)自： 山蟹居 > 《半導(dǎo)體和電路》
