【原】矩陣，到底有什么用？

科學(xué)羊 2024-03-06 發(fā)布于廣東

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大家好，我是科學(xué)羊??，這里是數(shù)學(xué)專欄第3季第11篇。

今天我們來(lái)談?wù)劸仃嚕?/p>

在高等數(shù)學(xué)的宏大世界里，微積分和線性代數(shù)猶如基礎(chǔ)的磚石，鋪就了理解復(fù)雜數(shù)學(xué)概念的道路。

對(duì)于廣大非理工科的學(xué)子而言，這兩門課程往往是大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部，這也是考研數(shù)學(xué)的必須課程！

微積分不僅是一門課程，它更是一種鍛煉邏輯思維的方式，而線性代數(shù)的應(yīng)用范圍如此廣泛，以至于工作和日常生活中處處可見(jiàn)其身影。

我們此前已經(jīng)涉足了線性代數(shù)的領(lǐng)域，雖然并未明言。實(shí)際上，我們討論的向量代數(shù)正是線性代數(shù)中最基礎(chǔ)也是最為關(guān)鍵的組成部分。

矩陣，作為線性代數(shù)中使用頻率最高的概念，其實(shí)質(zhì)和用途引人入勝。

什么是矩陣？

矩陣是一個(gè)按照行和列排列的矩形陣列，其中的每一個(gè)元素都可以通過(guò)其行號(hào)和列號(hào)唯一確定。數(shù)學(xué)上，一個(gè)m*n的矩陣表示為：

簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，矩陣就是數(shù)字的有序排列，通過(guò)行和列的方式進(jìn)行組織，每行和每列的數(shù)字?jǐn)?shù)量保持一致。

比如一個(gè)3x4的矩陣，意味著它擁有3行4列。

矩陣之所以存在，并非無(wú)緣無(wú)故，而是向量概念的自然擴(kuò)展。

也就是將多個(gè)向量放在一起，顯然最直觀的方式，就是把它們一行行排起來(lái)，這形成了一個(gè)有M行N列的矩陣。這就是矩陣的由來(lái)。

以招聘為例，一個(gè)公司將各種考核指標(biāo)綜合為N個(gè)維度，每個(gè)崗位的能力要求便形成了一個(gè)N維向量。隨著不同部門、不同崗位的向量匯聚，最直觀的表示方法便是將這些向量按行排列，形成一個(gè)M行N列的矩陣，揭示了矩陣的由來(lái)。

矩陣的歷史比較晚近，直到1850年才由英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特（James Joseph Sylvester）正式命名。

盡管有觀點(diǎn)認(rèn)為早在古代中國(guó)、日本、意大利和阿拉伯等地就有矩陣的原型，但這些與今天我們所用的數(shù)學(xué)矩陣概念相去甚遠(yuǎn)。

真正的矩陣概念包含了特定的含義賦予以及一套完備的計(jì)算方法，這使得矩陣成為了解決問(wèn)題的強(qiáng)大工具。

矩陣的加法和乘法是其兩種基本運(yùn)算。

通過(guò)矩陣加法，我們可以將一般性要求與針對(duì)特定情境的調(diào)整結(jié)合起來(lái)，體現(xiàn)在具體國(guó)家的員工要求上。

比如有個(gè)矩陣：

那么，當(dāng)我們進(jìn)行A+B時(shí)，只要把兩個(gè)矩陣中相應(yīng)位置的元素逐一相加即可，也就是說(shuō)矩陣A加矩陣B，會(huì)得到下面的結(jié)果

而矩陣乘法的應(yīng)用更為廣泛，尤其在金融領(lǐng)域，它能夠幫助投資者根據(jù)不同的投資偏好和風(fēng)險(xiǎn)承受能力計(jì)算潛在的回報(bào)。（這部分我們明天重點(diǎn)下一節(jié)在機(jī)器人中再講）

我們將向量和矩陣的乘法作為例子，展示了如何通過(guò)這種運(yùn)算方式處理實(shí)際問(wèn)題，例如確定投資的最優(yōu)選擇。這種運(yùn)算不僅僅是簡(jiǎn)單的算術(shù)操作，而是一種批量處理問(wèn)題的方法，特別適合處理高維度數(shù)據(jù)。

矩陣運(yùn)算的引入，不僅僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一大進(jìn)步，它更是一種全新的思考方式，將單個(gè)計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)榇笈刻幚恚@一思維方式對(duì)今天信息時(shí)代至關(guān)重要。

最后，我們探討了線性代數(shù)之所以稱之為“線性”的原因，即其運(yùn)算和表達(dá)都與線性方程組緊密相關(guān)，揭示了直線、平面及其它線性形態(tài)的本質(zhì)。

雖然自然界中的許多問(wèn)題并非嚴(yán)格的線性，但將其近似為線性問(wèn)題，可以讓我們利用線性代數(shù)的工具來(lái)尋求解決方案。

通過(guò)這一系列的探討，我們不僅加深了對(duì)微積分和線性代數(shù)的理解，也為即將介紹的微積分主題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美，以及它在現(xiàn)實(shí)世界中無(wú)限的應(yīng)用潛力。

那么矩陣到底有什么用？

矩陣，這一簡(jiǎn)潔而強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，從純數(shù)學(xué)研究到實(shí)際的工程問(wèn)題解決，都離不開(kāi)矩陣的支持。

其用途可以概括為以下幾個(gè)方面：

1. 線性方程組的求解

矩陣是解決線性方程組問(wèn)題的一種有效工具。通過(guò)將線性方程組表示為矩陣形式，可以使用矩陣運(yùn)算（如矩陣求逆或行列式計(jì)算）來(lái)找到方程組的解。

這在數(shù)學(xué)、物理學(xué)及工程學(xué)等領(lǐng)域的問(wèn)題求解中至關(guān)重要。

2. 線性變換與圖形處理

在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，矩陣被用來(lái)表示和執(zhí)行圖形的線性變換，包括旋轉(zhuǎn)、縮放、平移等操作。

通過(guò)對(duì)矩陣進(jìn)行運(yùn)算，可以高效地對(duì)圖像進(jìn)行變換，這在視頻游戲開(kāi)發(fā)、動(dòng)畫制作、CAD（計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)）等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用。

3. 經(jīng)濟(jì)學(xué)中的輸入輸出分析

如前所述，矩陣在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的輸入輸出分析中扮演著重要角色。通過(guò)構(gòu)建經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的矩陣模型，經(jīng)濟(jì)學(xué)家可以分析各個(gè)產(chǎn)業(yè)之間的相互依賴關(guān)系，預(yù)測(cè)經(jīng)濟(jì)政策變化對(duì)產(chǎn)業(yè)的影響。

4. 量子力學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)

在量子力學(xué)中，矩陣用于描述物理系統(tǒng)的狀態(tài)和演化。矩陣力學(xué)是量子力學(xué)的一個(gè)基本框架。

同時(shí)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，矩陣運(yùn)算用于處理和分析大量數(shù)據(jù)，如協(xié)方差矩陣分析、主成分分析（PCA）等，對(duì)于數(shù)據(jù)降維、特征提取等任務(wù)至關(guān)重要。

5. 機(jī)器學(xué)習(xí)與數(shù)據(jù)科學(xué)

在機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域，矩陣用于表示和處理數(shù)據(jù)集，支持如線性回歸、邏輯回歸、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等算法的實(shí)現(xiàn)。矩陣運(yùn)算優(yōu)化了這些算法的計(jì)算過(guò)程，使得處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集成為可能。

6. 控制理論

在自動(dòng)控制領(lǐng)域，矩陣用于設(shè)計(jì)和分析控制系統(tǒng)。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為可以用狀態(tài)空間模型來(lái)描述，該模型本質(zhì)上是一組線性微分方程，可以通過(guò)矩陣形式表示和求解。

矩陣的應(yīng)用遍及科學(xué)研究、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等各個(gè)領(lǐng)域，它不僅是一種處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的強(qiáng)大工具，也是連接理論與實(shí)踐、簡(jiǎn)化和優(yōu)化解決方案的橋梁。

通過(guò)矩陣，我們能更加深入地理解復(fù)雜系統(tǒng)的本質(zhì)，更加高效地處理和分析大規(guī)模數(shù)據(jù)。

最后，