楊輝三角相信很多人都不陌生，南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，它是一個無限對稱的數(shù)字金字塔，從頂部的單個1開始，下面一行中的每個數(shù)字都是上面兩個數(shù)字的和。

1．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，根據(jù)“楊輝三角”請計算（a+b）⁶的展開式中從左起第四項的系數(shù)為（　?。?/p>

（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

…

  A．10  B．15  C．20  D．25

解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)（a+b）⁴的第四項系數(shù)為4＝3+1；

（a+b）⁵的第四項系數(shù)為10＝6+4；

∴（a+b）⁶的第四項系數(shù)為20＝10+10．

故選：C．

2．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

例如：

（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

…

請你猜想（a+b）⁹的展開式中所有系數(shù)的和是（　?。?/p>

  A．2018  B．512  C．128  D．64

解：展開式共有n+1項，系數(shù)和為2ⁿ．

∴（a+b）⁹的展開式中所有系數(shù)的和是：2⁹＝512

3．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；…根據(jù)以上規(guī)律，（a+b）ⁿ展開式的系數(shù)和為 　     　．

解：（a+b）⁰＝1，系數(shù)為1，2⁰＝1

（a+b）¹＝a+b，系數(shù)和為2，2¹＝2

（a+b）²＝a²+2ab+b²，系數(shù)和為4，2²＝4

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，系數(shù)和為8，2³＝8，

..．

（a+b）ⁿ展開式的系數(shù)和為：2ⁿ，

故答案為：2ⁿ．

4．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；

（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；

（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；

…

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁴展開式共有　   　項，系數(shù)分別為　            　；

（2）寫出（a+b）⁵的展開式：（a+b）⁵＝　                  　；

（3）（a+b）ⁿ展開式共有　        　項，系數(shù)和為　     　．

【分析】（1）本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a+b）^n﹣1相鄰兩項的系數(shù)和．因此可得（a+b）⁴的各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；

（2）由（1）得出的規(guī)律，即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)題意得出（a+b）ⁿ展開式共有（n+1）項，當(dāng)a＝b＝1時，（a+b）ⁿ＝2ⁿ即可．

解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項，

各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故答案為：5，1，4，6，4，1；

（2）根據(jù)題意得：（a+b）⁵的展開式為a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

故答案為a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（3）當(dāng)a＝b＝1時，（a+b）ⁿ＝2ⁿ．

故答案為：（n+1），2ⁿ．

5．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如下圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

例如：

（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；

（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；

（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；

…

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁴展開式共有　   　項，系數(shù)分別為　            　；

（2）（a+b）ⁿ展開式共有　        　項，系數(shù)和為　     　．

【分析】經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字組成的三角形是等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1，從第3行開始，中間的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字之和，展開式的項數(shù)比它的指數(shù)多1．根據(jù)上面觀察的規(guī)律很容易解答問題．

解：（1）展開式共有5項，展開式的各項系數(shù)分別為1，4，6，4，1，

（2）展開式共有n+1項，系數(shù)和為2ⁿ．

故答案為：（1）5；1，4，6，4，1；（2）（n+1），2ⁿ．

6．我國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)發(fā)展史上碩果累累，“楊輝三角”就是其中一項，如圖1左側(cè)數(shù)字部分就是“楊輝三角”的局部，它揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．請你觀察，并根據(jù)此規(guī)律寫出：（a+b）⁵＝　                  　．

【分析】經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)字組成的三角形是等腰三角形，兩腰上的數(shù)都是1，從第3行開始，中間的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)字之和，展開式的項數(shù)比它的指數(shù)多1．根據(jù)上面觀察的規(guī)律很容易解答問題．

解：（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

故答案為：a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

7．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如圖，后人也將如圖表稱為“楊輝三角”．

（a+b）⁰＝1

（a+b）¹＝a+b

（a+b）²＝a²+2ab+b²

（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³

（a+b）⁴＝a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵…

則（a+b）²⁰²⁰展開式中所有項的系數(shù)和是　        　（結(jié)果用指數(shù)冪表示）．

【分析】通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a+b）^n﹣1相鄰兩項的系數(shù)和．

解：展開式共有n+1項，系數(shù)和為2ⁿ．

∴（a+b）²⁰²⁰的展開式中所有系數(shù)的和是：2²⁰²⁰．

故答案為：2²⁰²⁰．

8．閱讀下面的材料，解答下列問題：

我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

（a+b）¹＝a+b，（a+b）²＝a²+2ab+b²，（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³．

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁴展開式共有 　   　項，第二項系數(shù)為 　   　；系數(shù)和為 　     　．

（2）根據(jù)上述規(guī)律，將（a+b）⁵展開；

（3）利用上述規(guī)律計算：99³+3×99²+3×99+1．

【分析】（1）本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)的規(guī)律，即可求解；

（2）觀察（a+b）ⁿ展開式的各項系數(shù)的規(guī)律，即可求解；

（3）將原式寫成“楊輝三角”的展開式形式，即可得結(jié)果．

解：（1）由“楊輝三角”規(guī)律可知：（a+b）⁴展開式的系數(shù)分別為1，4，6，4，1，

∴（a+b）⁴展開式共五項，第二項系數(shù)為4，系數(shù)和＝1+4+6+4+1＝16，

故答案為：5，4，16；

（2）根據(jù)題意得：（a+b）⁵展開式的系數(shù)分別為，1，5，10，10，5，1，

∴（a+b）⁵＝a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵；

（3）99³+3×99²+3×99+1

＝（99+1）³

＝100³

＝10⁶．

9．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”，如圖所示，此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．例如：（a+b）⁰＝1，它只有1項，系數(shù)為1；（a+b）¹＝a+b，它有2項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有3項系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，它有4項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8…．

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題．

（1）（a+b）⁴的展開式共有 　   　項，系數(shù)分別為 　            　．

（2）（a+b）ⁿ的展開式共有 　        　項，系數(shù)和為 　     　．

（3）計算：2⁵+5×2⁴+10×2³+10×2²+5×2+1．

【分析】（1）根據(jù)圖形可得（a+b）⁴的各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1；

（2）通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a+b）^n﹣1相鄰兩項的系數(shù)和，因此即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)（2）可得原式＝（2+1）⁵，再計算即可．

解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項，

各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故答案為：5；1，4，6，4，1；

（2）根據(jù)題意，得（a+b）ⁿ的展開式共有（n+1）項，

（a+b）⁰的系數(shù)和為1＝2⁰，

（a+b）¹的系數(shù)和為2＝2¹，

（a+b）²的系數(shù)和為4＝2²，

（a+b）³的系數(shù)和為8＝2³，

?，

由此規(guī)律可得，（a+b）ⁿ的系數(shù)和為2ⁿ．

∴（a+b）ⁿ的展開式共有（n+1）項，系數(shù)和為2ⁿ．

故答案為：（n+1），2ⁿ；

（3）2⁵+5×2⁴+10×2³+10×2²+5×2+1＝（2+1）⁵＝243．

10．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；…根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁴展開式共有　   　項，系數(shù)分別為　            　；

（2）（a+b）ⁿ展開式共有　      　項，系數(shù)和為　     　．

（3）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出（a+b）⁵的展開式．

【分析】（1）本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a+b）^n﹣1相鄰兩項的系數(shù)和．因此可得（a+b）⁴的各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；

（2）根據(jù)題意得出（a+b）ⁿ展開式共有（n+1）項，當(dāng)a＝b＝1時，（a+b）ⁿ＝2ⁿ即可．

（3）由（1）得出的規(guī)律，即可得出結(jié)果．

解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項，

各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

故答案為：5，1，4，6，4，1

（2）當(dāng)a＝b＝1時，（a+b）ⁿ＝2ⁿ．

故答案為：n+1，2ⁿ．

（3）根據(jù)題意得：（a+b）⁵的展開式為a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵．

11．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；（a+b）³＝a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；

…

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁴展開式共有　   　項，系數(shù)分別為　            　；

（2）（a+b）ⁿ展開式共有　      　項，系數(shù)和為　     　．

【分析】本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項系數(shù)都是1，中間各項系數(shù)等于（a+b）^n﹣1相鄰兩項的系數(shù)和．因此可得（a+b）⁴的各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，即：1、4、6、4、1．

解：（1）根據(jù)題意知，（a+b）⁴的展開后，共有5項，

各項系數(shù)分別為1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1，

即：1、4、6、4、1；

（2）當(dāng)a＝b＝1時，（a+b）ⁿ＝2ⁿ．

故答案為：（1）5，1，4，6，4，1；（2）n+1，2ⁿ．

12．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；

（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；

（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁵展開式共有 　   　項，系數(shù)和為 　     　．

（2）求（2a﹣1）⁵的展開式；

（3）利用表中規(guī)律計算：2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1（不用表中規(guī)律計算不給分）；

（4）設(shè)（x+1）¹⁷＝a₁₇x¹⁷+a₁₆x¹⁶+…+a₁x+a₀，則a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇的值為 　        　．

【分析】（1）認(rèn)真讀懂圖1，寫出下一行數(shù)字，填空即可；

（2）按照系數(shù)，展開式的書寫形式展開即可；

（3）讀懂表中的數(shù)據(jù)規(guī)律，可以把算式寫出（2﹣1）⁵的形式，再計算；

（4）讓x取特殊值，計算出a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇的值．

解：（1）根據(jù)圖表中的規(guī)律，

可得：（a+b）⁵展開式共有 6項，系數(shù)和為 1+5+10+10+5+1＝32，

故答案為：6，32；

（2）（2a﹣1）⁵

＝2⁵a⁵+5×2⁴a⁴（﹣1）+10×2³a³（﹣1）²+10×2²a²（﹣1）³+5×2a（﹣1）⁴+（﹣1）⁵

＝32a⁵﹣80a⁴+80a³﹣40a²+10a﹣1；

（3）根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：

2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1＝（2﹣1）⁵，

∴2⁵﹣5×2⁴+10×2³﹣10×2²+5×2﹣1＝1；

（4）∵（x+1）¹⁷＝a₁₇x¹⁷+a₁₆x¹⁶+…+a₁x+a₀，

∴當(dāng)x＝1時，

（1+1）¹⁷＝a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇，

當(dāng)x＝0時，

（0+1）¹⁷＝a₀＝1，

∴2¹⁷＝1+a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇，

∴a₁+a₂+a₃+…+a₁₆+a₁₇的值為2¹⁷﹣1．

故答案為：2¹⁷﹣1．

13．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的相關(guān)規(guī)律．

例如：（a+b）⁰＝1，它只有一項，系數(shù)為1；

（a+b）¹＝a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；

（a+b）²＝a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；

根據(jù)以上規(guī)律，解答下列問題：

（1）（a+b）⁵展開式的系數(shù)和是 　     　；（a+b）ⁿ展開式的系數(shù)和是 　     　．

（2）當(dāng)a＝2時，（a+b）⁵展開式的系數(shù)和是 　      　；（a+b）ⁿ展開式的系數(shù)和是 　     　．

【分析】（1）根據(jù)楊輝三角找出系數(shù)和的規(guī)律求解．

（2）特殊值法求解．

解：（1）由楊輝三角得：

（a+b）2的系數(shù)和為：1+2+1＝4＝22，

（a+b）3的系數(shù)和為：1+3+3+1＝8＝23，

···，

（a+b）⁵展開式中各項的系數(shù)和為：2⁵＝32，

（a+b）ⁿ的展開式中各項的系數(shù)和為：2ⁿ．

故答案為：32，2ⁿ．

（2）當(dāng)a＝2時，（a+b）2＝（2+b）2＝4+4b+b2，系數(shù)和為：4+4+1＝9＝32，

當(dāng)a＝2時，（a+b）3＝23+3×22×b+3×2×b2+b3，系數(shù)和為：8+12+6+1＝27＝33，

∴依此類推：當(dāng)a＝2，（a+b）⁵＝3⁵＝243，（a+b）ⁿ展開式的系數(shù)和是3ⁿ．

故答案為：243，3ⁿ．