最近，在學(xué)習(xí)角的相關(guān)概念。在二年級(jí)的時(shí)候，其實(shí)對(duì)于角有了初步的認(rèn)識(shí)，角是有一個(gè)頂點(diǎn)和兩條直直的邊組成的圖形。到了四年級(jí)，在學(xué)習(xí)了射線之后，又有了新的認(rèn)識(shí)。

一點(diǎn)和從這一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。這是角的靜態(tài)定義。除此之外，角還可以看作由射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成。這是角的動(dòng)態(tài)定義。這兩個(gè)定義對(duì)于重新認(rèn)識(shí)角又有了新的認(rèn)識(shí)。

這樣，我們就認(rèn)識(shí)了幾個(gè)特別的角。它們分別是銳角、直角、鈍角、平角、優(yōu)角和周角。

銳角：小于直角的角。0°～90°

直角：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1/4周，所成的角叫做直角。1直角=90°

鈍角：大于直角而小于平角的角叫做鈍角。90°～180°

平角：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)1/2周，所成的角叫做平角。1平角=180°

優(yōu)角：大于平角而小于周角的角叫做鈍角。180°～360°

周角：一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，所成的角叫做周角。1周角=360°。

這里書本中直介紹了銳角、鈍角、直角、平角和周角。但由于從整體來看，學(xué)生有這樣的疑惑和問題，比180度大比360度小的角是什么角？于是，這里告知學(xué)生知曉，其實(shí)并無不可，這樣反而更加完整，一個(gè)周角內(nèi)的角按照大小分類就清楚了。

另外，這里的直角、平角和周角是有固定度數(shù)的角。而銳角、鈍角和優(yōu)角是一類角，其大小是有范圍的。

這些角直角的關(guān)系，學(xué)生比較容易整理如下：

銳角<直角<鈍角<平角<優(yōu)角<周角；

1平角=2直角，1周角=2平角，1周角=4直角；

1直角=1/2平角，1平角=1/2周角，1直角=1/4周角。

當(dāng)然，角的度量，用量角器量角、畫角等都是需要知道的重要知識(shí)。這里，重點(diǎn)來說一說三角尺上的角，因?yàn)樵诙昙?jí)也曾經(jīng)探究過類似的知識(shí)。

在二年級(jí)，那三角尺上的角有什么特點(diǎn)？

一幅三角尺（2個(gè)），都是一個(gè)直角和2個(gè)銳角。

那利用這兩個(gè)三角尺，能夠拼出銳角、直角和鈍角嗎？

那就自己動(dòng)手“拼一拼”吧！如何做到不重復(fù)、不遺漏呢？

也就是，在二年級(jí)我們發(fā)現(xiàn)三角尺上有角，并且都是一個(gè)直角和兩個(gè)銳角，而且它們可以拼出角。

那這個(gè)拼角的探究作業(yè)，在四年級(jí)也是有更高的要求，不僅要知道是什么角，還需要知道度數(shù)。通過拼一拼、畫一畫、量一量，我們就知道三角尺拼出的角的度數(shù)。

一幅三角尺，其中一個(gè)三角尺的度數(shù)分別為：90°；45°；45°。另一個(gè)三角尺的度數(shù)分別為：90°；60°；30°。

如果用一個(gè)三角尺來畫角，可以畫出90°；60°；45°；30°這四個(gè)角。

如果用兩個(gè)三角尺來拼，能拼成6個(gè)角，分別是：

180° （90°+90°）；兩個(gè)90度拼成一個(gè)平角

150° （90°+60°）；一個(gè)90度和一個(gè)60度

120° （90°+30°）；一個(gè)90度和一個(gè)30度

135° （45°+90°）；一個(gè)45度和一個(gè)90度

105° （45°+60°）；一個(gè)45度和一個(gè)60度

75° （30°+45°）；一個(gè)30度和一個(gè)45度

能夠拼出1個(gè)平角；4個(gè)鈍角；1個(gè)銳角。

學(xué)生也利用自己手中的三角尺來拼，并把這些角進(jìn)行了分類。

這里還可以通過不同角的組合，按照有序思考地方式進(jìn)行思考。

還有同學(xué)自己畫出三角尺，進(jìn)行拼角。

如果用兩個(gè)三角尺來疊放，還能畫出一個(gè)15度的角（60°-45°）。

最后，大家把這些能夠用三角尺能夠畫出的角進(jìn)行排序，發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象。

15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，

135°，150°，180°。從15°開始，依次增加15°，一直到180°，但是中間好像缺了一個(gè)165度。

那到底能不能夠用三角尺畫出其它度數(shù)的角呢？

不少同學(xué)開始借助三角尺去擺，就為了出現(xiàn)一個(gè)“新”的角。在多次嘗試后，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)把兩個(gè)三角尺的一條邊重合（如下圖），出現(xiàn)了兩個(gè)鈍角。

先把它們畫出來，再進(jìn)行測(cè)量，發(fā)現(xiàn)綠色的角是105度。而紅色的角正好是165度。這個(gè)挺讓學(xué)生興奮的，原來真的能畫出165度！

剛才是通過量角器測(cè)量出來的，在學(xué)習(xí)完角的計(jì)算后，是否能夠角與角之間的關(guān)系，計(jì)算出角的度數(shù)呢。

這里角3的度數(shù)，就是剛才重疊出來的度數(shù)，角3=60°-45°=15°

角2、角3、角4在同一個(gè)三角形里，在練習(xí)冊(cè)探究中已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和都是180°。

所以角4=180°-90°-15°=75°

所以，角1=180°-角4=180°-75°=105°

再來看看怎么求出角2的度數(shù)。

角7=180°-45°=135°；角5=30°；

角6=180°-135°-30°=15°；

角2=180°-15°=165°。

可見，真的可以畫出165度的角。原來只是一次簡(jiǎn)單的排序引發(fā)出來的思考，在學(xué)生嘗試之后，竟然真的發(fā)現(xiàn)有這樣的角，這樣的探究作業(yè)真的很有數(shù)學(xué)味！

學(xué)生的知識(shí)水平是一個(gè)不斷完善、螺旋上升的過程，在不同的年齡階段對(duì)同一知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí)的深度是不同的?？梢?，二年級(jí)只是建立“什么是角，角有大小”的表象；四年級(jí)則“結(jié)合射線認(rèn)識(shí)角，通過角度來量化角的大小”。

從關(guān)注直觀表象過渡到關(guān)注本質(zhì)屬性，探究作業(yè)在不同年級(jí)的要求也是如此。