在△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC，分別交AC、AD于H、M，求證：DB=DM

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF||AB交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為AD左側(cè)一點(diǎn)，AG⊥AC且AG=CF，連接BG，∠AGB=∠AFD，猜想線段BG、DF、AB之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)如圖3，∠ABC=60°，AD=2，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，直接寫(xiě)出

的最小值

解：(1)略

(2) 方法一：全等+平行四邊形

在AD上取點(diǎn)H使DH=BD，連接CH，易得△ABD≌△CHD，∠BAD=∠HCD，延長(zhǎng)CH交AB于點(diǎn)I，而∠ABD+∠BAD=90°得∠HCD+∠ABD=90°，故∠AIC=90°，由此可得∠BAG+∠IAC=90°，∠IAC+∠HCF=90°故∠BAG=∠HCF，又AG=CF，故△ABG≌△CHF，得∠CFH=∠AGB，HF=BG，由已知∠AGB=∠AFD得∠AFD=∠CFH得∠AFH=∠DFC

作AJ||BC交DF延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，易知ABDJ為平行四邊形，AB=DJ；同時(shí)可知∠DFC=∠AFJ得∠AFH=∠AFJ，又∠FAH=∠FAJ=45°，AF=AF得△AFH≌△AFJ，故FJ=FH，故AB=DF=DF+FJ=DF+BG，即有AB=DF+BG

方法二：全等+相似

連接DG同時(shí)延長(zhǎng)CB、AG交于點(diǎn)H，易知AD=CD，而∠DAG=∠C=45°，AG=CF，故△ADG≌△CDF得∠AGD=∠CFD，DG=DF，又DA=DH，∠H=∠DAF=45°得△DGH≌△DFA，得GH=AF，∠DGH=∠AFD

由已知∠AGB=∠AFD得∠AGB=∠DGH，得∠HGB=∠AGD，故∠HGB=∠CFD=∠BAC(DF||AB),而∠C=∠H=45°得△HGB~△CFD得

即有而于是

，故有AB=BG+DF

(3)將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BMN，連接PM，易知PM=PB，故PA+PB+PC=PA+PM+MN，當(dāng)A、P、M、N共線時(shí)取最小值，即AN，作AT⊥BN于點(diǎn)T，易知BD=AT=2，BN=2+2，BT=2，AN²=56+16

，故

點(diǎn)評(píng)：第二問(wèn)中的兩種方法主要取決于同學(xué)們對(duì)條件的處理方式，全等易想，但是相似比例的推導(dǎo)更關(guān)鍵，而方法一則更多的利用全等轉(zhuǎn)化,對(duì)同學(xué)們都有一定的挑戰(zhàn).

第三問(wèn)則是加權(quán)線段最值，直接利用特殊系數(shù)旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的度數(shù),即可轉(zhuǎn)化線段長(zhǎng)度.