對(duì)于教材中與幾何定理相關(guān)問(wèn)題的分類(lèi)討論隸屬于上述分類(lèi)中“由圖形位置的不確定性引起的討論”：

諸如三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理的證明.

如圖1，在△ABC中，如果將直線l保持與邊BC平行而進(jìn)行移動(dòng)，分為以下三種情況：①l與邊AB、AC分別交于點(diǎn)D、E；②l與邊AB、AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D、E；③l與邊AB、AC的反向延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D、E.分別對(duì)這三種情況進(jìn)行證明，最后歸納得出“三角形一邊的平行線的性質(zhì)定理”.其中的證明過(guò)程也滲透著類(lèi)比推理和演繹推理思想.

諸如圓周角的性質(zhì)定理的證明.

比如在證明圓周角定理時(shí)，我們將圓周角的兩邊所處的位置分為三種情況：角的一邊落在直徑上；角的兩邊在某一直徑的兩側(cè)；角的兩邊在某一直徑的同側(cè)，如下表所示.分別對(duì)這三種情況進(jìn)行證明，最后歸納出“圓周角定理對(duì)任意圓周角都成立”的結(jié)論.

諸如四邊形的分類(lèi)問(wèn)題.(來(lái)源于顧泠沅《數(shù)學(xué)思想方法》)

以下分類(lèi)雖然不是一個(gè)嚴(yán)格的科學(xué)分類(lèi)，如四邊形中除了平行四邊形、梯形外，還有既非平行四邊形亦非梯形的一般四邊形，但是，它確實(shí)從紛繁復(fù)雜的四邊形中梳理出一個(gè)有序的結(jié)構(gòu)，有利于更好地記憶與四邊形相關(guān)的知識(shí)。

①由概念定義引起的討論如下二例所示：

諸如一元二次方程根的判別式相關(guān)的內(nèi)容.

諸如與“去絕對(duì)值”相關(guān)的代數(shù)計(jì)算的相關(guān)內(nèi)容.

②由“問(wèn)題中含有字母參數(shù)引起的討論”如下例所示：諸如解含字母系數(shù)的方程：

在很多復(fù)雜情境中，不單單涉及一種類(lèi)型的分類(lèi)討論問(wèn)題，此時(shí)又該如何選擇呢？

問(wèn)題1：直角三角形+相似三角形的存在性問(wèn)題

如上例所示，本題涉及了二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)背景下與直角三角形、相似三角形存在性相關(guān)的問(wèn)題，此時(shí)的分類(lèi)討論遇到了一個(gè)難點(diǎn)：到底是先討論直角三角形的存在性還是相似三角形的存在性？對(duì)于本題而言，先確定了直角三角形，即確定了點(diǎn)P的位置，才能對(duì)于相似三角形的存在性進(jìn)行討論。

所以先討論∠PCD或∠PDC=90°的情況，再討論相似的情況，此時(shí)構(gòu)造一線三直角模型，再利用圖中的兩組相似實(shí)現(xiàn)線段比的轉(zhuǎn)化：

情況1：∠DCP=90°的情況

情況2：∠CDP=90°的情況

問(wèn)題2：點(diǎn)在線段及其延長(zhǎng)線+三角形的存在性問(wèn)題

在壓軸題中，我們常常會(huì)遇到“點(diǎn)在線段或其延長(zhǎng)線(折線)上的分類(lèi)討論問(wèn)題”，此類(lèi)問(wèn)題的典型特征是，如“點(diǎn)P在直線AB上”或“點(diǎn)P在射線AB上”或“當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上”或“點(diǎn)P落在線段AB或線段BC上”，當(dāng)出現(xiàn)此類(lèi)關(guān)鍵詞時(shí)，要有“分類(lèi)討論”的意識(shí)，根據(jù)點(diǎn)的不同位置畫(huà)出不同的圖形，再進(jìn)行相應(yīng)的幾何證明或幾何計(jì)算。

兩張圖形雖然不同，但是邊與邊、角與角之間的關(guān)系往往沒(méi)有改變，改變的是線段之間的和差關(guān)系。從特殊到一般，這也是我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、研究問(wèn)題的一種常用方法。

對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，我們先對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行分類(lèi)，然后再進(jìn)行進(jìn)一步的分類(lèi)討論和計(jì)算，這樣在邏輯思考順序和計(jì)算上更加完善。