 DECEMBER 方法概述 
除了上述利用勾股定理的方法外，還可以通過尋找(構(gòu)造)等腰三角形的方式，尋找相等的線段，再借助勾股定理，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。其原理就是：翻折(角平分線)+矩形(平行)，必有等腰三角形。 如圖下圖所示，是一道典型的利用圖中等腰三角形，達(dá)到相等線段轉(zhuǎn)化，繼而利用直角三角形，借助勾股定理解決的一道典型例題。 根據(jù)翻折，可得AD=DE=4，在Rt△DEC中，利用勾股定理，即可求出CE的長(zhǎng)，從而求出BE的長(zhǎng)。
  變式問題1:點(diǎn)在線段及其延長(zhǎng)線上的分類討論 
解法分析：本題是矩形背景下的翻折問題。本題的注意點(diǎn)在與點(diǎn)P是射線BC上的動(dòng)點(diǎn)，因此需要對(duì)點(diǎn)P的位置分類討論。
根據(jù)題意，畫出圖形后，通過觀察，可得不論點(diǎn)P在線段或其延長(zhǎng)線上，此時(shí)△AMP始終為等腰三角形，由于圖中沒有“現(xiàn)成”的直角三角形，因此需要過點(diǎn)M作BC的垂線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度，繼而求出BP的長(zhǎng)。
如上圖，就是點(diǎn)E在線段BC或其延長(zhǎng)線的兩種情況。 由于本題是求∠DAB1的正弦值，因此需要構(gòu)造直角三角形。當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，延長(zhǎng)AB1交CD于點(diǎn)G；當(dāng)點(diǎn)E在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)AD交B1E于點(diǎn)H。此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)△AGF和△AHE都是等腰三角形。通過利用圖中的A/X型基本圖形，求出CF的長(zhǎng)度。再分別在Rt△ADG和Rt△AB1H中利用勾股定理即可求出DG和B1H的長(zhǎng)度，從而求得正弦值。
變式2：通過延長(zhǎng)構(gòu)造等腰三角形
解法分析：本題是正方形背景下的翻折問題。與變式1和變式2不同，變式3種沒有“現(xiàn)成”的等腰三角形，此時(shí)需要聯(lián)想構(gòu)造等腰三角形。觀察到BE是∠ABF的角平分線，因此可以聯(lián)想延長(zhǎng)BE、BF構(gòu)造等腰三角形。本題是要求CG的長(zhǎng)度，因此在延長(zhǎng)BF交CD于P后，恰好構(gòu)造了一個(gè)CP-AB-X型，只需要求出CP的長(zhǎng)度，即可求出CG:AG，從而求出CG的長(zhǎng)度。
解法分析：本題是矩形背景下的翻折問題。和變式3的解題思路如出一轍，通過延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)P后，構(gòu)造等腰三角形，再在Rt△ABG中利用勾股定理，即可求出CG的長(zhǎng)度。 |
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