2023湖北武漢23

解法分析(1)

第(1)問(wèn)改編自教材習(xí)題(人教版八下復(fù)習(xí)題18第14題).改編前后條件與結(jié)論互換，但證明思路仍有相通之處，下面簡(jiǎn)單介紹幾種證明方法.

方法1：截長(zhǎng)-全等三角形

在AB上截取AM=EC，連接EM.
易證：△MBE是等腰直角三角形.
根據(jù)SAS證明：△MAE?△CEF，
進(jìn)而證明：∠ECF=∠AME=135°，
進(jìn)而求得：∠GCF=45°.

方法2：補(bǔ)短-全等三角形

延長(zhǎng)EC至點(diǎn)M，使CM=BE，連接FM.
根據(jù)SAS證明：△BAE?△MEF，
進(jìn)而證明：△FMC是等腰直角三角形，
進(jìn)而求得：∠GCF=45°.

方法3：一線(xiàn)三直角-全等三角形

作FM⊥直線(xiàn)BC于點(diǎn)M.
根據(jù)AAS證明：△ABE?△EMF，
進(jìn)而證明：△FMC是等腰直角三角形，
進(jìn)而求得：∠GCF=45°.

方法4：手拉手-相似三角形

連接AC.
易證：△ABC和△AEF是手拉手的等腰直角三角形.
根據(jù)“夾角相等，夾邊成比例的兩個(gè)三角形相似”證明：
△ABE～△ACF，
進(jìn)而證明：∠ACF=90°，
進(jìn)而求得：∠GCF=45°.

方法5：手拉手-全等三角形

連接AC，過(guò)點(diǎn)E作BC的垂線(xiàn)，交AC于點(diǎn)M.
易證：△MEC和△AEF是手拉手的等腰直角三角形.
根據(jù)SAS證明：△AEM?△FEC，
進(jìn)而證明：∠ECF=∠EMA=135°，
進(jìn)而求得：∠GCF=45°.

方法6：定弦定角-隱圓

連接AC. 易證：∠ACE=∠AFE=45°，
∴點(diǎn)A、E、C、F四點(diǎn)共圓，
∴∠ACF=∠AEF=90°.
進(jìn)而求得：∠GCF=45°.