其實(shí)，只要看過(guò)這篇，往后這類題就是你的得分點(diǎn)了！

一、抽屜原理的表述

1.將多于n個(gè)蘋果任意放到n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜中的蘋果個(gè)數(shù)不少于2個(gè)。（最常用到）

2.將多于m*n個(gè)蘋果任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的蘋果個(gè)數(shù)不少于m+1。（1理解了，這個(gè)就不難）

3.將無(wú)窮多個(gè)蘋果任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中有無(wú)窮多個(gè)蘋果。（考試中不太會(huì)用到）

我們對(duì)原理1稍作分析：

有了1打底，原理2就好理解了。

通常，使用抽屜原理的題目，題中都會(huì)出現(xiàn)“至少……”“總是……”的表示，這種表述換句話說(shuō)，就是“即便是出現(xiàn)最不利的情況，也能夠滿足……”。比如，“已知參賽者中任何10人里都至少有一名男生”，就等于“我已經(jīng)盡我最大努力選女生了，還是不可避免的要選一名男生”；“至少任意取出多少個(gè)數(shù)，才能保證有2個(gè)數(shù)的和是52”，就等于“我盡量避免每次取出的數(shù)和已取的數(shù)相加等于52，直到取到第多少個(gè)數(shù)時(shí)，這種情況就無(wú)可避免了”。

我們先帶著“找最不利情況”的思路看幾道題。

例1. 30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，已知參賽者中任何10人里都至少有一名男生，那么男生至少有（）人。

分析：“至少有1名男生”，最不利的情況是只有1名男生，那么對(duì)應(yīng)的女生人數(shù)是9，男生人數(shù)至少有30-（10-1）=21人。

例2. 一副撲克牌有54張，至少抽取（）張撲克牌，方能使其中至少有兩張牌有相同點(diǎn)數(shù)。（大小鬼不相同）

分析：按照最不利的情況設(shè)想，假設(shè)每次取出的撲克牌點(diǎn)數(shù)都不相同，最多一共可以取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，J,Q,K,小鬼，大鬼，15張不一樣點(diǎn)數(shù)的牌，那么當(dāng)取第16張時(shí)，一定會(huì)與之前的某一張點(diǎn)數(shù)相同。答案16。

這兩道題的最不利情況相對(duì)簡(jiǎn)單，我們?cè)倏纯聪旅孢@道題。

例3. 新年晚會(huì)上，老師讓每位同學(xué)從一個(gè)裝有許多玻璃球的口袋中摸2個(gè)球，這些球給人的手感相同，只有紅、黃、白、藍(lán)、綠之分，結(jié)果發(fā)現(xiàn)總有2個(gè)人取的球顏色相同。由此可知，參加取球的至少有（）人。

分析：這道題我們的研究對(duì)象是球的顏色的組合。最不利情況是，前面大家取的球顏色各不相同，摸出2個(gè)球，兩球顏色組合一共有15種，（紅、紅），（黃、黃），（白、白），（藍(lán)、藍(lán)），（綠、綠），（紅、黃），（紅、白），（紅、藍(lán)），（紅、綠），（黃、白），（黃、藍(lán)），（黃、綠），（白、藍(lán)），（白、綠），（藍(lán)、綠）共15種，前面15個(gè)人各摸了一種情況，第16個(gè)人摸的時(shí)候，必然會(huì)和前面的15個(gè)中的一個(gè)情況是一樣的。所以參加取球的至少有16個(gè)人。填16。

例4. 現(xiàn)在有64個(gè)乒乓球，18個(gè)乒乓球盒，每個(gè)盒子最多可以放6個(gè)乒乓球（最少也要放1個(gè)乒乓球），至少有（）個(gè)乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目相同。

分析：這道題的研究對(duì)象是乒乓球盒子里的乒乓球數(shù)目。按照最不利原則，前面1-6個(gè)乒乓球盒子里的乒乓球個(gè)數(shù)互不相同，最少1個(gè)，最多6個(gè)，一共裝了21個(gè)球，第7-12個(gè)盒子的情況也一樣，也分別為1-6個(gè)球。第13-18個(gè)盒子也一樣。這樣撞完以后，一共裝了63個(gè)球，此時(shí)有3個(gè)盒子的乒乓球數(shù)目是一樣多的，而第64個(gè)球算上以后，則應(yīng)該有4個(gè)盒子裝的乒乓球數(shù)量一樣多。填4。

這道題看上去用到了原理2，但實(shí)際上，只要我們按照最基本的“最不利情況思路”來(lái)分析，一樣能很快得到答案。所以，原理很抽象，遇到具體題目時(shí)，最深刻最便捷的還是抽屜原理本身帶給我們的思考問(wèn)題的思路。

對(duì)于更加復(fù)雜的題，我們就需要分析什么是“抽屜”，什么是“蘋果”，然后再來(lái)看取或者放蘋果的時(shí)候，那個(gè)n+1的情況是怎么發(fā)生的。

為了便于分析，我們可以把常見(jiàn)的題目分成六類。

（1）找最不利情況

（2）排列組合問(wèn)題

（3）數(shù)列問(wèn)題

（4）間隔問(wèn)題

（5）面積問(wèn)題

（6）表格問(wèn)題

其中，找最不利情況的例題我們已經(jīng)提到了，排列組合問(wèn)題也初步涉及，我們?cè)賮?lái)看一道。

（2）排列組合問(wèn)題

例5. 在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他六個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出2個(gè)球，試說(shuō)明，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色完全一樣。

分析：對(duì)照抽屜原理概念1的表述，“總有兩個(gè)小朋友”對(duì)應(yīng)的是“蘋果”，“兩個(gè)球的顏色的組合”是抽屜。

兩個(gè)球的顏色組合一共有（紅、黃），（紅、藍(lán)），（黃、藍(lán)），（紅、紅），（黃、黃），（藍(lán)、藍(lán)）6種，相當(dāng)于一共有6個(gè)“抽屜”，7個(gè)小朋友相關(guān)于是7個(gè)“蘋果”，7個(gè)“蘋果”放在6個(gè)“抽屜”里，至少有1個(gè)“抽屜”里有不少于2個(gè)“蘋果”。也就是說(shuō)，至少有2個(gè)小朋友取出的球的顏色的組合是一樣的。

總結(jié)：首先是識(shí)別題目類型，排列組合類問(wèn)題最大的特點(diǎn)是題目中有“摸”、“涂色”之類字眼，可能性來(lái)自于人的操作。看清題，仔細(xì)列出所有的可能性，一般可能性都不會(huì)太復(fù)雜，枚舉就可以完成。

（3）數(shù)列問(wèn)題

例6. 從1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12中至多選出多少個(gè)數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個(gè)數(shù)都不是另一個(gè)數(shù)的2倍。

分析：把這12個(gè)數(shù)分成6個(gè)組：{1、2、4、8} ；{3、6、12} ；{5、10} ；{7}；{9}； {11}。每組中相鄰兩數(shù)都是2倍關(guān)系，不同組中沒(méi)有2倍關(guān)系。

選沒(méi)有2倍關(guān)系的數(shù)，第1組最多2個(gè)（1、4或2、8或1、8），第2組最多2個(gè)（3、12），第3組只有1個(gè)，第4、5、6組都可以取，一共2+2+1+1+1+1=8個(gè)。

這道題的“抽屜”和之前的都不太一樣，我們發(fā)現(xiàn)，不是每個(gè)“抽屜”里能取出的“蘋果”個(gè)數(shù)都是一樣的。也就是說(shuō)，所謂“抽屜”，就是為了讓我們能對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類，以便于按照最不利的情況來(lái)取“蘋果”。

例7. 從1到20這20個(gè)數(shù)中，任取11個(gè)不同的數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)其中一個(gè)是另一個(gè)數(shù)的倍數(shù)。

分析：對(duì)照抽屜原理的表述，“選出的數(shù)”對(duì)應(yīng)的是“蘋果”，“具有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)的組合”是“抽屜” 。把這20個(gè)數(shù)分成以下10組，看成10個(gè)抽屜：{1、2、4、8、16}；{3、6、12}； {5、10、20}；{7、14}；{9、18}；{11}；{13}；{15}；{17}；{19}

前5個(gè)抽屜中，任意兩個(gè)數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系。從這10個(gè)抽屜中任選11個(gè)數(shù)，必有一個(gè)抽屜中要取2個(gè)數(shù)，它們只能從前5個(gè)抽屜中取出，這兩個(gè)數(shù)就滿足題目要求。

例8. 從1、2、3、……、99、100這100個(gè)數(shù)中任意選出51個(gè)數(shù)。證明：（1）在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)互質(zhì)；（2）在這51個(gè)數(shù)中，一定有兩個(gè)數(shù)的差等于50；（3）在這51個(gè)數(shù)中，一定存在9個(gè)數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1。

證明（1）. 構(gòu)造互質(zhì)的數(shù)的組合（“51”提示，可以構(gòu)造50對(duì)），相鄰的數(shù)互質(zhì)。將這50組相鄰數(shù)作為50個(gè)抽屜，同一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。而現(xiàn)在取51個(gè)數(shù)，則必定有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜，于是這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。

證明（2）.構(gòu)造差等于50的數(shù)對(duì)，（1、51），（2、52），（3、53），（4、54），……，（50、100），正好50組。將這50組數(shù)作為50個(gè)抽屜，同一個(gè)抽屜內(nèi)的兩個(gè)數(shù)差等于50。而現(xiàn)在取51個(gè)數(shù)，則必定有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜，于是這兩個(gè)數(shù)相差50。

證明（3）將1-100按2的倍數(shù)、3的奇數(shù)倍數(shù)、既不是2又不是3的倍數(shù)的情況分組，有（2、4、6、8、……、98、100），（3、9、15、21、27、……、93、99），（5、7、11、13、17、19、23、……、95、97）這三組。第一、二、三組分別有50、17、33個(gè)元素。 最不利的情況下，51個(gè)數(shù)中有33個(gè)元素在第三組，那么剩下的18個(gè)數(shù)分到第一、二組內(nèi)，那么至少有9個(gè)數(shù)在同一組。所以這9個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為2或3或它們的倍數(shù)，顯然大于1。

例9. 有49個(gè)小孩，每人胸前有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼從1到49各不相同?，F(xiàn)在請(qǐng)你挑選若干個(gè)小孩，排成一個(gè)圓圈，使任何相鄰的兩個(gè)小孩的號(hào)碼數(shù)的乘積小于100，那么你最多能挑選出多少個(gè)孩子？

這道題應(yīng)該是本篇內(nèi)容中最難理解的一道，抽屜的構(gòu)造、選數(shù)的方式，都非常難理解，需要慢慢體會(huì)，也可以先跳過(guò)不看。

分析：將1-49中相乘小于100的兩個(gè)數(shù)，按被乘數(shù)分成9組，如下：

（1*2）、（1*3）、（1*4）、……、（1*49）

（2*3）、（1*4）、……、（2*49）

……

（8*9）、（8*10）、（8*11）、（8*12）

（9*10）、（9*11）

因?yàn)槊總€(gè)數(shù)只能與左右兩個(gè)數(shù)相乘，也就是每個(gè)數(shù)作為被乘數(shù)或乘數(shù)最多兩次，所以每一組中最多會(huì)有兩對(duì)數(shù)出現(xiàn)在圓圈中，最多可以取出18個(gè)數(shù)對(duì)，共18*2=36次，但是每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個(gè)數(shù)。

例如：（10*9）、（9*11）、（1*8）、（8*12）、（12*7）、（7*13）、（13*6）、（6*14）、（14*5）、（5*15）、（15*4）、（4*16）、（16*3）、（3*17）、（17*2）、（2*18）、（18*1）、（1*10）。共出現(xiàn)1-18號(hào)，共18個(gè)孩子。

若隨意選出19個(gè)孩子，那么共有19個(gè)號(hào)碼，由于每個(gè)號(hào)碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘，則會(huì)形成19個(gè)相乘的數(shù)對(duì)。

那么在9組中取出19個(gè)數(shù)時(shí)，有19=9*2+1，由抽屜原理可知，必有三個(gè)數(shù)對(duì)落入同一組中，這樣某個(gè)數(shù)字會(huì)在數(shù)對(duì)中出現(xiàn)三次（或三次以上），由分析知，這是不允許的，故最多挑出18個(gè)孩子。

例10. 從1、2、3、4、……、1988、1989這些自然數(shù)中，最多可以取多少個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4。

分析：構(gòu)造差等于4的數(shù)列

{1、5、9、……、1989}（498個(gè)數(shù)） {2、6、10、……、1986}（497個(gè)數(shù)）

{3、7、11、……、1984}（497個(gè)數(shù)） {4、8、12、……、1988}（497個(gè)數(shù)）

第1組中最多可以取249個(gè)數(shù)，第2組最多可以取249個(gè)數(shù)，第3組最多可以取249個(gè)數(shù)，第4組最多可以取249個(gè)數(shù)，一共可以取996個(gè)數(shù)。

在數(shù)列問(wèn)題部分，我們思考一個(gè)問(wèn)題：抽屜的構(gòu)造方式是唯一的嗎？

分析2： 每8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，最多只能取四個(gè)數(shù)，其中每?jī)蓚€(gè)數(shù)的差不等于4.

把1989個(gè)數(shù)依次每8個(gè)分成一組，最后5個(gè)數(shù)也成一組，即

{1，2，3，4，5，6，7，8} ；

{9，10，11，12，13，14，15，16；}

……

{1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984}

{1985，1986，1987，1988，1989}；

1989÷8 = 248……5

因此可以分成249組，每一組都取前4個(gè)數(shù)，這樣共取出數(shù)

249×4 = 996（個(gè)）

可以看出，“抽屜”的構(gòu)造方法不是唯一的。

總結(jié) ：數(shù)列問(wèn)題很好識(shí)別，題目一般會(huì)要求按照某種規(guī)則取數(shù)。

取數(shù)的方法不是唯一的，重點(diǎn)在于理解例題取數(shù)的基本思路。一般來(lái)說(shuō)，取數(shù)的方法和題目給的規(guī)則相關(guān)，要按照規(guī)則找出一種方法，能夠不交叉地覆蓋所有的數(shù)；同時(shí)，注意在這些自己設(shè)計(jì)的“抽屜”里取“蘋果”的時(shí)候，有時(shí)并不是一個(gè)“抽屜”只能取一個(gè)“蘋果” 。

例11. 試說(shuō)明在一條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹(shù)101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米。

分析：把這條小路分成每段1米長(zhǎng)，共100段每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把101棵樹(shù)看作是101個(gè)蘋果，于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果，即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹(shù)。那么，這兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米。

仔細(xì)思考，這段說(shuō)理夠嚴(yán)謹(jǐn)嗎？問(wèn)題出在哪里？題目中需要論證的是“距離不超過(guò)1米”，也就說(shuō)距離小于1米或等于1米，那么，這個(gè)“等于1米”的情況在我們構(gòu)造的“抽屜”中會(huì)出現(xiàn)嗎？間隔問(wèn)題的特殊之處在于，我們構(gòu)造的“抽屜”是個(gè)線段，需要對(duì)端點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解釋。

如果兩棵樹(shù)恰好都種在端點(diǎn)處，則恰好距離1米，反之，兩棵樹(shù)的距離必然小于1米。因此，至少有兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米（小于或等于1米）。

加上上面這一段，結(jié)論就更加清晰了。

例12. 在20米長(zhǎng)的水泥陽(yáng)臺(tái)上放12盆花，隨便怎樣擺放，請(qǐng)你說(shuō)明至少有兩盆花它們之間的距離小于2米。

分析：第1盆花放在一個(gè)端點(diǎn)上，第2盆花放在距第1盆花恰為2米處（這是兩盆花之間最近的距離）。第3盆花放在距離第2盆花的距離2米處，這樣每隔2米放1盆花，直到陽(yáng)臺(tái)的另一個(gè)盡頭，恰好放第11盆花?，F(xiàn)在考慮最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10個(gè)空檔內(nèi)了，這說(shuō)明必有兩盆花之間的距離小于2米。

總結(jié)：間隔問(wèn)題一般都比較容易，只要確定間隔就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的說(shuō)理完成。需要注意的是端點(diǎn)處的表述。如果題目給的結(jié)論包含了取到端點(diǎn)的情況，那就在具體說(shuō)明時(shí)針對(duì)這種特殊情況進(jìn)行描述，這樣可以使解答更加嚴(yán)謹(jǐn)。

（5）面積問(wèn)題

例13. 在邊長(zhǎng)為3米的正方形中，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米。

分析： 將大正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為1米的小正方形，則9個(gè)小正方形為“抽屜”，有：28÷9=3……1，則必有一個(gè)小正方形里（上）至少有3+1=4（個(gè)）點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰好落在這個(gè)小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，那么以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為1平方米。綜上所述，不論怎么放，必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米。

例14. 在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，求證：存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形的面積不超過(guò)0.125。

分析：用9個(gè)點(diǎn)四等分正方形，得到四個(gè)面積都為0.25的正方形，我們把四個(gè)面積為0.25的正方形看成4個(gè)抽屜，9個(gè)點(diǎn)看成蘋果，因此必有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)面積為0.25的正方形內(nèi)，如果這三點(diǎn)恰好是正方形的頂點(diǎn)，則三角形的面積為0.125，如果這三點(diǎn)在正方形內(nèi)部，則三角形的面積小于0.125，因此存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過(guò)0.125。

總結(jié)：面積問(wèn)題是間隔問(wèn)題的“升級(jí)版”，難點(diǎn)在于分割圖形。一般來(lái)說(shuō)，這類問(wèn)題通?？梢酝ㄟ^(guò)判斷總面積和部分面積之間的倍數(shù)關(guān)系來(lái)確定如何分割。

例如，在5-1中，正方形面積9平方米（邊長(zhǎng)3米），問(wèn)句里的面積是1平方米，那么考慮把正方形分成9÷1=9等份。同理可以分析5-2，需要注意的是正方形面積和三角形面積公式差0.5倍，這樣1÷0.125=8等份，這是三角形的份數(shù)，對(duì)應(yīng)的需要轉(zhuǎn)換為正方形，即4等份。

與間隔問(wèn)題類似，說(shuō)理時(shí)注意表述取頂點(diǎn)時(shí)的情況。

（7）表格填數(shù)問(wèn)題

例15. 在8*8的方格紙中，每個(gè)方格紙內(nèi)可以填上1-4四個(gè)自然數(shù)的任意一個(gè)，填滿后對(duì)每個(gè)2*2“田”字形內(nèi)的四個(gè)數(shù)字求和，在這些和中，相同的和至少有幾個(gè)？

分析：先計(jì)算出在8*8的方格中，共有2*2“田”字形：7*7=49個(gè)，在1-4中任取4個(gè)數(shù)（可以重復(fù)）的和可以是4-16中之一，共有13種可能，根據(jù)抽屜原理：49÷13=3……10，至少有3+1=4個(gè)“田”字形內(nèi)的數(shù)字和是相同的。

例16. 能否在10行10列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1,2,3這三個(gè)數(shù)之一，使得大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同？對(duì)你的結(jié)論加以證明。

分析：大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和最小是10，最大是30。因?yàn)閺?0到30之間只有21個(gè)互不相同的整數(shù)值，把這21個(gè)互不相同的數(shù)值看做21個(gè)“抽屜”，而10行、10列及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和共有22個(gè)整數(shù)值，這樣元素的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)，根據(jù)抽屜原理可知，至少有兩個(gè)和同屬于一個(gè)抽屜，故要使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同是不可能的。

總結(jié) ：表格問(wèn)題類似于排列組合問(wèn)題，只是“抽屜” 是由不同排列組合的數(shù)構(gòu)成的，重點(diǎn)是確定和的最小值和最大值，以及這個(gè)數(shù)列的公差，這樣就能知道一共有多少個(gè)抽屜。那么，表格按照各種規(guī)則求和（比如例題中的“田字求和”“行、列、對(duì)角線求和”）時(shí)對(duì)應(yīng)的和的個(gè)數(shù)，如果大于抽屜數(shù)，則必然有兩組相同。

抽屜原理是小學(xué)奧數(shù)、初中入學(xué)分班考、奧數(shù)競(jìng)賽等場(chǎng)合經(jīng)常會(huì)遇到的一類題型。整體上來(lái)說(shuō)，對(duì)于普通孩子，遇到這類題容易拉分?jǐn)?shù)，原因在于原理本身太抽象，應(yīng)用五花八門，考場(chǎng)思考時(shí)間有限，很多孩子選擇了放棄。

其實(shí)，只要看過(guò)這篇，往后這類題就是你的得分點(diǎn)了！

接著上篇，繼續(xù)分析另三類常見(jiàn)題型。

（4）、間隔問(wèn)題

例11. 試說(shuō)明在一條長(zhǎng)100米的小路一旁植樹(shù)101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米。

分析：把這條小路分成每段1米長(zhǎng)，共100段每段看作是一個(gè)抽屜，共100個(gè)抽屜，把101棵樹(shù)看作是101個(gè)蘋果，于是101個(gè)蘋果放入100個(gè)抽屜中，至少有一個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果，即至少有一段有兩棵或兩棵以上的樹(shù)。那么，這兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米。

仔細(xì)思考，這段說(shuō)理夠嚴(yán)謹(jǐn)嗎？問(wèn)題出在哪里？題目中需要論證的是“距離不超過(guò)1米”，也就說(shuō)距離小于1米或等于1米，那么，這個(gè)“等于1米”的情況在我們構(gòu)造的“抽屜”中會(huì)出現(xiàn)嗎？間隔問(wèn)題的特殊之處在于，我們構(gòu)造的“抽屜”是個(gè)線段，需要對(duì)端點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行解釋。

如果兩棵樹(shù)恰好都種在端點(diǎn)處，則恰好距離1米，反之，兩棵樹(shù)的距離必然小于1米。因此，至少有兩棵樹(shù)的距離不超過(guò)1米（小于或等于1米）。

加上上面這一段，結(jié)論就更加清晰了。

例12. 在20米長(zhǎng)的水泥陽(yáng)臺(tái)上放12盆花，隨便怎樣擺放，請(qǐng)你說(shuō)明至少有兩盆花它們之間的距離小于2米。

分析：第1盆花放在一個(gè)端點(diǎn)上，第2盆花放在距第1盆花恰為2米處（這是兩盆花之間最近的距離）。第3盆花放在距離第2盆花的距離2米處，這樣每隔2米放1盆花，直到陽(yáng)臺(tái)的另一個(gè)盡頭，恰好放第11盆花?，F(xiàn)在考慮最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10個(gè)空檔內(nèi)了，這說(shuō)明必有兩盆花之間的距離小于2米。

總結(jié)：間隔問(wèn)題一般都比較容易，只要確定間隔就可以通過(guò)簡(jiǎn)單的說(shuō)理完成。需要注意的是端點(diǎn)處的表述。如果題目給的結(jié)論包含了取到端點(diǎn)的情況，那就在具體說(shuō)明時(shí)針對(duì)這種特殊情況進(jìn)行描述，這樣可以使解答更加嚴(yán)謹(jǐn)。

（5）面積問(wèn)題

例13. 在邊長(zhǎng)為3米的正方形中，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米。

分析： 將大正方形分成9個(gè)邊長(zhǎng)為1米的小正方形，則9個(gè)小正方形為“抽屜”，有：28÷9=3……1，則必有一個(gè)小正方形里（上）至少有3+1=4（個(gè)）點(diǎn)，若這四個(gè)點(diǎn)恰好落在這個(gè)小正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，那么以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為1平方米。綜上所述，不論怎么放，必定有四個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米。

例14. 在邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)任意放入九個(gè)點(diǎn)，求證：存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形的面積不超過(guò)0.125。

分析：用9個(gè)點(diǎn)四等分正方形，得到四個(gè)面積都為0.25的正方形，我們把四個(gè)面積為0.25的正方形看成4個(gè)抽屜，9個(gè)點(diǎn)看成蘋果，因此必有三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)面積為0.25的正方形內(nèi)，如果這三點(diǎn)恰好是正方形的頂點(diǎn)，則三角形的面積為0.125，如果這三點(diǎn)在正方形內(nèi)部，則三角形的面積小于0.125，因此存在三個(gè)點(diǎn)，以這三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積不超過(guò)0.125。

總結(jié)：面積問(wèn)題是間隔問(wèn)題的“升級(jí)版”，難點(diǎn)在于分割圖形。一般來(lái)說(shuō)，這類問(wèn)題通?？梢酝ㄟ^(guò)判斷總面積和部分面積之間的倍數(shù)關(guān)系來(lái)確定如何分割。

例如，在5-1中，正方形面積9平方米（邊長(zhǎng)3米），問(wèn)句里的面積是1平方米，那么考慮把正方形分成9÷1=9等份。同理可以分析5-2，需要注意的是正方形面積和三角形面積公式差0.5倍，這樣1÷0.125=8等份，這是三角形的份數(shù)，對(duì)應(yīng)的需要轉(zhuǎn)換為正方形，即4等份。

與間隔問(wèn)題類似，說(shuō)理時(shí)注意表述取頂點(diǎn)時(shí)的情況。

（7）表格填數(shù)問(wèn)題

例15. 在8*8的方格紙中，每個(gè)方格紙內(nèi)可以填上1-4四個(gè)自然數(shù)的任意一個(gè)，填滿后對(duì)每個(gè)2*2“田”字形內(nèi)的四個(gè)數(shù)字求和，在這些和中，相同的和至少有幾個(gè)？

分析：先計(jì)算出在8*8的方格中，共有2*2“田”字形：7*7=49個(gè)，在1-4中任取4個(gè)數(shù)（可以重復(fù)）的和可以是4-16中之一，共有13種可能，根據(jù)抽屜原理：49÷13=3……10，至少有3+1=4個(gè)“田”字形內(nèi)的數(shù)字和是相同的。

例16. 能否在10行10列的方格表的每個(gè)空格中分別填上1,2,3這三個(gè)數(shù)之一，使得大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同？對(duì)你的結(jié)論加以證明。

分析：大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和最小是10，最大是30。因?yàn)閺?0到30之間只有21個(gè)互不相同的整數(shù)值，把這21個(gè)互不相同的數(shù)值看做21個(gè)“抽屜”，而10行、10列及兩條對(duì)角線上的數(shù)字和共有22個(gè)整數(shù)值，這樣元素的個(gè)數(shù)比抽屜的個(gè)數(shù)多1個(gè)，根據(jù)抽屜原理可知，至少有兩個(gè)和同屬于一個(gè)抽屜，故要使大正方形的每行、每列及對(duì)角線上的10個(gè)數(shù)字之和互不相同是不可能的。

總結(jié) ：表格問(wèn)題類似于排列組合問(wèn)題，只是“抽屜” 是由不同排列組合的數(shù)構(gòu)成的，重點(diǎn)是確定和的最小值和最大值，以及這個(gè)數(shù)列的公差，這樣就能知道一共有多少個(gè)抽屜。那么，表格按照各種規(guī)則求和（比如例題中的“田字求和”“行、列、對(duì)角線求和”）時(shí)對(duì)應(yīng)的和的個(gè)數(shù)，如果大于抽屜數(shù)，則必然有兩組相同。