數(shù)學(xué)的世界一方面獨(dú)立于現(xiàn)實(shí)世界，另一方面又與現(xiàn)實(shí)世界有千絲萬縷的聯(lián)系。當(dāng)我們游歷完數(shù)學(xué)世界，再重新回到現(xiàn)實(shí)世界中時，對現(xiàn)實(shí)世界就會有很多新的認(rèn)識。事實(shí)上，有些數(shù)學(xué)語言已經(jīng)完全融入到我們的生活中了；數(shù)學(xué)素養(yǎng)越高的人，越會自然地使用更多的數(shù)學(xué)語言來描述事物和表達(dá)觀點(diǎn)。從這個意義上說，數(shù)學(xué)為我們觀察和理解現(xiàn)實(shí)世界提供了一個獨(dú)特的窗口。

不過，大眾對數(shù)學(xué)作為一種素養(yǎng)仍然缺乏認(rèn)知，而只是把她看作一類知識、學(xué)校的一門必修課程。數(shù)學(xué)在學(xué)校的課程體系中的重要地位，不僅沒有提高大眾對數(shù)學(xué)的認(rèn)知水平，反倒引發(fā)了“唯分?jǐn)?shù)論”的逆潮，給數(shù)學(xué)教育的推行制造了更大的障礙。

大眾對數(shù)學(xué)教育的認(rèn)知主要來源于數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是學(xué)校的教學(xué)活動。在他們看來，數(shù)學(xué)教學(xué)就是具體化的數(shù)學(xué)教育，所以數(shù)學(xué)教學(xué)是什么樣子，數(shù)學(xué)教育就是什么樣子。

確實(shí)，數(shù)學(xué)教育在大多數(shù)時候都是通過各種形式的數(shù)學(xué)教學(xué)活動來實(shí)現(xiàn)的。然而，并非所有的教學(xué)活動都具備教育功能，有些教學(xué)活動甚至是反教育的。譬如治病要吃藥，但不等于吃藥就是治病，亂吃藥甚至還會送命。

事實(shí)上，當(dāng)下有太多的數(shù)學(xué)教學(xué)就是在“亂吃藥”，不僅沒有實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的目的，反而增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)的誤解和反感。

“亂吃藥”的一個典型例子就是發(fā)明大量的解題口訣，讓學(xué)生通過背口訣拿（高）分，硬生生把一個注重思考問題的學(xué)科教成了“背多分”的科目。

錯誤的教學(xué)活動極大地誤導(dǎo)了大眾對數(shù)學(xué)教育的認(rèn)知。大多數(shù)學(xué)生學(xué)的其實(shí)都是“偽數(shù)學(xué)”，可謂“李逵不見了，李鬼滿地跑”。我下面要討論的就是兩個流毒甚廣的認(rèn)識誤區(qū)。

誤區(qū)一：計算要算得又快又準(zhǔn)。

不得不說，這是很有中國特色的認(rèn)識誤區(qū)。“算得又快又準(zhǔn)”常常作為我們的早期數(shù)學(xué)教育優(yōu)于其他國家的一個重要證據(jù)被反復(fù)提及，真是貼金貼到屁股上了。“人肉計算機(jī)”或許可以作為實(shí)用技術(shù)或是表演項(xiàng)目拿出來炫耀，卻不屬于數(shù)學(xué)教育的范疇。

四則運(yùn)算是小學(xué)階段數(shù)學(xué)課程的一個重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)習(xí)目標(biāo)是掌握這四種基本運(yùn)算的操作方法和應(yīng)用。計算的準(zhǔn)確率和計算速度是檢驗(yàn)前一個學(xué)習(xí)目標(biāo)的便利手段，因?yàn)槿绻麤]有掌握正確的操作方法，就不可能達(dá)到很高的準(zhǔn)確率，而計算速度快則說明對操作流程的運(yùn)用得心應(yīng)手。

“算得又快又準(zhǔn)”確實(shí)是很完美的結(jié)果，完美得讓人挑不出一點(diǎn)毛病。然而正因?yàn)橥昝溃囟ㄊ遣贿m合作為普遍標(biāo)準(zhǔn)的——完美的要求從來都只是口號的素材，譬如“五講四美三熱愛”，“毫不利己專門利人”，等等。

事實(shí)上，這個要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)目標(biāo)，因?yàn)榧幢銣?zhǔn)確地理解了操作方法，也不等于在具體的場景下能夠達(dá)到很高的準(zhǔn)確率，至于速度要求更是憑空給學(xué)生增加了好幾級的難度。

當(dāng)然，我反對的是明顯超出學(xué)習(xí)目標(biāo)的準(zhǔn)確度和速度標(biāo)準(zhǔn)，而不是徹底否定這兩個標(biāo)準(zhǔn)。如果不太復(fù)雜的計算題也達(dá)不到一半的準(zhǔn)確率，或者一個運(yùn)算要做好幾分鐘，這樣的表現(xiàn)足以說明學(xué)生對操作方法的理解存在問題。

為什么小學(xué)們都熱衷于追求很高的準(zhǔn)確率和計算速度？因?yàn)閹缀跛械臄?shù)學(xué)題都涉及計算，一道原本懂得做的題目，如果其中一個計算步驟出錯，就會導(dǎo)致最后的答案錯誤。從某種程度上來說，計算是解題鏈條中最不能短的那塊“板”，所以只要可以加得長一點(diǎn)，老師們就總希望它更長。

為了降低數(shù)學(xué)解題對計算能力的依賴性，英美等很多國家的學(xué)校允許在限定范圍的題目中使用計算器。我認(rèn)為這是一個很好的解決方案，只是需要防范走向另一個極端，即計算器的濫用。

“算得又快又準(zhǔn)”這個認(rèn)識誤區(qū)，從根本上是源于不了解素養(yǎng)和技能的區(qū)別。簡單地說，素養(yǎng)就是對事物的認(rèn)知和理解，而技能則是實(shí)際操作的能力。如果以足球來打比方，前者近似地對應(yīng)足球迷，而后者則近似地對應(yīng)運(yùn)動員。要求大多數(shù)人都能上場踢球，不僅難以實(shí)現(xiàn)而且也完全不必要；讓大多數(shù)人都能欣賞和討論足球才是正確的方向，而且是可行性很高的目標(biāo)。

教育是關(guān)于素養(yǎng)而不是技能水平的活動，是熏陶和浸潤的過程。而技能水平的提升是一個培訓(xùn)的過程，并且通常與選拔相關(guān)聯(lián)。

不過，現(xiàn)代教育由于具有一定程度的強(qiáng)制性，因而就不再是純粹的素養(yǎng)培育，而是與技能培訓(xùn)形成一定的交疊。但當(dāng)我們把這種交疊任意擴(kuò)大，乃至于把教育和培訓(xùn)混為一談時，就可能完全摧毀了教育的功能，制造出一大批“工具人”。事實(shí)上，以選拔為導(dǎo)向的教育體系往往會導(dǎo)致這樣的結(jié)果。

在四則運(yùn)算中，多位數(shù)乘除法是復(fù)雜度最高的情形。多位數(shù)乘除法的計算過程更多地是依靠一個環(huán)環(huán)相扣的操作流程來實(shí)現(xiàn)，而不是對運(yùn)算本身的理解。事實(shí)上，所有關(guān)于多位數(shù)乘除法的算法^[注]都是以解決計算的技術(shù)性困難為目標(biāo)的。因此，學(xué)生提高多位數(shù)乘除法的計算準(zhǔn)確率和熟練度，對他們理解乘除法的意義和性質(zhì)幾乎沒有什么幫助。另一方面，多位數(shù)乘除法的操作流程非常復(fù)雜，他們往往需要花費(fèi)大量的精力去練習(xí)。最終的結(jié)果是，大多數(shù)學(xué)生都被這項(xiàng)“唯手熟爾”的任務(wù)折磨得精疲力盡。

【注】多位數(shù)乘除法的算法形式并不唯一，在不同國家有很多個版本。例如，在《數(shù)學(xué)的驚奇：意想不到的圖形和數(shù)字》一書中，就列舉了美國、德國、瑞典、俄羅斯等國的算法。這些算法的具體形式各不相同。如果加上歷史上出現(xiàn)過的算法，形式就更多了。古代的算法流程通常更繁瑣，更不容易理解。

當(dāng)我們?yōu)閷W(xué)生的“人肉計算”能力而洋洋自得的時候，請不要忘記，如果我們已經(jīng)偏離了正確的方向，越努力前進(jìn)，犯的錯誤就越大。

誤區(qū)二：學(xué)數(shù)學(xué)就是不斷地解題。

我猜想，在大多數(shù)人的夢里，數(shù)學(xué)的形象很可能是如巨浪一般撲面而來的數(shù)學(xué)題。每個主科的學(xué)習(xí)都需要做題，為什么數(shù)學(xué)題就會給人一種“題?！钡母杏X呢？

首先，數(shù)學(xué)的題量確實(shí)明顯大于其他科目。即使在同樣的時間段內(nèi)（比如一個學(xué)期）作比較，數(shù)學(xué)題也比其他科目的題目多。加上數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間長，總量就更龐大了。相對而言，在“密度”上較為接近數(shù)學(xué)題的是物理題，但物理課的學(xué)習(xí)時間還不到數(shù)學(xué)課的一半，而且有相當(dāng)比例的學(xué)生不讀高中，物理課的學(xué)習(xí)時間就更是大大縮短了。

其次，數(shù)學(xué)題的變化非常豐富。其他科目的題目通常都是圍繞特定的知識點(diǎn)提問，譬如對某個概念的理解，兩個對象之間的關(guān)系，等等。提問的方式比較固定，而且答案也基本上是“標(biāo)準(zhǔn)”的。因此，做題只是相當(dāng)于把學(xué)過的知識點(diǎn)重新回顧一遍。物理和化學(xué)有些題目要求解釋生活現(xiàn)象中的物理和化學(xué)原理，表面上看需要一定的分析能力，但大多數(shù)只要多背背答案就可以應(yīng)付。

數(shù)學(xué)的很多題目卻不是“對知識點(diǎn)提問”，而是要運(yùn)用知識點(diǎn)（例如某個對象的性質(zhì)或某個計算公式）去解決問題。題目中如果有一個條件不一樣，解法就可能完全不同。因此，僅僅記住知識點(diǎn)對解題幾乎沒有什么作用。

例如，平行四邊形的基本性質(zhì)是“對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)”（最后一個性質(zhì)可以利用第一個性質(zhì)推出）。如果一道幾何題的圖形中包含平行四邊形，怎樣利用這些性質(zhì)來解答題目？顯然，把上面幾句話念上一百遍也不能把題目做出來。

數(shù)學(xué)和其他科目的題目之所以有顯著不同的特點(diǎn)，是因?yàn)榭颇康奶匦圆灰粯印?strong style="outline: 0px;;">其他科目在本質(zhì)上是“知識型”科目，關(guān)注的是學(xué)生是否了解在設(shè)定范圍內(nèi)的知識內(nèi)容；數(shù)學(xué)則屬于“分析型”科目，注重的是建立不同的知識點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)性，并且以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿媮砝斫膺@些關(guān)聯(lián)性。

當(dāng)然，“知識型”科目并不全是知識性內(nèi)容，也會涉及對知識內(nèi)容的解釋和分析，但后者不是學(xué)習(xí)重點(diǎn)，而且對解析能力的要求不高；同樣地，數(shù)學(xué)也有知識性內(nèi)容，但它們占的比重很小，更多地是作為鍛煉分析推理的基礎(chǔ)。

“知識型”科目很容易得到大眾的認(rèn)可，因?yàn)樗鼈冏屓烁杏X不斷在“漲知識”，學(xué)習(xí)效果立竿見影。而學(xué)數(shù)學(xué)大部分時間都在“因?yàn)樗浴?，折騰半天好像也沒懂多少東西，能拿得出手的大概也就只有加減乘除算得快了。

這種對比反差很像武術(shù)中的外功和內(nèi)功。前者刀槍棍棒和各種拳法套路，熱鬧又好看；后者一天到晚好像就是在發(fā)呆，枯燥而無味。

數(shù)學(xué)練的“內(nèi)功”就是分析推理能力和邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，它們都是底層的基本素養(yǎng)。不得不說，這些素養(yǎng)在全世界范圍內(nèi)都嚴(yán)重缺失，所以各種詭辯和謬論才得以肆意橫行。

很多人誤認(rèn)為學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是解題，一方面是被表象迷惑了，因?yàn)榻忸}確實(shí)一直貫穿在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中；另一方面是想當(dāng)然地把數(shù)學(xué)和其他科目等量齊觀，按“知識型”科目來理解。這兩方面的原因歸根結(jié)底都是沒有理解數(shù)學(xué)這個學(xué)科的特點(diǎn)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義。

如前所述，數(shù)學(xué)這個科目的學(xué)習(xí)目標(biāo)是分析推理能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿?。不同的?shù)學(xué)題被設(shè)計出來，都是為了測試學(xué)生的這些能力可以經(jīng)受多大的考驗(yàn)。因此，只有在解題過程中磨練和提高這些能力，才是有效的解題。

現(xiàn)實(shí)的情況是，絕大多數(shù)的解題都是無效的——題目做完了，能力卻沒有提高。造成這種狀況的原因比較復(fù)雜，在這里暫且不展開討論。

請注意，解題是否有效與答案的對錯無關(guān)。答案正確并不意味著是有效的解題，而答案錯誤也可以是有效的解題——甚至效果更強(qiáng)。只要在解題的過程中有獨(dú)立的思考和清晰的思路，就是有效的解題。錯誤的解答為我們提供了一個很好的機(jī)會（有時候還是可遇不可求的），審視自己的分析模式和推理過程存在什么漏洞。

為什么我們要旗幟鮮明地反對題海戰(zhàn)術(shù)和解題套路？因?yàn)樗鼈兣c有效解題的目標(biāo)是完全相悖的。

題海戰(zhàn)術(shù)的宗旨是接觸盡可能多的題目，形成類似于“肌肉記憶”的效果。這很明顯是一種“（考試）提分”技巧，而不是以提高能力為目標(biāo)。有效解題的的核心是“重質(zhì)不重量”，充分挖掘一道題的解答方法引發(fā)的思考和啟發(fā)。對于已經(jīng)充分理解了的性質(zhì)、關(guān)聯(lián)性、處理技巧等等，無需反復(fù)做相關(guān)的題目。

有效解題的最高境界是“能不解題就不解題”——讀完題后如果判定沒必要做就直接跳過。另一種等價的表達(dá)是，“只做能引發(fā)我思考的題目”。著名數(shù)學(xué)家華羅庚對于讀書方法也表達(dá)過類似的觀點(diǎn)，即只讀作者的思路與他的猜測不一致的書。這種讀書方法不僅能把有限的時間用在讀最“有用”的書上，而且可以避免形成“盡信書”的習(xí)慣。

解題套路有很大的迷惑性，因?yàn)閺谋砻婵磥?，它們似乎是解題思路的歸納總結(jié)。大多數(shù)老師都熱衷于傳授解題套路，學(xué)生也樂于接受這些套路，覺得它們用起來省時省力，卻不知這些省掉的“時”和“力”才是最不應(yīng)該省的，因?yàn)樗鼈冋怯行Ы忸}的那個“效”。

更嚴(yán)重的問題是，解題套路就像毒癮，一旦沾上了就會越來越依賴它，越來越抗拒獨(dú)立思考。如果試圖擺脫它，過程就像戒毒一樣漫長且痛苦，非意志力強(qiáng)大者不能做到。戒毒還可以通過人為干預(yù)強(qiáng)行阻斷毒品的供給，這種“思想的毒品”卻無法人為阻斷，只能靠戒“毒”者本人完成“阻斷”的動作。

題海戰(zhàn)術(shù)和解題套路只是錯誤的數(shù)學(xué)教學(xué)方式的兩個典型代表。數(shù)學(xué)教學(xué)之所以走上“反數(shù)學(xué)教育”的歧途，根源還是教育體系中融合了選拔機(jī)制，對教育功能形成了很大的沖擊。選拔導(dǎo)向越明顯的教育體系，教學(xué)活動的扭曲程度就越大。協(xié)調(diào)教育和選拔的矛盾沖突，是全世界的教育體系面臨的共同難題。