1.1線性空間

空間：就是集合，是一種具有特殊性質(zhì)及一些額外結(jié)構(gòu)的集合。

定義1.1.1:(n維向量)若n維向量寫(xiě)成

的形式，稱(chēng)為n維列向量（至于n維行向量腦補(bǔ)），這n個(gè)數(shù)稱(chēng)為該向量的n個(gè)分量。

定義1.1.2：(向量空間).設(shè)V是n維實(shí)向量的非空集合，若V對(duì)向量的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算都封閉，則稱(chēng)集合V為向量空間。

定義1.1.3(數(shù)域)設(shè)F是非空數(shù)集，若F包含0與1，且F中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不為0）仍在該數(shù)集，即對(duì)四則運(yùn)算封閉，稱(chēng)該數(shù)集F為一個(gè)數(shù)域。

定義1.1.4(加群)在非空集合V上定義一種代數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)之為加法（記為“+”），使得都有V中唯一元素與之對(duì)應(yīng)，鈣元素稱(chēng)為與的和，且滿足如下性質(zhì)：

（1）交換律:

（2）結(jié)合律:

（3）存在零元素

（4）,存在元素使得

稱(chēng)V在加法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)加群，記為(V,+).

定義1.1.5(線性空間)設(shè)(V,+)是一個(gè)加群，F(xiàn)是一個(gè)數(shù)域.定義了F中的數(shù)與V中元素的一種代數(shù)運(yùn)算，稱(chēng)為數(shù)乘，使得有V中唯一元素與之對(duì)應(yīng)稱(chēng)為與的積。此時(shí)，V稱(chēng)為數(shù)域F上的線性空間，記為(V,+,·)，V中元素稱(chēng)為向量。

當(dāng)F=R時(shí)，集合V稱(chēng)為實(shí)線性空間；當(dāng)F=C時(shí)，集合V稱(chēng)為復(fù)線性空間。

1.2線性子空間

定義1.2.1(子空間)設(shè)V是F上的線性空間，W是V的非空子集.若W中的向量關(guān)于V的加法和數(shù)乘運(yùn)算也構(gòu)成F上的選型空間，則稱(chēng)W是V的子空間。

注：子空間V和稱(chēng)為V的平凡子空間。

定理1.2.1(子空間判定定理)設(shè)V是F上的線性空間，W是V的一個(gè)非空子集，以下命題等價(jià)：

(1)W是V的子空間

(2)a.有$

b.有

(3)和,有

注：檢驗(yàn)子空間首先觀察零向量是否存在于W中

注：設(shè)是V的子空間，則不是V的子空間

定理1.2.2和空間與交空間是數(shù)域上線性空間的子空間。

注：任一實(shí)方陣可分解為對(duì)稱(chēng)陣和反對(duì)稱(chēng)陣之和。

定義1.2.2(矩陣零空間)設(shè),則矩陣的零空間（或核空間）定義為其次線性方程組的解集，記為

定義1.2.3(矩陣列空間)設(shè)則矩陣A的列空間（或值空間）是由A的列的所有線性組合組成的集合，即

定義1.2.4若是線性空間V一組向量，記則稱(chēng)W是由向量組張成（或生成）的子空間，記為

1.3基與坐標(biāo)

(線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān))設(shè)V是F上的線性空間，是V中的一組向量。若向量方程只有平凡解，即，則稱(chēng)向量組線性無(wú)關(guān)；否則稱(chēng)向量組線性相關(guān)。

注：?jiǎn)蝹€(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)

注：線性無(wú)關(guān)向量組的任一子集是線性無(wú)關(guān)的；線性相關(guān)向量組的任意擴(kuò)集仍是線性相關(guān)的。

注：向量組中的任一向量都可由極大線性無(wú)關(guān)組唯一表示

注：中的任意向量都可由向量和唯一表示。向量和給強(qiáng)加一個(gè)“坐標(biāo)系”。

注：在線性空間，明確一組基的重要原因在于給線性空間強(qiáng)加一個(gè)“坐標(biāo)系”

注：有了基，便有了坐標(biāo)，基是坐標(biāo)的motive

1.4內(nèi)積空間

內(nèi)積空間滿足：共軛對(duì)稱(chēng)性、可加性、齊次性、正定性。有限維的實(shí)內(nèi)積空間稱(chēng)為歐幾里得空間。有限維的復(fù)內(nèi)積空間稱(chēng)為酉空間。內(nèi)積空間的維數(shù)?它作為線性空間的維數(shù)；它們的線性子空間仍是內(nèi)積子空間。

定義(Hermite矩陣)：設(shè)，若,則稱(chēng)矩陣A是Hermite矩陣；若,則稱(chēng)A是反Hermite矩陣。

定義(正定矩陣)設(shè)

注：同一線性空間可定義不同的內(nèi)積

注：內(nèi)積空間中內(nèi)積與度量矩陣是一一對(duì)應(yīng)的

1.5向量長(zhǎng)度與夾角

定義(長(zhǎng)度)設(shè)F是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域，V是定義在F上的內(nèi)積空間,實(shí)數(shù)稱(chēng)為x的長(zhǎng)度（模），記為.長(zhǎng)度為1的向量稱(chēng)為單位向量

注：實(shí)數(shù)的絕對(duì)值和復(fù)數(shù)的模值都是向量長(zhǎng)度的特例

定理(Cauchy——Schwarz不等式)設(shè)V是F上的內(nèi)積空間，，有其中，當(dāng)且僅當(dāng)x,y線性相關(guān)成立

注：定義不同內(nèi)積可得到不同的Cauchy不等式

定義(向量夾角)設(shè)V是內(nèi)積空間，,定義向量x和y的夾角為

注：引入內(nèi)積至線性空間才有了向量夾角的概念，為線性空間帶來(lái)了“圖形化的理解”

注：零向量與任何向量均正交，正交向量要求向量均為非零向量。

注：正交向量線性無(wú)關(guān)

注：在n為內(nèi)積空間中，正交向量組中的向量不會(huì)超過(guò)n個(gè)

定義(標(biāo)準(zhǔn)正交基)：在n為內(nèi)積空間中，由n個(gè)向量組成的正交向量組稱(chēng)為正交基。由單位向量組成的正交基稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正交基。

注：線性空間V的向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)V關(guān)于該向量組的度量矩陣為單位矩陣。在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，內(nèi)積的運(yùn)算變得更加簡(jiǎn)單。

1.6直和與投影

定義(直和與直和分解)設(shè)與是線性空間V的子空間，若和空間中任意向量均唯一地表示成中的一個(gè)向量和中的一個(gè)向量之和，則稱(chēng)的直和，記為,特別地，若,則稱(chēng)之謂直和分解。

定義(投影)設(shè)W1和W2是線性空間的兩個(gè)子空間且均可唯一地分解成，其中,此時(shí)稱(chēng)向量y為向量x在W1上的投影

定義(向量正交于子空間)設(shè)V是內(nèi)積空間，W是V的子空間，向量,若,有,則稱(chēng)x 正交于子空間W，記為

定義(兩子空間正交)設(shè)W1與W2是內(nèi)積空間V的子空間，若,有,則稱(chēng)W1與W2是正交的，記為

定義(正交直和與正交直和分解)設(shè)W1與W2是線性空間V的子空間，若W1W2,則稱(chēng)直和是其正交直和，記為，則V=稱(chēng)為正交直和分解

    定義(子空間正交補(bǔ))設(shè)W1是V的線性子空間，則集合稱(chēng)為W1的正交補(bǔ)。

注：設(shè)W1是線性空間V的子空間，則集合是V的線性子空間

注：在正交直和分解中，子空間W1確定的正交補(bǔ)空間是唯一的，這也說(shuō)明正交直和分解是唯一的，同直和分解相比，若子空間W1給定，那么與W1構(gòu)成直和分解的空間，就有無(wú)數(shù)個(gè)，因?yàn)槿我煌ㄟ^(guò)原點(diǎn)，且不包括直線W1的平面W2，都與W1的和空間是直和。